题型15 等差数列、等比数列的性质及其前n项和解题技巧（原卷版）.docx

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题型15等差数列、等比数列的性质及其前n项和解题技巧技法01等差数列的性质解题技巧技法02等差数列前n项和的性质解题技巧技法03等比数列的性质解题技巧技法04等比数列前n项和的性质解题技巧技法01等差数列的性质解题技巧等差数列通项公式的性质是等差数列的基础知识，也是新高考的重要考点，常在小题中进行考查，需熟悉知识点强化复习.知识迁移等差数列通项公式的性质（1）若，或（2）若，为等差数列，则，仍为等差数列例1-1．（江西·高考真题）已知等差数列，若，则.根据等差数列的性质可得，解得，所以.例1-2．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝．学科网（北京）股份有限公司 因为{an}，{bn}都是等差数列,所以也成等差数列，根据等差数列的性质，a1＋b1＝7，a3＋b3＝21,a5＋b5成等差数列，因而a5＋b5＝.1．（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）数列中，，，则（   ）A．210B．190C．170D．1502．（2024·河南郑州·统考一模）已知数列为等差数列，，则（    ）A．19B．22C．25D．273．（2023·全国·校联考二模）已知等差数列满足，，则（    ）A．25B．35C．40D．504．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）在等差数列中，若，则.5．（2023·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测）已知为等差数列，若，则的值为.技法02等差数列前n项和的性质解题技巧等差数列前n项和的性质是等差数列的重点知识，也是新高考的重要考点，常在小题中进行考查，需熟悉知识点强化复习.学科网（北京）股份有限公司 知识迁移1.等差数列前n项和与函数关系令，，等差数列前项和公式是无常数项的二次函数2.等差数列前n项和的性质（1），，……仍成等差数列（2）为等差数列推导过程：（一次函数）为等差数列（3）（4）例2-1．（2023·福建厦门·统考模拟预测）等差数列的前项和为，，则（    ）A．9B．C．12D．【详解】由已知，，，即3，，成等差数列，所以，所以，例2-2．（2023·辽宁大连·校联考二模）设是等差数列的前项和，若，则（    ）A．B．C．D．学科网（北京）股份有限公司 【详解】由等差数列的性质可知、、、成等差数列，∵，即，，∴，，∴，，∴.例2-3．（2022·河南新乡·统考一模）设等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ）A．B．C．D．【详解】因为，为等差数列，所以，，所以，例2-4．（2022·全国·模拟预测）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（    ）A．B．C．D．【详解】设，，.则，，所以.1．（2023·广东深圳·统考二模）设等差数列的前n项和为，若，，则（    ）A．0B．C．D．2．（2021·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ）学科网（北京）股份有限公司 A．2B．3C．4D．53．（2024·广东广州·铁一中学校考一模）设是等差数列的前项和，若，则（    ）A．B．C．D．4．（2024·广东中山·中山一中校考一模）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ）A．B．C．D．5．（2022·全国·模拟预测）设为等差数列的前项和，若，，则.6．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（    ）A．是递增数列B．是数列中的项C．数列中的最小项为D．数列是等差数列技法03等比数列的性质解题技巧等比数列通项公式的性质是等比数列的基础知识，也是新高考的重要考点，常在小题中进行考查，需熟悉知识点强化复习.知识迁移等比数列通项公式的性质（1）若或（2）若，为等比数列，则，仍为等比数列例3-1．（全国·高考真题）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=学科网（北京）股份有限公司 A．B．7C．6D．由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝例3-2．（全国·高考真题）已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ）A．12B．10C．8D．为等比数列，则．1．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）在等比数列中，，则（    ）A．4B．8C．32D．642．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知为递增的等比数列，且满足，，则（    ）A．B．1C．16D．323．（2023·吉林·统考一模）在等比数列中，，，则（    ）A．B．C．D．114．（2024·黑龙江大庆·统考模拟预测）设是等比数列，且，，则.5．（2023·江西·校联考二模）在正项等比数列中，与是方程的两个根，则.学科网（北京）股份有限公司 技法04等比数列前n项和的性质解题技巧等比数列前n项和的性质是等比数列的重点知识，也是新高考的重要考点，常在小题中进行考查，需熟悉知识点强化复习.知识迁移等比数列前n项和的性质（1），，……仍成等比数列（2）例4-1．（2021·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和.若，，则（    ）A．7B．8C．9D．10∵为等比数列的前n项和，∴，，成等比数列∴，∴，∴.例4-2．（2023·全国·统考高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）．A．120B．85C．D．方法一：设等比数列的公比为，首项为，学科网（北京）股份有限公司 若，则，与题意不符，所以；若，则，与题意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故选：C．方法二：设等比数列的公比为，因为，，所以，否则，从而，成等比数列，所以有，，解得：或，当时，，即为，易知，，即；当时，，与矛盾，舍去．例4-3．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）（多选）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（    ）A．若，则是等差数列B．若，，则是等比数列C．若是等差数列，则，，成等差数列D．若是等比数列，则，，成等比数列学科网（北京）股份有限公司 对于A，，时，，解得，因此，，是等差数列，A正确；对于B，，，则，而，是等比数列，B正确；对于C，设等差数列的公差为，首项是，，，因此，则，成等差数列，C正确；对于D，若等比数列的公比，则不成等比数列，D错误.1．（2023·全国·模拟预测）设等比数列的前项和是.已知，则（    ）A．13B．12C．6D．32．（2023·全国·模拟预测）设等比数列的前项和是．已知，，则（    ）A．900B．1200C．D．3．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则（    ）A．3B．4C．5D．74．（2024·云南曲靖·统考一模）已知等比数列的前项和为，且，则（    ）A．36B．54C．28D．425．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则.学科网（北京）股份有限公司