四川省宜宾市兴文第二中学校2023-2024学年高一上学期期末数学试题 Word版含解析.docx

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兴文二中高2023级高一上期期末考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】结合集合交、并、补的基本运算计算即可.【详解】由题意可得，则.故选：D2.如果，那么下列不等式中正确的是（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据特殊值排除选项A、B、C；根据不等式的基本性质判断选项D.【详解】当时，对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，所以，即，则，故D正确.故选：D. 3.已知，都是实数，那么“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】通过举反例说明由前者推不出后者,由后者也推不出前者,利用充分条件、必要条件的定义得到结论.【详解】若“”成立推不出“”成立,例如满足“”但不满足“”反之,若“”成立,也推不出“”成立,例如满足“”但不满足“”所以“”是“”的既不充分也不必要条件故选D.【点睛】判断一个条件是另一个条件的什么条件,应该先化简各个条件,再利用充分条件、必要条件的定义加以判断.4.若角为第四象限角，且，则（）AB.C.2D.-2【答案】D【解析】【分析】根据角是第四象限的角，，利用平方关系得到，然后再利用诱导公式求解.【详解】∵角是第四象限的角，，∴， ∴.故选：D.【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式和诱导公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5.若且，则的最小值为（）A.7B.8C.9D.16【答案】C【解析】【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意取值条件.【详解】由题设，，当且仅当，即时等号成立.故选：C6.塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达200~400年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委、生态环境部等9部门联合发布《关于扎实推进污染物治理工作的通知》明确指出，2021年1月1日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为，其中为初始量，为光解系数.已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的.该品牌塑料袋大约需要经过（）年，其残留量为初始量的10%.（参考数据：，）A.20B.16C.12D.7【答案】B【解析】【分析】由，解方程即可.【详解】依题意有时，，则，当时，有，， .故选：B7.设，且1是关于的一元二次方程的一个实根，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先由题意得到，再结合，从而关于的不等式组，再分析的正负，从而得解.【详解】因为1是一元二次方程的一个实根，则，所以有，则，又，所以，即，则，又因为，所以，即，所以，则不等式等价为，即，则；所以的取值范围为，即.故选：A.8.已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，.当时，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】由及函数是定义在上的偶函数可得周期为2，即可求解.【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且对任意，，所以，所以，即函数的周期为，故，由时，得：，令，由得：，所以故选：D【点睛】本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，考查了推理计算能力，属于中档题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合，，则（　　）A.0不可能属于BB.集合可能是C.集合不可能是D.集合【答案】BCD【解析】【分析】由题可得，然后根据集合的关系及集合元素的特点进行逐一判断即可．【详解】∵，∴，故D正确．∵集合，∵，∴集合可能是，故B正确；∵，∴集合不可能是，故C正确；∵，∴0可能属于集合，故A错误.故选：BCD. 10.已知函数，则（）A.是奇函数B.的最小正周期为πC.的图象关于点对称D.在上是增函数【答案】ABD【解析】【分析】利用诱导公式整理可得，结合正弦函数性质逐项分析判断.【详解】∵，对于A：∵，故是奇函数，A正确；对B：的最小正周期为，B正确；对C：，故点不是的对称中心，C错误；对D：∵，则，且在上是增函数，∴在上是增函数，D正确；故选：ABD.11.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（）A.的值域为B.的定义域为C.为周期函数D.为偶函数【答案】BCD【解析】 【分析】由所给定义求出函数定义域与值域，即可判断A、B，根据周期性的定义判断C，根据偶函数的定义判断D.【详解】因为，所以的值域为，定义域为，故A错误，B正确；对于任何一个非零有理数，若为有理数，则也为有理数，则，若为无理数，则也为无理数，则，即任何一个非零有理数都是函数的周期，即为周期函数，故C正确；当为有理数时，为有理数，则，当为无理数时，为无理数，则，故为偶函数，故D正确；故选：BCD12.若，则下列不正确是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】构造函数，利用单调性可得，据此可判断AB，根据与1大小不确定，可判断CD.【详解】,令，因为在为增函数，所以为增函数，因为，即，故，则，所以，则，故A错B对； 因为，不能确定与1的大小关系，故CD错误.故选：ACD第II卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知角的始边与轴正半轴重合，终边在射线上，则__________．