备战2024年新高考新试卷结构高考数学模拟卷02（解析版）.docx

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备战2024年新高考新试卷结构高考模拟卷数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知集合，，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】首先根据指对互换运算求出集合，解绝对值不等式求出集合，结合集合的交集运算即可.【详解】由题意，，所以.故选：C.2．在中，若，则的面积的最大值为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】设分别为的中点，结合三角形相似推出，由题意可得，确定四边形面积的最大值，即可得答案.【详解】设分别为的中点，连接，则，则∽，故,则，故又，则，故，学科网（北京）股份有限公司 当时，四边形面积最大，最大值为，故的面积的最大值为，故选：D3．已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】由题意首先得函数在区间上的两个零点只能是，由此即可进一步列出不等式组求解.【详解】由题意，当时，，若函数在区间有且仅有2个零点，则这两个零点只能是，则当时，，解得.故选：A.4．设等差数列的前项和为，已知：，，则下列结论正确的是（    ）A．，B．，C．，D．，【答案】D【分析】由题设，构造函数，分析的奇偶性和单调性，结合等差数列的性质及前n项和公式，求解即可.【详解】设函数，易知的定义域为，学科网（北京）股份有限公司 且，所以是上的奇函数，由单调性的性质知在上单调递增，由题意：，，两式相加得：，因为是上的奇函数，所以，又在上单调递增，所以，即，等差数列的前项和为，则，因为，，所以，又在上单调递增，所以，所以.故选：D.5．将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的外接球的表面积为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据给定条件，确定所得多面体的外接球球心位置，再求出其外接球半径即可得解.【详解】如图，点是正四面体所在棱的中点，连接，显然，则四边形是平行四边形，又，且，于是，因此是正方形，则，同理，从而得点在以点为球心，为半径的同一球面上，即这个多面体的外接球球心为，半径，所以这个多面体的外接球的表面积为.故选：A学科网（北京）股份有限公司 6．抛物线E：的焦点为F，P为准线上任意一点，过点P作E的切线，切点为A，则的最小值为（     ）A．B．C．1D．2【答案】A【分析】利用抛物线对称性设不妨设切点为A在第一象限，然后利用导函数求切线斜率，进而求出直线方程，得，得，最后利用基本不等式求最值.【详解】由，根据抛物线的对称性，不妨设切点为A在第一象限，所以A在上，设，，，由，得，切线斜率为，故切线方程为，又在直线，得，得，所以，所以，，，当且仅当，即时取等号，的最小值为.故选：A7．若，则下列说法正确的是（    ）A．学科网（北京）股份有限公司 B．为等差数列C．设，则数列为等差数列D．设，则数列的前项的和为【答案】D【分析】由分类加法计数原理与展开式中得到每一项的方法，可求解各项系数.选项A，求解可得；选项B，用表示，得到递推关系，再运算化简可得；选项C，求解，可得，特值法可知不满足等差数列；选项D，分组求和，分别利用等比数列求和公式与常数列求和即可.【详解】对于A：为项的系数，而得到展开式中项，需要每一个括号里都取x项再相乘，则.故A错误；对于B：由上面推导可得：，.所以，所以不是等差数列.故B错误；对于C：，所以，所以，所以，所以，即数列不是等差数列.故C错误；对于D：，所以数列的前n项的和.故D正确.故选：D学科网（北京）股份有限公司 8．已知、为双曲线的左、右焦点，若过的直线与双曲线的左支交于、两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，若，则此双曲线离心率的值为（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】设的内切圆为圆，该圆切、、于点、、，设的内切圆为圆，推导出，可得出，即可得、所满足的等式，即可求得该双曲线的离心率的值.【详解】设的内切圆为圆，该圆切、、于点、、，设的内切圆为圆，如下图所示：  由切线长定理可得，，，则，即，所以，，则，由圆的几何性质可知，轴，可知，，同理可知，，所以，、、三点共线，且轴，因为，，，所以，，所以，，同理可得，，学科网（北京）股份有限公司 所以，，所以，，所以，，即，即，即，因为，所以，，可得，故该双曲线的离心率为.故选：D.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（    ）A．极差变小B．平均数变大C．方差变小D．第25百分位数变小【答案】AC【分析】根据极差，平均数，方差与百分位数的定义计算出去掉前后的相关数据，比较后得到答案.【详解】由于，故，，……，，，A选项，原来的极差为，去掉后，极差为，极差变小，A正确；B选项，原来的平均数为，去掉后的平均数为，平均数不变，B错误；C选项，原来的方差为，去掉后的方差为，方差变小，C正确；学科网（北京）股份有限公司 D选项，，从小到大排列，选第3个数作为第25百分位数，即，，故从小到大排列，选择第3个数作为第25百分位数，即，由于，第25百分位数变大，D错误.