四川省泸州市叙永第一中学2024届高三下学期开学考试数学（理）试题 Word版含解析.docx

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叙永一中高2021级高三下期开学考试理科数学试卷本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由二次函数的值域得集合M，由得集合N，再求交集即可.【详解】集合，由，解得，所以，所以.故选：A.2.若复数，则（）A.1B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】应用除法法则求出，再根据模的计算公式计算.【详解】，则.故选：B3.右图是2012年在某大学自主招生考试的面试中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（） A.84，4.84B.84，1.6C.85，1.6D.85，4【答案】C【解析】【分析】去掉最高分93和最低分79计算出平均数再代入方差公式即可.【详解】由图易知最高分为93,最低分为79，则剩余数的平均数为，代入方差公式：则剩余数据的平均数和方差分别为85和1.6故选：C.4.已知变量满足，若目标函数取到最大值3，则a的值为（）A.2B.C.D.1【答案】A【解析】【分析】根据已知画出可行域，由目标函数最大值，数形结合讨论参数a，判断函数所过的点列方程求参数，即可得答案.【详解】画出可行域知，该区域是由点所围成的三角形区域（包括边界），直线在y轴上的截距为，斜率为，要使目标函数取到最大值3， 当时，过时有最大值，，不符；当时，过时有最大值，，不符；当时，过时有最大值，，满足.当时，过时有最大值，，不符.所以.故选：A5.在的展开式中，的指数是整数的项共有（）A.3项B.4项C.5项D.6项【答案】C【解析】【分析】先写出展开式的通项，然后分析的指数部分，对取合适的值使的指数为整数，由此完成求解.【详解】因为展开式通项为，若为整数且，经计算可知满足条件，所以共有项，故选：C.6.已知直线分别与轴、轴交于、两点，点在圆上，则面积的最大值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，加上半径最大，再利用三角形的面积公式即可求解.【详解】设点到直线的距离为，点到直线的距离为，则， ，故选：B【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、三角形的面积公式，属于基础题.7.教育的目标是立德树人，是为新时代具有中国特色的社会主义培养全面发展的接班人，某初中学校为了响应上级的号召，促进学生的全面发展决定每天减少了一节学科类课程，增加了一节活动课，为此学校特开设了传统武术，舞蹈，书法，小提琴四门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，初一到初三3学年将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A.60种B.78种C.54种D.84种【答案】C【解析】【分析】由题意每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，2，2，利用分组分配的方法求解即可.【详解】由题意，三年修完四门选修课程，每学年至多选2门，则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，2，2，先将4门学科按1，1，2分成三组，有种方式，再分到三个学年，有种不同方式，由分步计数原理得，不同选修方式共有种．同理将4门课程按0，2，2分成三组，再排列，有种，所以共有种，故选：C．8.函数的部分图像大致是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】根据指数函数的值域和绝对值的几何意义可知，再结合导数求出函数在上的单调性，由此可得出答案．【详解】解：根据指数函数的值域和绝对值的几何意义可知，则C、D错；当时，，，由得，由得，∴函数在上单调递减，在上单调递增，则A对，B错；故选：A．【点睛】本题主要考查函数图象的识别，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．9.甲、乙、丙、丁四人商量是否参加志愿者服务活动.甲说：“乙去我就肯定去.”乙说：“丙去我就不去.”丙说：“无论丁去不去，我都去.”丁说：“甲、乙中只要有一人去，我就去.”则以下推论可能正确的是A.乙、丙两个人去了B.甲一个人去了C.甲、丙、丁三个人去了D.四个人都去了【答案】C【解析】【分析】直接利用甲、乙、丙、丁四位同学所说结合丙说：“无论丁去不去，我都去．”分别分析得出答案．【详解】对于选项A，∵丙说：“无论丁去不去，我都去．”∴丙一定去出游，故A选项错误；对于选项B，∵乙说：“丙去我就不去．”