【答案】##0.2【解析】【分析】对于角终边上取一点，由三角函数的一般定义，可得的值【详解】在角终边上取点，由三角函数的一般定义得，所以.故答案为：．14.已知函数，若，则_______．【答案】9【解析】【分析】对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果.【详解】当时，则，则不成立当时，则，则成立∴故答案为：9.15.函数落在区间上的所有零点之和为______.【答案】2【解析】 【分析】将问题转化为函数与的图象在上的所有交点的横坐标和，根据两函数图象都关于对称，即可由对称的性质得出横坐标和.【详解】函数落在区间上的所有零点等价于函数与的图象在上的所有交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中作出与的图象如下：由图知两函数图象在上有两个交点，设其横坐标为因为点即是函数的图象的对称中心，也是的图象的对称中心，所以，即，则函数落在区间上的所有零点之和为2，故答案为：2.16.已知奇函数在定义域上是减函数，且，则实数m的取值范围为____________．【答案】【解析】【分析】由已知奇函数是定义在上的减函数,我们可以将不等式,转化为一个关于m的不等式组，解不等式组，即可得到实数m的取值范围.【详解】因为奇函数是定义在上的减函数,所以不等式可转化为: 可得解得:故答案为:.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.化简与求值：（1）计算；（2）已知，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据对数的运算法则及对数恒等式即可求出答案；（2）利用平方法根据，可求出，，从而可求出答案.【小问1详解】原式；【小问2详解】因为，所以两边平方，得，因为，，所以，所以原式.18.设集合,.(1)若,求; (2)若,求的取值范围，【答案】(1)；(2)或.【解析】【分析】（1）求解指数不等式化简集合A，代入m=3求得B,再求并集和补集（2）对集合B分类讨论，当B为空集时满足题意，求出m的范围，当B≠∅时，由两集合端点值间的关系列不等式求解．【详解】（1），当时，，∴,∴.（2）若，则，即，;若，即时，要使，则,解得,综上可得或.【点睛】本题考查子集与真子集，考查了集合的包含关系及其应用，训练了指数不等式的解法，是中档题．19.已知幂函数为偶函数．（1）求的解析式；（2）若，求函数在区间上的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数为幂函数可得出实数的值，结合函数为偶函数可得出的值，由此可得出函数的解析式；（2）利用二次函数的单调性可求得函数在上的值域.【小问1详解】解：因为函数为幂函数，则，解得或.当时，函数为奇函数，不合乎题意； 当时，函数为偶函数，合乎题意.综上所述，.【小问2详解】解：由（1）可得，所以函数在上为减函数，在上为增函数，所以，，.因此，函数在区间上的值域为.20.已知函数（，，）的最大值为，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使函数存在.（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间．条件①：的最小正周期为；条件②：.注：如果选择的条件不符合要求，本题得分．【答案】（1）（2）（）．【解析】【分析】（1）选择合适的条件分别求解即可得的解析式；（2）根据正弦函数的单调性整体法代入求解即可得求的单调递增区间．【小问1详解】选条件①：因为的最小正周期为，所以.又，所以．因为的最大值为，所以. 又，所以．所以.因为，所以.又，所以．所以．选择条件②：因为的最大值为，所以.又，所以．所以.又，则，又，故不符合题意；【小问2详解】因为函数的单调递增区间为（）．所以由（），得（）．所以的单调递增区间为（）．21.某森林出现火灾，火势正以每分钟的速度顺风蔓延，消防站接到警报后立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场.已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁森林损失费为60元.（1）设派名消防员前去救火，用分钟将火扑灭，试建立与的函数关系式，并求出的取值范围；（2）问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？（总损失＝灭火材料、劳务津贴等费用＋车辆、器械和装备费用＋森林损失费）【答案】21.与的函数关系式为，的取值范围为22.27【解析】【分析】（1）根据题意可直接得出，从而可求出的取值范围；（2）根据题意得到，再利用基本不等式即可求出结果.【小问1详解】由题意知，，即，易知，所以与的函数关系式为，的取值范围为. 【小问2详解】设总损失为，则，当且仅当，即时，有最小值所以应该派27名消防队员前去救火，才能使总损失最少.22.已知函数，.（1）若函数有两个不同的零点，求a的取值范围；（2）若函数在区间上单调递减，求a的最小值；（3）若，对任意均有，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）1（3）【解析】【分析】（1）求出函数的定义域，有两个不同的零点，即关于x的方程有两个不等的实根，即关于x的方程在函数的定义域内有两个不等实根，列出不等式组，解之即可得解；（2）设对任意的，，且，利用作差法，根据函数在区间上单调递减，，分离参数即可得出答案；（3）由（2）得当时，在上单调递减，所以，分，两种情况讨论，从而可得出答案.【小问1详解】解：函数的定义域为，因为有两个不同的零点，所以关于x的方程有两个不等的实根，所以，因为关于x的方程有两个大于的不等实根， 所以，，解得；【小问2详解】解：设对任意的，，且，.因为在上单调递减，所以，又因为，所以，所以恒成立，因为，所以，，所以，因此a的最小值是1；【小问3详解】解：由（2）得当时，在上单调递减，所以，即当时，，当时，设，由，得，①当时，在上单调递增，所以成立， ②当时，，因为二次函数的对称轴，所以在上单调递增，所以，当时，，所以成立，综上，实数m的取值范围是.