故选：AC10．已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，且当时，，则下列选项正确的是（    ）A．的图象关于直线对称B．C．关于点对称D．关于点对称【答案】ABC【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，推得函数的对称性和周期性，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】因为函数是奇函数，所以的图象关于点对称，所以，；因为是偶函数，所以的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，所以，；所以，，所以周期为4，又因为，所以，即为奇函数，对于A项，因为的图象关于直线对称，故A项正确；对于B项，因为的图象关于直线对称，周期为4，时，，所以；；；所以，故B项正确；对于C项，为奇函数，图象关于点对称，则的图象关于点对称，的图象关于点对称，的图象关于点对称，故C项正确，D项错误.学科网（北京）股份有限公司 故选：ABC.11．刘徽是我国杰出的数学家，他在263年撰写的《九章算术注》以及后来的《海岛算经》，都是我国宝贵的数学遗产，奠定了他在中国数学史上的不朽地位．其中《九章算术注》一书记载了刘徽利用圆的内接正多边形来近似计算圆周率的方法，后人称之为“刘徽割圆术”．已知单位圆O的内接正n边形的边长、周长和面积分别为，，，为正n边形边上任意一点，则下列结论正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】根据给定条件，求出正n边形的中心角，由此计算，，即可判断选项A，B，C；由即可判断D作答.【详解】依题意，单位圆O的内接正n边形的中心角为，则，，，对于A，，A正确；对于B，，B不正确；对于C，因，又，则，C正确；对于D，在复平面内令O为原点，由对称性不妨令点逆时针排列，向量所对复数分别为，则所对复数为，将正n边形逆时针旋转图形重合，则由复数的三角形式得：，，因此，所对复数为，于是有：，而，，学科网（北京）股份有限公司 则，即于是有，D正确.故选：ACD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．圆与的位置关系为；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为．【答案】内含【分析】先利用圆心距与两半径之差的比较得到两圆位置关系；再利用两圆内切推得，从而利用椭圆的定义即可得解.【详解】依题意，圆心，半径，圆心，半径，所以，则两圆内含；设动圆的圆心，半径为，则，，依椭圆的定义知，的轨迹为椭圆，其中，又，所以的轨迹方程为.故答案为：内含；.13．大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱．现有A，B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A学科网（北京）股份有限公司 不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有种．【答案】84【分析】分去生物且生物只去一人、去生物且生物只去两人、去影视且生物只去一人、去影视且生物只去两人四种情况讨论求出，注意特殊的先讨论.【详解】去生物且生物只去一人：种，去生物且生物只去两人：种，去影视且生物只去一人：种，去影视且生物只去两人：种，一共种，故答案为：8414．在中，已知边上的高等于，当角时，；当角时，的最大值为．【答案】/【分析】第一空：由锐角三角函数结合两角和的正切公式即可得解；第二空：注意到，结合基本不等式得，由此即可进一步得到，注意取等条件是否成立.【详解】设为边上的高，所以，如图所示：又因为，所以，又，所以，，，所以；学科网（北京）股份有限公司 因为，，又，所以垂足落在线段上，故都是锐角，所以均大于0，因为，即，等号成立当且仅当，所以；所以，因为，所以，所以当且仅当时，有.故答案为：；.【点睛】关键点睛：第二空的关键是发现，由此结合基本不等式以及两角和的正切公式即可得解.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）2023年中央一号文件指出,艮旋要复兴,乡村必振兴.为助力乡村振兴,某电商平台准备为某地的农副特色产品开设直播带货专部.(公众号浙江省高中数学)直播前,此平台用不同的单价试销,并在购买的顾客中进行体验调本向卷.已知有名热心参与问卷的顾客,此平台决定在直播中专门为他们设置两次抽奖活迹次抽奖都是由系统独立、随机地从这名顾客中抽取20名顾客,抽中顾客会有礼品赠送,若直拱时这名顾客都在线,记两次抽中的顾客总人数为(不重复计数).（1）若甲是这名顾客中的一人,且甲被抽中的概率为，求;（2）求使取得最大值时的整数.解析：（1）记“甲被抽中”,“第次被抽中”,则解得：学科网（北京）股份有限公司 （2）由于，记,即求在何时取到最大值，下面讨论的单调性：解得，所以，当或40时,取到最大值.16．（15分）如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，是边长为2的等边三角形，为的中点，．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的大小．