九大考点+真题模拟题练解答题01 解三角形（原卷版）.docx

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解答题01解三角形【考点01边角互换】【例1】在中，内角所对的边分别是，已知．(1)求角；(2)设边的中点为，若，且的面积为，求的长．【例2】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积．(1)求；21学科网（北京）股份有限公司 (2)若,，求．【变式1-1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，边的中线长为2．(1)求角A；(2)求边a的最小值．【变式1-2】记的内角的对边分别为，已知．(1)；(2)若，，求的面积．【变式1-3】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)若，求角C的大小；(2)求证：，，成等差数列.21学科网（北京）股份有限公司 【考点02边角互换（等式需将数代成边）】【例3】a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知，.(1)求A的值；(2)若，，求c的值.【例4】在中，角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若，且，求.【变式2-1】已知的内角的对边分别为，且满足，．(1)求的大小；(2)已知是的中线，求的最大值．【变式2-2】在中，内角、、的对边分别为、、，已知，．(1)证明：；(2)求当面积取得最大值时，的周长．21学科网（北京）股份有限公司 【变式2-3】在中，内角的对边分别是，已知．(1)求；(2)若，求的面积．【考点03解三角形与多三角形】【例5】如图，在平面四边形中，，，，.  (1)求线段的长度；(2)求的值.【例6】如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,.  (1)求的大小;(2)若,求的面积.21学科网（北京）股份有限公司 【变式3-1】在中，，均在线段上，，若，且，．(1)求的值；(2)求的面积．【变式3-2】在中，角所对的边分别为，其中，．(1)求角的大小；(2)如图，为外一点，，，求的最大值．【变式3-3】如图，四边形为梯形，，，，．21学科网（北京）股份有限公司 (1)求的值；(2)求的长．【考点04三角形的中线与角平分线】【例7】已知中，角所对的边分别为，，，，且.(1)求角的大小；(2)若，点在边上，且平分，求的长度.【例8】设的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求角B；(2)若点D在边上，平分，且，求面积的最小值．【变式4-1】已知的三个内角所对的边分别为，满足，且．(1)求；(2)若点在边上，，且满足，求边长；请在以下三个条件：①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线；其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答．21学科网（北京）股份有限公司 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【变式4-2】在①的平分线长为；②D为BC中点，；③为边上的高，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．中，角A，B，C的对边为，，，已知，.(1)求;(2)若，求的大小.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【变式4-3】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求B；(2)若的中线长为，求面积的最大值．【考点05解三角形中的证明】【例9】已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)证明：；(2)若，求的值．21学科网（北京）股份有限公司 【例10】在中，角所对的边分别是，且．(1)证明：成等比数列．(2)求（1）中数列的公比的取值范围.【变式5-1】记的内角所对的边分别是，且满足.(1)证明：；(2)若的面积为，求；【变式5-2】已知中B为钝角，且．(1)证明：；(2)已知点在边上，且，求外接圆面积的取值范围．【变式5-3】设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．(1)证明：．21学科网（北京）股份有限公司 (2)求的取值范围．【考点06存在问题】【例11】在中，．(1)求的大小；(2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长．条件①：的面积为；条件②：；条件③：．【例12】记的内角、、所对的边分别为、、.(1)证明：若，则；(2)探究：是否存在一个，其三边为三个连续的自然数，且最大角是最小角的两倍？如果存在，试求出最大边的长度；如果不存在，说明理由．【变式6-1】在中，角的对边分别为，．(1)求角B的大小．(2)若，是否存在正整数b，使得是锐角三角形？若存在，求出b的最小值；若不存在，请说明理由．21学科网（北京）股份有限公司 【变式6-2】记钝角的内角的对边分别为，已知．(1)若，求的面积；(2)若线段上存在点，使得，求的取值范围．【变式6-3】如图，在平面四边形中，角.设.(1)用表示四边形对角线的长；(2)是否存在使四边形对角线最长，若存在求出及四边形对角线最长的值，若不存在请说明理由.【考点07基本不等式求取值范围】【例13】在中，内角，，的对边分别为，，，已知该三角形的面积．(1)求角的大小；(2)若时，求面积的最大值．21学科网（北京）股份有限公司 【例14】记的内角的对边分别为，已知.(1)求角；(2)若，求面积的最大值.【变式7-1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求的大小；(2)若，直线PQ分别交AB，BC于P，Q两点，且PQ把的面积分成相等的两部分，求的最小值．