江西省九江市同文中学多校联考2024届高三下学期3月月考数学试题（解析版）.docx

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高三数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集为R，集合则（）A.或B.或C.D.【答案】D【解析】【分析】化简集合A，再根据补集运算求解.【详解】由，即，则，解得或，或，.故选：D.2.已知a为实数,复数为纯虚数,则A.B.1C.D.2【答案】C【解析】【分析】由复数的运算与纯虚数的概念求解即可.【详解】由为纯虚数，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 ，.故选：C.3.下列函数图象的对称轴方程为的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据正弦函数的对称轴，利用整体代入的方法可求出A、C中函数的对称轴方程，利用余弦函数的对称轴，利用整体代入的方法可求出B、D中函数的对称轴方程，即得答案.【详解】对于A，，令，即，即的对称轴方程为，A错误；对于B，，令，即，即的对称轴方程为，B正确；对于C，，令，即，即的对称轴方程为，C错误；对于D，，令，即，即的对称轴方程为，D错误；故选：B4.设为两个平面，下列条件中，不是“与β平行”的充要条件的是（）A.内有无数条直线与β平行B.垂直于同一条直线C.平行于同一个平面D.内有两条相交直线都与β平行第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 【答案】A【解析】【分析】根据空间线面、面面的位置关系以及面面平行的判定定理，一一判断各选项，即可得答案.【详解】对于A，内有无数条直线与β平行，可可能相交，即这无数条直线都与两平面的交线平行，故内有无数条直线与β平行得不出与β平行，A适合题意；对于B，垂直于同一条直线时，可得与β平行，反之也成立，即垂直于同一条直线是与β平行的充要条件；对于C，平行于同一个平面，则与β平行，反之也成立，故平行于同一个平面是与β平行的充要条件；对于D，内有两条相交直线都与β平行，根据面面平行的判定定理可知与β平行，反之也成立，即内有两条相交直线都与β平行为与β平行的充要条件；故选：A5.已知数列为等比数列，，则（）A.B.C.2D.【答案】C【解析】【分析】利用等比数列的性质与通项公式即可得解.【详解】因为为等比数列，则公比，所以，又，所以，解得，又，而恒成立，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 所以，则，故.故选：C.6.已知抛物线的焦点为F，其准线与x轴交于点为C上一点，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用平行的性质与抛物线的定义将所求转化，再利用，结合三角函数的基本关系式即可得解.【详解】如图，过分別作准线和轴的垂线，与准线交于点，与轴交于点.则，所以，又，，所以，解得，所以.故选：A.7.知3名男同学、2名女同学和1名老师站成一排，女同学不相邻，老师不站两端，则不同的排法共有（）A.336种B.284种C.264种D.186种第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 【答案】A【解析】【分析】根据题意考虑两端的位置排的是男生或女生的情况，结合女同学不相邻，求出各种情况的排法数，根据分类计数加法原理，即可求得答案.【详解】当2名女生站在两端时，3名男生和1名老师排在中间，共有种排法；当有1名女生排在一端，另一端排男生时，共有种排法；当男生排在两端时，共有种排法；故不同的排法共有（种），故选：A8.若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用，结合幂函数的单调性判断得，再构造函数，推得，从而推得，由此得解.【详解】因为，所以；令，则，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，所以，故，则，即，当且仅当时，等号成立，当，即，有，从而有；综上，.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 故选：D.【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式：（1）；（2）.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某厂近几年陆续购买了几台A型机床，该型机床已投入生产的时间x(单位：年)与当年所需要支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料：x23456y2.23.85.56.57根据表中的数据可得到经验回归方程为.则（）A.B.y与x的样本相关系数C.表中维修费用的第60百分位数为6D.该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元【答案】ABC【解析】【分析】对A，计算出样本中心，代入方程计算出，对B，根据相关系数的概念可判断，对C，根据百分位数的定义求解，对D，根据回归分析概念判断.【详解】根据题意可得，，，所以样本中心点为，对于A，将样本中心点代入回归方程，可得，故A正确；对于B，由表中数据可得随着增大而增大，与正相关，所以相关系数，故B正确；对于C，维修费用从小到大依次为，第60百分位数为，故C正确；对于D，根据回归分析的概念，机床投入生产的时间为 10年时，所需要支出的维修费用大概是12.38万元，故D错误.故选：ABC.10.已知函数有3个不同的零点,且，则（）第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 A.B.的解集为C.是曲线的切线D.点是曲线的对称中心【答案】AC【解析】【分析】利用三次函数的零点式，结合条件可求得，从而可判断AB，利用导数的几何意义可判断C，举反例排除D.【详解】对于A，因为有3个不同的零点,所以不妨设，易知展开式中的常数项为，故，又，所以，解得，所以，解得，故A正确；对于B，因为，令，即，利用数轴穿根法，解得或，故B错误；对于C，易得，当切线斜率为时，令，解得或，当时，，此时切线为，即，故C正确；对于D，因为，又，所以，所以点是曲线的对称中心，故D错误.故选：AC.11.已知，关于x的不等式的解集为，则（）A.B.C.D.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 【答案】BCD【解析】【分析】举特殊值可判断A；令，结合题意得，利用三角代换判断B；将转化为，令，继而转化为，再结合换元，利用函数的单调性，可求得的范围，即可判断C，D.【详解】对于A，由题意知，关于x的不等式的解集为，不妨取，则，即，其解集为，即满足题意，故A错误；对于B，即，令，由于不等式的解集为，故需满足，且，令，则，由于，则，即得，又，故，B正确；对于C，D，，，故，令，，则，则，令，则第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 ，由于函数在上单调递增，故，则，即，即，，C，D正确，故选：BCD【点睛】难点点睛：本题考查了由指数型不等式的解集求解参数范围问题，综合性较强，难度较大，解答的难点在于C，D项的判断，解答时要利用三角代换以及换元法，将等价转化，再结合函数的单调性进行判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆O为圆锥的底面圆，等边三角形内接于圆O；若圆锥的体积为，则三棱锥的体积为________【答案】##【解析】【分析】设圆O的半径为r，圆锥的高为h，根据圆锥体积推出，继而表示出等边三角形的面积，根据棱锥体积公式，即可求得答案.