湖北省襄阳市第四中学2023-2024学年高一下学期质量检测(一）数学 Word版含解析.docx

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襄阳四中2023级高一下学期质量检测（一）数学试题一、单选题（每题5分，共40分）1.若角的终边与单位圆相交于点，则等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数定义直接计算即可.【详解】由题意，根据三角函数定义，所以.故选：D2.若，则的化简结果是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据同角平方和的关系，结合角的范围即可化简求解.【详解】，由于，所以，故，故选：D 3.已知为锐角，且，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】注意到，利用同角三角函数的关系求角的正弦，再利用诱导公式求角的正弦、余弦，从而得到的正切.【详解】因为为锐角，所以且，所以得，由诱导公式得，.所以.故选:D4.已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设扇形的半径为，弧长为，由扇形的弧长公式结合扇形的周长可求得、的值，再利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，扇形的周长为，可得，所以，，故该扇形面积为. 故选：D.5.已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据三角恒等变换化简函数，再由图象的平移得到函数的解析式，利用函数的值域，可知的值为函数的最小正周期的整数倍，从而得出选项.【详解】函数，将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，所以函数的值域为.若，则且，均为函数的最大值，由，解得；其中､是三角函数最高点的横坐标，的值为函数的最小正周期的整数倍，且.故选：C.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象的平移，以及函数的值域和周期，属于中档题.6.已知函数，则下列结论成立的是（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.的最小值与最大值之和为0D.在上单调递增 【答案】B【解析】【分析】对于根据即可求出；对于可根据函数在对称轴处取的最值验证；对于利用解析式可直接求得最大和最小值，验证即可；对于可求得函数的单调增区间，验证即可.【详解】对于,的最小正周期为,故错误；对于，2为最大值，所以的图象关于直线对称，故正确；对于依据函数解析式得故错误；对于令，解得令，得的一个增区间为，故在上为减函数，在上为增函数，故错误.故选：7.已知函数的部分图象如图所示，把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A.为偶函数B.的最小正周期是C.的图象关于直线对称D.在区间上单调递减 【答案】B【解析】【分析】根据给定的图象依次求出，得函数的解析式，结合图象变换求出函数，再根据正弦函数性质逐项判断作答.【详解】观察图象知，，，则，而，于是，函数的周期满足：，即，解得，又，即有，而，于，因此，所以，把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，则，所以，显然函数为非奇非偶函数，故A错误；的最小正周期，故B正确；因为，所以的图象不关于直线对称，故C错误；当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减，则的图象不单调，故D错误.故选：B8.“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”．若函数的图象关于点对称，且，则函数与在内的交点个数为（）A.196B.198C.199D.200【答案】B【解析】 【分析】由题意首先得，进一步，通过数形结合找规律即可得解.【详解】由题意，在中，不妨令，得，所以，经检验满足题意，所以所以，如图所示：由于与都是奇函数，先考虑时的交点个数，由图可知时，与的交点分布在这49个区间内，且每个区间内都有2个交点，同理时，与的交点分布在这50个区间内，且每个区间内都有2个交点，综上所述，函数与在内的交点个数为.故选：B.【点睛】关键点睛：在由求参数时，可先通过令特殊的值代入表达式得到关于的方程组，进一步解之并检验，由此即可顺利得解.二、多选题（每题6分，共18分）9.下列代数式的值为的是（）A.B.C.D. 【答案】BCD【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式可判断A选项；利用切化弦以及二倍角的正弦公式可判断B选项；利用二倍角的正弦公式可判断CD选项.【详解】对于A选项，；对于B选项，；对于C选项，；对于D选项，.故选：BCD.10.函数的部分图像如图所示，则下列说法中错误的是（）A.的最小正周期是B.是奇函数.C.在上单调递增D.直线是曲线的一条对称轴【答案】BC【解析】【分析】由图像求函数解析式，再根据选项研究函数相关性质.【详解】由函数图像可得，， 最小正周期，，，则，又由题意可知当时，，即，则，故，所以.的最小正周期是，A选项正确；，是偶函数，B选项错误；时，，是正弦函数单调递减区间，C选项错误；由，得曲线的对称轴方程为，当时，得直线是曲线的一条对称轴，D选项正确；选项中错误的说法是BC.故选：BC11.主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线，且经过点，则下列说法正确的是（）A.函数奇函数B.函数在区间上单调递减C.，使得D.