，∴由选项A可知，乙一定没去，故选项B错误；对于选项C，∵丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”∴由选项B可知，甲、丁一定都出游，故甲、丙、丁三个人去了，此选项正确；对于选项D，∵乙说：“丙去我就不去．”∴四个人不可能都去出游，故此选项错误．故选：C．【点睛】此题主要考查了推理与论证，依次分析得出各选项正确性是解题关键．10.已知，，下列不等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质、作差法比较大小，以及对数函数单调性，即可容易判断.【详解】由，，可得，故A不正确；由，，则，则，可得，故B正确；由，，，故C错误；由可得，故D不正确故选：B【点睛】本题考查由已知条件判断不等式的正误，涉及对数函数单调性的应用，属综合简单题.11.已知、分别是双曲线的左、右焦点，点在上，若，且，则的离心率是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意可知，点在双曲线的左支上，利用勾股定理计算得出，利用双曲线的定义可得出、所满足的等量关系式，进而可求得双曲线的离心率.【详解】因为为双曲线的左焦点，且，则点在双曲线的左支上， ，由勾股定理可得，由双曲线的定义可得，所以，双曲线的离心率为.故选：C.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.12.已知，，若对于、，，都有恒成立，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题首先可以求出，并证得在上为增函数，然后设 以及，将转化为证明在上恒成立，再然后将在上恒成立转化为，令，得到，最后通过求出即可求出的取值范围.【详解】因为，所以，设，因为，所以在上为增函数，不妨设，则等价于，即，设，则证明，即证明在上恒成立，化简得，，设，则，，因为在上单调递增，所以，，故选：D．【点睛】本题考查通过导数求不等式恒成立，考查函数单调性的定义的灵活应用，考查通过导数判断函数单调性，考查化归与转化思想，考查计算能力，是难题.第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.等差数列中，，，设为数列的前项和，则_________.【答案】【解析】 【分析】由等差数列的性质可得出的值，然后利用等差数列的求和公式可求出的值.【详解】由等差数列基本性质可得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于基础题.14.已知在单调递减，且为奇函数.若，则满足的x的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据函数奇偶性，可得函数值，整理不等式，结合函数单调性，化简不等式，可得答案.【详解】由函数为奇函数，则，由不等式，则，可得，由函数在单调递减，则，解得.故答案为：.15.三棱柱中，面，所有顶点在同一个球面上，，则该球的表面积为________.【答案】【解析】【分析】由题设所求外接球是以为邻边长方体的外接球，进而求出球体半径，即可求球的表面积.【详解】由题意，三棱柱是以为邻边长方体截得的，其外接球是其长方体的外接球， 其直径是长方体的对角线长为，所以，所以该球的表面积为.故答案为：16.在中，，，是角，，所对应边，且，，成等比数列，则的取值范围___.【答案】【解析】【分析】将所求式子进行化简得到，根据题意得到，再由三角形三边关系，得到不等式，从而得到关于的不等式组，解出的范围，得到答案.【详解】因为，，成等比数列，所以，即，在中，，即，所以， 设，所以，即，解得，所以，即.故答案为：.【点睛】本题考查三角恒等变形，三角形三边关系，正弦定理角化边，解一元二次不等式，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.在“低碳生活知识竞赛”第一环节测试中，依次回答A，B，C三道题，且A，B，C三道题的分值分别为30分､20分､20分.竞赛规定：选手累计得分不低于40分即通过测试，并立即停止答题.已知甲选手回答A，B，C三道题正确的概率分别为0.1､0.5､0.5，乙选手回答A，B，C三道题正确的概率分别为0.2､0.4､0.4，且回答各题时相互之间没有影响.（1）求甲通过测试的概率；（2）设Y为本次测试中乙的得分，求Y的分布列以及期望；（3）请根据测试结果来分析，甲，乙两人谁通过测试的概率更大？【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）甲通过测试的概率更大.【解析】【分析】（1）甲通过测试，则甲的得分X为40或50，分别求出概率，然后相加即可；（2）Y的可能取值为0，20，30，40，50.分别求出相应的概率值，列表求出期望即可；（3）比较二者通过测试的概率即可.【详解】（1）若甲通过测试，则甲的得分X为40或50，， ，所以；（2）Y的可能取值为0，20，30，40，50.