【详解】设圆O的半径为r，圆锥的高为h，则，等边三角形内接于圆O，则，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 故，则三棱锥的体积为，故答案为：13.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为，若，则数列的前30项和为________.【答案】240【解析】【分析】根据数列通项公式，采用并项求和的方法，即可求得答案.【详解】由题意知，，故数列的前30项和为，故答案为：24014.已知M是椭圆上一点，线段AB是圆的一条动弦,且则第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 的最大值为_______.【答案】70【解析】【分析】设中点为，易得，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，可转化为，，设出点的参数方程，求出，即可得解.【详解】如图，设中点为，由，，故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，，，设，则，当且仅当时，，所以，故答案为：70【点睛】关键点点睛：由向量的数量积求解椭圆上一点与定点距离问题，转化法和参数方程是解决本题关键，还综合了余弦函数求最值问题，试题整体难度不大，但综合性强，是一道跨知识点考查相对不错的题！第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，内角A，B，C的对边分别为.已知（1）求b；（2）D为边上一点，，求的长度和的大小.【答案】（1）（2）1，【解析】【分析】（1）利用余弦定理化简，即可求得答案；（2）利用（1）的结论结合题设可得，从利用余弦定理推出关于的方程，解得的值，解直角三角形，即可求得答案.【小问1详解】由题意知中，，故，即，由于，故；【小问2详解】由（1）知，结合，得，又，故，又，则，又，则，故，即，即，结合，解得，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 则，，而为锐角，故.16.如图，在四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形.（1）证明：平面（2）若为等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定与性质定理即可得解；（2）依题意建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，从而利用空间向量法即可得解.【小问1详解】记为的中点，连接.因为为等边三角形，所以，因为，所以，又平面，所以平面，因为平面，所以，又平面，所以平面.【小问2详解】以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 因为为等边三角形，，所以到底边的距离为，因为为等边三角形，，所以到底边的距离为，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，设平面的法向量为，则即，令，则，故，因为，所以平面与平面夹角余弦值为.17.某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前200名的顾客，均可获得3次抽奖机会.每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响.中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金.（1）已知，求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率.（2）已知该商场开业促销活动的经费为4.5万元，问该活动是否会超过预算?请说明理由.【答案】（1）（2）不会，说明见解析【解析】第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）设顾客甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，求出、，根据条件概率的公式，即可求得答案；（2）设一名顾客获得的奖金为X元，确定其可能的取值，求得每个值对应的概率，即可求出，从而求得200名顾客获得奖金的期望，与促销活动的经费比较，即得结论.【小问1详解】设顾客甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B，则，，故；小问2详解】设一名顾客获得的奖金为X元，则X的取值可能为，则，，，，则（元），故，故该活动不会超过预算.18.已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且M经过点的焦距为4.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 （1）求M和的方程;（2）如图，过点T(0，1)的直线l(斜率大于0)与双曲线M和N的左、右两支依次相交于A,B,C,D,若求直线l的方程.【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）由的焦距为4可求得，即可得出曲线，由题意设为，点代入即可求得曲线;（2）由题意设直线l的方程为，与联立，利用韦达定理计算可得，进而可得联立方程组计算可求得，即可得出结果.【小问1详解】因为,的焦距为4,所以，，所以，渐近线相同，可设为，代入，，所以【小问2详解】设直线l的方程为，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 由化简可得：，，时，，，时，，，所以,同理因为，所以，所以.又因为所以所以则，由，解得：，由可知，,所以直线l的方程为：.19.已知函数（1）讨论的单调性.（2）证明:当时,（3）证明:【答案】（1）答案见详解（2）证明见详解（3）证明见详解【解析】【分析】（1）求导，按照的正负，讨论正负得解；（2）令，分和两种情况讨论，利用导数判断单调性，求出最小值证明；（3）由（2），当时，有，令，，代入运算得证.【小问1详解】第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 ，，当时，易知，所以函数在R上单调递减，当时，令，解得，令，解得，即在上单调递增，令，得，即在上单调递减，综上，当时，函数在R上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】令，，，令，，则，所以在上单调递增，当时，，又，有，，即单调递减，，，即单调递增，所以，而此时，所以当时，成立；当时，可得，，所以又，所以存在，使得，即，，，，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司 ，由可得，，下面证明，，令，，所以在上单调递增，，即得证，即成立，综上，当时，成立.【小问3详解】由（2），当时，有，即，令，，得，，，即.【点睛】思路点睛：第一问，求出导数，对正负分类讨论，研究导数正负从而得函数的单调性；第二问，令，利用导数研究的单调性，最值，注意分和讨论，对时的情况，结合隐零点和基本不等式求出，问题转化为证明，，构造函数证明；第三问，利用（2）的结论，当时，，令，，得证.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司