【变式7-2】在中，已知，D为的中点.(1)求A；(2)当时，求的最大值.【变式7-3】在中，角所对的边分别为，且.(1)求证：；(2)当取最小值时，求的值.21学科网（北京）股份有限公司 【考点08三角函数法求取值范围】【例15】已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若外接圆的直径为，求的取值范围．【例16】在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，请从以下条件①，条件②中选择一个作为已知．①       ②．(1)求角A；(2)求的取值范围．【变式8-1】在锐角中，角所对的边分别为，且的面积.(1)求角A；(2)若，求的取值范围.【变式8-2】设的内角的对边分别为．(1)若，求的值；(2)若，求的取值范围．21学科网（北京）股份有限公司 【变式8-3】如图，已知是之间的一点，点到的距离分别为，且是直线上一动点，作，且使与直线交于点．设．  (1)若，求的最小值；(2)若，求周长的最小值．【考点09三角函数与解三角形的结合】【例17】已知锐角三角形满足，．(1)求A；(2)求的所有零点．【例18】已知函数.(1)求函数的最值及取得最值时的取值集合；(2)设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，求的面积．21学科网（北京）股份有限公司 【变式9-1】已知函数的最小正周期为.(1)求在上的单调增区间；(2)在中角的对边分别是满足，求函数的取值范围.【变式9-2】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且．(1)求角B的大小；(2)若为锐角三角形，求的值域．【变式9-3】将函数的图象向左平移个单位长度，再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到的图象．(1)设，，当时，求的值域；(2)在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知，，，求内切圆半径r的值．21学科网（北京）股份有限公司 一、1．（2024·吉林·校联考模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且角A，B，C成等差数列，，．(1)求；(2)若点为线段的中点，求的长．2．（2024·湖南长沙·统考一模）在中，角，，所对的边长分别为，，，且满足.  (1)证明：；(2)如图，点在线段的延长线上，且，，当点运动时，探究是否为定值？3．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知函数．(1)当时，求函数在上的值域；(2)在中，内角的对边分别为为的平分线，若的最小正周期是21学科网（北京）股份有限公司 ，求的面积．4．（2024·全国·模拟预测）已知四边形的外接圆面积为，且为钝角，(1)求和；(2)若，求四边形的面积．5．（2023·山东潍坊·昌邑市第一中学校考模拟预测）在锐角中，角所对的边分别为，满足.(1)求角；(2)求的取值范围.6．（2023·山东日照·校联考模拟预测）如图，在凸四边形中，.(1)若，求的长；(2)若该四边形有外接圆，求的最大值.21学科网（北京）股份有限公司 7．（2024·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，且．(1)求B的大小；(2)求面积的最大值．8．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学模拟预测）如图，在四边形中，为的中点，，，，(1)求；(2)若，，求.9．（2024·全国·模拟预测）在中，内角所对的边分别为．(1)试判断的形状，并说明理由；(2)若，点在内，，，求．21学科网（北京）股份有限公司 10．（2023·山东潍坊·校考模拟预测）已知分别为内角的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④．(1)满足有解三角形的序号组合有哪些，说明理由？(2)请在（1）所有组合中任选一组，求对应的面积．11．（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求；(2)若边上的中线长为，，求的周长.12．（2023·全国·模拟预测）锐角中，角的对边分别为，，其中．(1)求角；(2)过点作，且四点共圆，，求的面积．1．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记的内角的对边分别为，已知．(1)求；21学科网（北京）股份有限公司 (2)若，求面积．2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）在中，已知，，.(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积.3．（2023年天津高考数学真题）在中，角所对的边分别是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．5．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．21学科网（北京）股份有限公司 (1)若，求；(2)若，求．6．（2022年新高考天津数学高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.7．（2022年新高考全国II卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．8．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)证明：21学科网（北京）股份有限公司 9．（2022年新高考全国I卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．10．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．21学科网（北京）股份有限公司