，，，，.Y的分布列为Y020304050P0.2880.3840.0720.1280.128则；（3）甲通过测试的概率更大.理由如下：乙通过测试的概率，甲通过测试的概率为0.3，大于乙通过测试的概率.18.如图，在三棱锥中，.（1）证明：平面平面；（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】【分析】（1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）根据二面角和线面角的定义，结合线面垂直的判定定理和性质进行求解即可.【小问1详解】设点在面内的射影为点，由知，又为直角三角形，故点为线段的中点，则面，又平面，平面平面；【小问2详解】过点作的平行线交于点，则，连接，因面，面，所以平面，所以面，而面，所以，所以即为二面角的平面角，故，，则，，，过点作于，连接，由面面，因为平面平面，，平面，所以面，即为直线与平面所成角，.19.已知数列的前n项和为，且，，n. （1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求证：≤＜.【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由可得当n≥2时，，两式相减可得，，利用等比数列的通项公式可得，进而可求；（2）结合（1）可得，利用裂项相消法求得，结合数列的增减性，可得结论.【详解】（1）∵当n＝1时，，即，∴；当n≥2时，，∴，∴，即；∴是等比数列，且首项为，公比为，∴∴；（2）， ∴又∵单调递增，所以，∴≤＜.【点睛】方法点睛：数列求和的常见方法：1、等差等比公式法；2、裂项相消法；3错位相减法；4、倒序相加法.20.已知右焦点为的椭圆经过点.（1）求椭圆的方程；（2）经过的直线与椭圆分别交于、（不与点重合），直线、分别与轴交于、，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，且直线的方程为.【解析】【分析】（1）根据题意可得出关于、方程组，解出、的值，即可得出椭圆的标准方程；（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，设直线、的斜率分别为、，将韦达定理代入等式，求出的值，即可得出结论.【详解】（1）因为椭圆经过点，且该椭圆的右焦点为.所以，，解得，因此，椭圆的标准方程为；（2）存在直线，使得，理由如下： 若直线与轴垂直，则直线过点，不合乎题意，由已知可设所在直线的方程为，代入椭圆的方程，得，，设、，则，，记直线、的斜率分别为、，欲使直线满足，只需.因为、、三点共线，所以，即.即.由，即，可得.所以存在直线，使得，此时直线的方程为，即.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；（5）代入韦达定理求解.21.已知函数，且.（1）当时，求函数的单调区间与极大值；（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）的单调增区间为,单调减区间为，极大值，无极小值；（2）【解析】【分析】（1）将代入，求，由和可得的单调区间，由单调性即可得极值；（2），即当时，恒成立，利用导数分、讨论的单调性和最值，最小值小于即可.【详解】（1）当时，函数，，由，可得，单调递增；由，可得，单调递减；所以函数的单调增区间为,单调减区间为，当时，函数取极大值，无极小值.（2）由题意可得：对于恒成立， ，①当，时，；时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符合题意；③当时，时恒有，故在上是减函数，所以对任意都成立只需，即，解得：，故.综上所述：的取值范围是.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；（2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，且，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；（2）若直线与轴交点记为，与曲线交于，两点，求．【答案】（1）,；（2）1． 【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.【详解】解：（1）曲线的参数方程为为参数，且，转换为直角坐标方程为．直线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为．（2）直线与轴交点记为，即，转换为参数方程为为参数）与曲线交于，两点，把直线的参数方程代入方程．得到，所以，，则：．【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.设函数.（1）解不等式；（2）当x∈R，0