，存在常数使得【答案】ABD【解析】 【分析】由经过可求出的解析式，利用奇偶性定义可判断A；利用正弦函数的单调性可判断B；求的值可判断D，利用，分、、，三种情况求的化简式可判断C．【详解】因为经过，所以，即，，解得，，又，所以，则，对于A，，时，令，可得，故为奇函数，所以A正确；对于B，时，，对于在上单调递减，可得在上单调递减，所以B正确；对于D，，所以恒，即存在常数m=0，所以D正确； 对于C，当，时，，当，时，，当，时，，所以C错误．故答案为：ABD.【点睛】关键点睛：对于C选项的关键点是利用，分、、，三种情况求的化简式.三、填空題（每题5分，共15分）12.函数的最小正周期是，则______．【答案】【解析】【分析】利用三角函数的周期公式直接求出即可.【详解】因为函数的最小正周期是，所以可得，解得，故答案为：.13.已知，点为角终边上的一点，且，则角________．【答案】． 【解析】【分析】由三角函数定义可得，已知等式用诱导公式变形得可得，结合角的大小及范围求得，然后由两角差的正弦公式求得后可得．【详解】∵，∴，∴，．又，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴．故答案为：.【点睛】本题考查已知三角函数值求角，要求角，一般先求出这个角的某个三角函数值，这里有一个技巧，由角的范围（也可先缩小范围），确定在此范围内三角函数是单调的函数值，这样所求角唯一易得．14.已知函数，若对任意的，，当时，恒成立，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】将问题转化为对任意的，当时，恒成立，不妨设，将问题转化为在 单调递减，再结合利用正弦函数的性质求出的取值范围．【详解】，由，得，所以，所以，因为对任意的，当时，恒成立，所以对任意的，当时，恒成立，，不妨设，则问题转化成在单调递减，所以，其中，解得，所以的取值范围为.故答案为：【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.四、解答题（5道题，共77分）15.已知，其中.（1）求，的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平方关系、结合的范围计算可得答案；（2）先用诱导公式，然后用平方关系变形，再用弦化切计算可得答案.【小问1详解】由题意，又在第三象限，，故解得；【小问2详解】.16.已知函数的部分图象如图所示， （1）求的解析式；（2）当时，求的最值．【答案】（1）（2）最小值是－1，最大值是2．【解析】【分析】（1）由求，由最小正周期求，由求，可得的解析式；（2）时，，结合正弦函数的图像和性质，求的最值．【小问1详解】∵，，∴；由图象可知：最小正周期，∴，又，∴，解得：，又，∴，∴；【小问2详解】当时，，∴当即时，，∴当即时，，∴当时，的最小值是－1，最大值是2． 17.设函数，.（1）求的最小正周期和对称中心；（2）若函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，求函数在区间上的值域.【答案】（1）的最小正周期为，对称中心为；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简函数的解析式为，根据正弦函数的图象与性质即可求解的最小正周期与对称中心；（2）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，判断函数在上的单调性从而求得值域.【详解】（1）令，解得，所以的最小正周期为，对称中心为；（2）函数的图像向左平移个单位得到函数，令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以函数在区间上的值域为.【点睛】本题考查三角恒等变换，求正弦型函数的周期性、对称性与单调性，三角函数图象变换规则，属于中档题.18.如图是一种升降装置结构图，支柱垂直水平地面，半径为1的圆形轨道固定在支柱上，轨道最低点，，.液压杆、，牵引杆、，水平横杆均可根据长度自由伸缩，且牵引杆、分别与液压杆、垂直.当液压杆、同步伸缩时，铰点在圆形轨道上滑动，铰点在支柱上滑动，水平横杆作升降运动（铰点指机械设备中铰链或者装置臂的连接位置，通常用一根销轴将相邻零件连接起来，使零件之间可围绕铰点转动）.（1）设劣弧的长为，求水平横杆的长和离水平地面的高度（用表示）；（2）在升降过程中，求铰点距离的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）轨道圆心为，圆的半径为1，劣弧的长为时，有，由三角函数表示出和的长；（2）证明出，则，通过换元利用基本不等式求出最大值.【小问1详解】记轨道圆心为，则， 设劣弧的长为，则，得，.【小问2详解】由已知，，，，则，又，所以，则，令，有，.则，，因为，当且仅当时，取到等号，所以铰点距离的最大值为.【点睛】方法点睛：求的最大值时，证明，由已知的和，有，通过换元，有，借助基本不等式可求最大值.19.设n次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式．例如：由可得切比雪夫多项式，由 可得切比雪夫多项式．（1）若切比雪夫多项式，求实数a，b，c，d的值；（2）已知函数在上有3个不同的零点，分别记为，证明：．【答案】（1）a，b，c，d的值分别为；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用给定的定义，结合和角的余弦化简并求出作答.（2）利用（1）的结论，求出，再利用和差角的余弦计算作答.【小问1详解】依题意，，因此，即，则，所以实数a，b，c，d的值分别为.【小问2详解】函数在上有3个不同的零点，即方程在上有3个不同的实根，令，由（1）知，而，则或或，于是，则，而，所以.【点睛】思路点睛：由方程的特点，联系切比雪夫多项式，把函数零点问题转化为三角函数求角的问题求解.