湖北省沙市中学2023-2024学年高三下学期3月月考试题 数学 Word版含解析.docx

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2023—2024学年度下学期2021级3月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知则A.-2B.0C.2D.0或22.若，则（）A.B.C.D.3．已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（   ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则4．设实数满足，若数据1，3，4，，，的平均数和第50百分位数相等，则（    ）A．B．C．D．5．已知正项等比数列中，成等差数列.若数列中存在两项，使得2a1为它们的等比中项，则的最小值为A．3B．4C．6D．96.某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男生不相邻，两名女生也不相邻，老师不站在两端，则不同的排法共有A．8种B．16种C．24种D．32种7．已知是双曲线上不同的三点，且，直线的斜率分别为.若的最小值为2，则双曲线的离心率为A.B.2C.D.8．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若与均为偶函数，则下列结论中错误的是（）A．B．函数的图象关于点对称C．函数的周期为2D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知,是的共轭复数，则（    ）A．若，则B．若为纯虚数，则C．若，则D．若，则集合所构成区域的面积为10．设A、B是一次随机试验中的两个事件，且则()A.A,B相互独立B.C.D.11．已知函数，若有且仅有三个零点，则下列说法中正确的是：A.有且仅有两个零点；B.有一个或两个零点；C．的取值范围是；D.在区间上单调递减。三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量，，若与所成的角为钝角，则实数的取值范围：.13．已知函数,若有最小值，则的取值范围是.14．在中，，，，P为边AB上的动点，沿CP将折起形成直二面角，当最短时，＝，此时三棱锥的体积为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题13分）设函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围． 16．（本题满分15分）现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，．现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”．(1)求；(2)若取出的球是合格品，求该球是甲工厂生产的概率．17.（本题15分）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若(1)求与平面所成角的正切值；(2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；18．（本题17分）如图，D为圆O：上一动点，过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接并延长至点W，使得，点W的轨迹记为曲线．（1）求曲线C的方程；（2）若过点的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，且，求证：直线MN过定点；（3）若曲线C交y轴正半轴于点S，直线与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由． 19.（本题17分）基本不等式可以推广到一般情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时等号成立。若无穷正项数列同时满足下列两个性质：（1）；（2）为单调数列，则称数列具有性质P.（1）若，求数列的最小项；（2）若，记，判断数列是否具有性质P，并说明理由；（3）若，求证：数列具有性质P. 高三年级3月月考数学答案一、选择题：1．C2.A3．B4．C5．A6.D7．C8．C（8）【解】：因为为偶函数，所以为奇函数，故关于对称，A正确；因为为偶函数，所以为奇函数，则的图象关于点对称，B正确；因为为偶函数，所以关于对称，结合关于对称，可知的周期为4，C错误；由且关于对称，知，又的周期为4，可知，．由关于对称，又关于对称，可知也关于对称，所以．因此==0，所以D正确．答案为：C．9．ABD10．答案：AB11．ABD（11）【解】作出函数的图象，则上有两个最小值点，有一个或两个最大值点，故A、B正确。由于函数上有且只有3个零点，由图象可知，故C错误。当时，，由知，所以在上递减，D正确。12．13．14.（13）【解】当时，，当时，，若，则当时，，则此时函数无最小值；若，则当时，，时，，则函数有最小值为满足题意；若，则当时，，时，，要使函数有最小值，则，解得；综上，的取值范围是，（14）【解】作于点，连接，设，则，所以，在中，由余弦定理可得， ，因为为直二面角，所以平面平面，因为平面平面，，且平面，所以平面，因为平面，所以，则，当最短时，，所以，即此时为的角平分线，，且由角平分线定理可得，，即，所以，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解】（1）.（2），当时的最大值为，等价于对于恒成立，，，，当时，不等式成立，当，即对于恒成立，令，于是在，，递增；在，，递减，，的取值范围为16．【解】（1）依题意，.（2）该球是甲工厂生产的概率为．17.【解】（1）与平面所成角的正切值为；（2）存在点，当时，点到平面的距离为；18．【解】（1）设，，则，由题意知，所以，得(，所以，因为，得 ，故曲线C的方程为．（2）由题意可知，直线不平行坐标轴，则可设的方程为：，此时直线的方程为．由，消去得：，解得：或(舍去)，所以，所以，同理可得：．当时，直线的斜率存在，，则直线的方程为，所以直线过定点．当时，直线斜率不存在，此时直线方程为：，也过定点，综上所述：直线过定点．（3）假设存在点R使得，设，因为，所以，即，所以，所以，直线与曲线C交于不同的两点G、H，易知G、H关于轴对称，设，易知点，直线方程是，令得点P横坐标，直线方程是，令得点Q横坐标，由 ，得，又在椭圆上，所以，所以，解得，所以存在点，使得成立．19.解：（1），当且仅当时等号成立.数列的最小项为.（2）数列具有性质P，，，满足性质（1）；又即单调递增，满足性质（2）故数列具有性质P.（3）先证满足性质（1），当时再证数列满足条件（2）（，等号取不到），故为递增数列.即数列具有性质P.