四川省凉山州民族中学2023-2024学年高二下学期数学第四周考试 Word版含解析.docx

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高二下期第四周考试试题数学试卷一、单选题1．设甲：，乙：，则（    ）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2．设，则（    ）A．-1B．0          ·C．1D．23．正方形的边长是2，是的中点，则（    ）A．B．3C．D．54．已知为锐角，，则（    ）．A．B．C．D．二、多选题5．已知函数的图像关于点中心对称，则（    ）A．在区间单调递减B．在区间有两个极值点C．直线是曲线的对称轴D．直线是曲线的切线6．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ）A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切三、填空题7．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为．8．今年哈尔滨冰雪旅游格外火爆，哈尔滨市某公园为欢迎往来游客，设计了一个卡通雪人，雪人放置在上底边长为3m，下底边长为4m，高为1m的正四棱台冰雕底座上，那么冰雕底座需要立方米水制成．（制作过程的损耗忽略不计，冰和水均为理想状态，，）三、解答题9．已知为等差数列，公差，且、、成等比数列．(1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，证明：．10．为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有100人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间，将他们的成绩（满分100分）分成五组，依次为、、、、，制成如图所示的频率分布直方图.  (1)求出的值，并用各区间的中间值估计这100人的竞赛成绩的平均数；(2)采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在（即第四、五组内）的学生中抽取了12人作为航天知识宣讲使者.现从这12名使者中随机抽取1人作为组长，求这名组长的竞赛成绩在内的概率.11．已知双曲线：，点的坐标为．(1)设直线过点，斜率为，它与双曲线交于、两点，求线段的长；(2)设点在双曲线上，是点关于轴的对称点．记，求的取值范围．12．如图，在四棱锥中，与交于点，平面，，.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.参考答案：1．B【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】当时，例如但，即推不出；当时，，即能推出.综上可知，甲是乙的必要不充分条件.故选：B2．C【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．【详解】因为，所以，解得：．故选：C.3．B【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.【详解】方法一：以为基底向量，可知，则，所以；方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得，所以；方法三：由题意可得：，在中，由余弦定理可得，所以. 故选：B.4．D【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【详解】因为，而为锐角，解得：．故选：D．5．(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据等差数列的通项公式及等比中项的性质求出，即可得解；（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可得证.【详解】（1）依题意，，又、、成等比数列，所以，即，解得，所以.（2）由（1）可得，所以 .6．(1)，73.5(2)【分析】（1）由频率之和为解，由频率分布直方图中平均数的估计方法求解平均数即可；（2）先由分层抽样的方法确定每层的人数，然后由古典概率公式计算概率即可.【详解】（1）由，解得；这100人的竞赛成绩的平均数估计为：.（2）成绩在的频率为0.25，成绩在的频率为0.05，所以竞赛成绩在，两个组的人数之比为，采用分层抽样的方法从中抽取人，所以成绩在抽得的人数为人，成绩在抽得的人数为人.现从这12名使者中随机抽取1人作为组长，则这名组长的竞赛成绩在内的概率为.7．(1)(2)【分析】（1）联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解，（2）根据向量数量积的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解.【详解】（1）直线的方程为．由方程组得． 设,则，．（2）设点，则点的坐标为．，，．因为，所以．8．(1)证明过程见解析(2)【分析】（1）根据余弦定理、勾股定理，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；（2）结合（1）中的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）设，所以，因此，由余弦定理可知，，因为，所以，因此，于是有，因此有，即，而，所以，因此，即，因为平面，平面，所以，因为平面， 所以平面；（2）因为平面，平面，所以，由（1）知，所以建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，所以，即，于是，，设平面的法向量为，则有，所以直线与平面所成角的正弦值为，即直线与平面所成角的正弦值.9．AD【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：，所以，，即， 又，所以时，，故．对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；对C，当时，，，直线不是对称轴；对D，由得：，解得或,从而得：或,所以函数在点处的切线斜率为，切线方程为：即．故选：AD．10．ABD【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心到直线l的距离，若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确；若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误； 若点在直线l上，则即，所以，直线l与圆C相切，故D正确.故选：ABD.11．【分析】函数在区间上单调递增，转化为在上恒成立，即恒成立，利用基本不等式求最值可得答案.【详解】因为，所以，因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，即时，恒成立，因为，当且仅当时等号成立，即，所以，故答案为：.12．11.1【分析】计算出正四棱台冰雕底座的体积，换算成冰的质量，再算得所用水的体积即可.【详解】由题意，该正四棱台冰雕底座的体积为：，即冰的质量为：，故需要的水的质量也是，其体积为：.故答案为：11.1.