【答案】(1)证明见详解(2)【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明；（2）先证明平面，建立空间直角坐标系，利用向量法求解；【详解】（1）因为底面四边形是菱形，，所以是的中点，又是的中点，，平面，平面，平面.学科网（北京）股份有限公司 （2）底面四边形是菱形，，所以是，的中点，又是等边三角形，，又，，又，平面，平面.又，所以两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，由是边长为2的等边三角形，，可得，，，，，，，由已知得，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，所以，，所以直线与平面所成角的正弦值为，即直线与平面所成角为.学科网（北京）股份有限公司 【点睛】关键点睛：本题第二问是求线面角问题.解题的关键是先根据题意证明平面，可得两两互相垂直，由此建立空间直角坐标系，利用向量法求解.17．（15分）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的极值点个数．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）结合导数的几何意义计算即可得；（2）结合导数对的值进行分类讨论即可得.【详解】（1）当时，，切点为．，斜率，所求切线方程为，即；（2）函数的定义域为，，令，则，，令，解得，当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，，①当时，，函数单调递增，函数无极值点；学科网（北京）股份有限公司 ②当时，，，即，因此函数在上有唯一零点，当时，，因此函数在上有唯一零点，当时，，即函数在上单调递增；当时，，即函数在上单调递减；当时，，即函数在上单调递增．又当时，函数有两个极值点．综上，当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点．18．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，在椭圆上仅存在个点，使得为直角三角形，且面积的最大值为.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点是椭圆上一动点，且点在轴的左侧，过点作的两条切线，切点分别为、.求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）分析可知，当时，存在两个点，使得为直角三角形，设点，利用平面向量数量积的坐标运算可得出，再利用面积的最大值可得出、的值，可得出的值，由此可得出椭圆的方程；（2）证明出抛物线在点处的切线方程为，可得出抛物线在点处的切线方程，联立两切线方程，求出点的坐标为，设，其中，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】（1）解：当轴时，存在两个点，使得为直角三角形，学科网（北京）股份有限公司 当轴时，存在两个点，使得为直角三角形，当时，由题意可知，存在两个点，使得为直角三角形，设点，其中，则，可得，且，，则，可得，由题意可知，，则，当点为椭圆短轴的顶点时，到轴的距离最大，此时，的面积取最大值，即，则，故，因此，椭圆的方程为.（2）解：设点、，先证明出抛物线在点处的切线方程为，联立可得，即，解得，所以，抛物线在点处的切线方程为，同理可知，抛物线在点处的切线方程为，联立可得，所以，，则，即点，因为点在轴左侧，则，即，学科网（北京）股份有限公司 因为点在椭圆上，则，设，其中，则，，所以，，因为，则，则，所以，，因此，的取值范围是.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.19．（17分）设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列：①，且；②；③，．（1）如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由；（2）若数列是数列，求；（3）设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．【答案】（1）不可以是数列；理由见解析；（2）；（3）存在；．【分析】(1)由题意考查的值即可说明数列不是数列；学科网（北京）股份有限公司 (2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定的值；(3)构造数列，易知数列是的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数的值.【详解】(1)因为所以，因为所以所以数列，不可能是数列.(2)性质①，由性质③，因此或，或，若，由性质②可知，即或，矛盾；若，由有，矛盾.因此只能是.又因为或，所以或.若，则，不满足，舍去.当，则前四项为:0，0，0，1，下面用数学归纳法证明：当时，经验证命题成立，假设当时命题成立，当时：若，则，利用性质③：，此时可得：；否则，若，取可得：，而由性质②可得：，与矛盾.同理可得：，有；学科网（北京）股份有限公司 ，有；，又因为，有即当时命题成立，证毕.综上可得：，.(3)令，由性质③可知：，由于，因此数列为数列.由（2）可知:若；，，因此，此时，，满足题意.【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.学科网（北京）股份有限公司