吉林省四校2023-2024学年高二下学期期初联考试题 数学 Word版含解析.docx

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2023-2024学年度高二下学期四校期初联考数学试题本试卷满分150分，共4页．考试时间为120分钟．考试结束后，只交答题卡．一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的，请仔细审题，认真做答）1．已知直线的方向向量为，则的倾斜角为（）A．B．C．D．2．等差数列的前项和为．若，则（）A．8096B．4048C．4046D．20243．如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（）A．B．C．D．4．已知分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于（）A．B．C．D．5．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，则（） A．B．C．D．6．已知直线与圆交于两点，则下列结论不正确的（）A．圆的面积为B．过定点C．面积的最大值为D．7．如图，已知抛物线，圆，过圆心的直线与抛物线和圆依次交于，则的最小值为（）A．14B．23C．18D．158．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列说法正确的是（）A．B．是偶数C．D．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，两个选项每个选项3分，三个选项每个选项2分，有选错的得0分）9．等差数列的前项和为，若，则（）A．的公差为1B．的公差为2C．D．10．已知椭圆的长轴长为4，离心率为分别为椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆相交于两点，则下列说法正确的是（） A．椭圆的标准方程为B．椭圆上存在点，使得C．是椭圆上一点，若，则D．若的内切圆半径分别为，当时，直线的斜率11．在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为线段上的一个动点，则（）A．三棱锥的体积为定值B．存在点，使得平面平面C．当时，直线与所成角的余弦值为D．当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，请仔细审题，认真做答）12．圆与圆的公共弦的长为____________．13．在数列中，，则____________．14．设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于点，，则的离心率为____________．四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）15．（本小题满分为13分）已知数列中，．（1）求的值；（2）证明：数列是等差数列；（3）求数列的通项公式．16．（本小题满分为15分）已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为 ，与的交点为，且．（1）求的方程；（2）延长交抛物线于为坐标原点，求的面积．（3）延长交抛物线准线于，曲线是以为直径的圆，求点到的最小值．17．（本小题满分为15分）去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中8万吨垃圾以填埋方式处理，12万吨垃圾以环保方式处理，为了确定处理生活垃圾的预算，预计从今年起，每年生活垃圾的总量递增，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加5万吨．（1）请写出今年起第年用填埋方式处理的垃圾量的表达式；（2）求从今年起年内用填埋方式处理的垃圾量的总和；（3）预计今年起9年内，哪些年不需要用填埋方式处理生活垃圾．18．（本小题满分为17分）如图，在三棱柱中，底面侧面．（1）证明：平面；（2）若求三棱锥的体积；（3）在（2）的条件下，求平面与平面的夹角的余弦值．19．（本小题满分为17分）已知动圆经过定点，且与圆内切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）设轨迹与轴从左到右的交点为，点为轨迹上异于的动点，设交直线于点，连接交轨迹于点，直线的斜率分别为．①求证：为定值；②证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标． 2023-2024学年度下学期四校期初联考高二数学答案（选择性必修一+选择性必修二第四章）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的，请仔细审题，认真做答）12345678BBCADCAD二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，两个选项每个选项3分，三个选项每个选项2分，有选错的得0分）91011ACDACDABD2．B由等差数列的性质可得，所以，所以．3．C如图，以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为1，所以，所以，则所以异面直线与所成角的余弦值为所以正弦值为故选：C． 4．A，消去得，所以的面积故选：A5．D察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了其周长的，即，所以为首项为，公比为的等比数列，．故选：D6．C对于A：圆即的圆心为，半径，故圆D的面积为，正确；对于B：将直线整理为：，令，解得，即直线过定点，正确；对于C：定点到圆心的距离，设点到直线的距离为，则，则，当且仅当，即时，等号成立，故的面积的最大值为，错误；对于D：当直线与垂直时，弦的长度最小， 当直线过圆心时，弦的长度最大，所以可得，正确．7．A易知抛物线的焦点为，设点，圆的半径为1，由抛物线的定义可得，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，设直线的方程为，联立可得，则，由韦达定理可得，所以，当且仅当时，即当或时，等号成立，因此，的最小值为14．故选：A．8．D由已知得数列满足递推关系．选项A：，A错误；选项B：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，，不能被3整除，且为奇数，所以也为奇数，故B错误；选项C：若选项C正确，又，则，同理，依次类推，可得，显然错误，故C错误；选项D：，所以，故D正确．故选：D． 9．设的公差为，由，得，解得，故A正确，B错误；，C，D正确．10．对于A，因为椭圆的长轴长为，所以，又因为椭圆的离心率，所以，所以，所以椭圆，故A正确；对于B，若椭圆上存在点，使得，则点在圆上，又因为方程组无解，故B错误；对于C，设，则，在中，由余弦定理可得，因为，所以，所以，故C正确；对于D，，显然直线斜率不为0，设直线， 由，整理得：，恒成立，所以，依题意有，得，所以，即，同理可得，因为，所以，又因为，所以，因为，所以，解得，代入到，得，解得，所以直线的斜率为，故D正确．故选：ACD11．对于A项，因为平面平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离为定值， 又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故A项正确；建立如图1所示的空间直角坐标系，则，，对于B项，，设，则．设平面的法向量为，由，令，可得．设平面的法向量为，由，令，可得．若平面平面，则，解得，故B项正确；对于C项，建立如图1所示的空间直角坐标系，当时，．设直线与所成的角为，则，即直线与所成角的余弦值为，故C项错误； 对于D项，如下图，当为的中点时，．设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为，故D项正确．故选：ABD．12．由，得，即两圆公共弦所在直线的方程为，圆，圆心为，半径为，则圆心到直线的距离为，所以公共弦长为．故答案为：13．6因，故有，即得，所以．故答案为：6．14．由双曲线的对称性可得，有四边形为平行四边形，令 ，则由双曲线定义可知，故有，即即，则，即，故，则有即，即，则，由，故15．（1）解：数列中，，且，令，可得．（2）证明：由，当时，可得，则，又由，可得，所以是公差为3的等差数列，即数列是公差为3等差数列．（3）解：由（2）知，数列是首项为1，公差为3的等差数列，所以即数列的通项公式为16．（1）设，代入由中得，所以， 由题设得，解得（舍去）或．所以的方程为；（2）由（1）知，所以直线方程为，即，联立，则，故，故，原点到直线的距离为，故（3）由（2）知直线方程为，则因为，所以圆心，半径到曲线最小值为17．（1）由题意可知．（2）由（1）可知 化简可得（3）当时，当时，当时，……当时，所以第3到第9年不需要18．（1）平面平面平面，平面平面，平面，平面，，四边形为菱形，，平面，平面．（2）因为所以是等边三角形过做垂直于于点因为平面平面，所以又于所以平面 平面与平面间距离大小为，即到平面的距离为．．（3）以为原点，及平面过点的垂线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，平面，即为平面的法向量，设平面的法向量为，则，即，令，可得，，平面与平面的夹角的余弦值为19．（1）设动圆的半径为，由题意得圆的圆心为，半径，所以，则，所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆．（2）设．由（1）可知，如图所示， 所以，又因为，即，于是，所以，又，则，因此为定值②设直线的方程为，由①中知，由得，由根与系数的关系得由①可知，，即，代入化简得，解得或（舍去），所以直线的方程为，所以直线经过轴上的定点，定点坐标为