湖南省湘西自治州2023-2024学年高一上学期期末质量监测数学试卷 Word版含解析.docx

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湘西自治州2023年下学期高一年级期末质量检测数学试卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.【详解】因为，则，所以，所以，又因为，所以.故选：A.2.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数定义结合诱导公式即可求解.【详解】根据三角函数定义， 可得，所以.故选：D3.“”是“”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，可得答案.【详解】由可得，则，即“”是“”的充分条件，当时，成立，但推不出，故“”是“”充分不必要条件，故选:B4.函数的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性及特殊值排除ABC即可. 【详解】因为定义域为，且,所以函数为奇函数，故排除C；由可排除A；由排除B.故选：D5.砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．图（2）是根据一个砖雕（如图（1））所作的扇环形，该扇环可视为将扇形OAB截去同心扇形OCD所得的图形，若，，分别在OA，OB上，，的长度，则该扇环形砖雕的面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据扇形的弧长公式及面积公式求解即可.【详解】因为，，所以，所以,由扇形面积公式可得扇环形砖雕的面积为：，故选：A6.若是偶函数，则（）A.1B.C.D.2【答案】C【解析】【分析】根据偶函数的定义，利用求解即可得解.【详解】因为是偶函数， 所以，即，所以，故选：C7.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意得：在上单调递增，根据二次函数的性质列不等式即可.【详解】由题意得：在上单调递增，所以对称轴，所以.故选：B.8.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）、燃料的质量（单位：）、火箭的质量m（单位：）满足函数关系式为．已知当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到，当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到，则（）A.1B.3C.－1D.－3【答案】B【解析】【分析】根据题意可得与的关系，代入式子，立方差公式化简即可得解.【详解】由题意，，所以， 所以.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列各式的值为1的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据两角和差的余弦公式判断AD，根据二倍角的正弦公式判断B，根据两角和的正切公式判断C.【详解】因为，故A错误；因为，故B正确；因为，故C正确；因为，故D错误.故选：BC10.已知函数的最小正周期为，则（）A.B.的图象与轴交于点C.的图象关于直线对称D.在区间上单调递增【答案】ACD【解析】【分析】根据周期求出判断A，计算可判断B，计算判断C，根据余弦函数的单调性判断D. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得，故A正确；由，令，则，即函数与轴交于点为，故B错误；因为，所以函数图象关于直线对称，故C正确；当时，，由余弦函数单调性知在上单调递增，所以在区间上单调递增，故D正确.故选：ACD11.已知函数图象是一条连续不断的曲线，且，则下列说法正确的是（）A.B.在区间上单调递减C.若，则函数有3个不同的零点D.若，则函数有3个不同的零点【答案】ABC【解析】【分析】根据图象特点及条件确定，由函数解析式计算可判断A，作出函数图象，数形结合即可判断BCD.【详解】令，解得或，因为函数的图象是一条连续不断的曲线，所以或，当时，不成立，舍去， 当时，成立，故，所以，故A正确；作函数的图象，如图，由图象可知，当时，函数单调递减，故B正确；令，可得方程，即方程的根为函数零点，由函数图象可知，当时，与图象有3个交点，所以方程有3个根，即有3个不同的零点，故C正确；由图象可知，斜率大于2时，与图象中左下方射线部分无交点，与的图象有2个交点，即当时有3个不同的零点表述错误，故D错误.故选：ABC12.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据换底公式判断A，找中间量，分别与之比较判断B，作差后换底公式化简判断CD.【详解】，又，，所以，即，故A错误； 因为，所以，即，又，，所以，即，故B正确；因而，，所以，即，故C错误；由，所以，故D正确.故选：BD【点睛】关键点点睛：本题的难点在于B选项思路的探求，关键在于找到合适的中间量，分别比较大小，在比较大小的时候，采用对数、指数的性质运算，技巧性很强，不好处理.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知幂函数的图象经过点，则______．【答案】4【解析】【分析】待定系数法求出解析式，利用解析式求函数值.【详解】设幂函数，则，即，所以，所以.故答案为：414.已知，则______.【答案】【解析】【分析】根据，可得到，从而得到的值.【详解】因为，， 所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查同角三角函数关系，二倍角正弦公式，属于简单题.15.不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】由所给分式不等式，根据分子非负可转化为不等式组，利用对数函数的单调性求解即可.【详解】由可得，即，解得，所以不等式的解集为.故答案为：16.若函数在区间上有且仅有个零点，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】通过解方程，结合三角函数的性质求得的取值范围.【详解】令，得，若，则，有无数个零点，不符合题意.若，，要使在区间上有且仅有个零点， 则需，解得.若，，要使在区间上有且仅有个零点，则需，解得.综上所述，的取值范围是.故答案为：【点睛】方法点睛：求解函数零点问题，可以从来进行分析.求解含参数的三角函数的问题，要注意参数的取值范围.本题中，并没有限制范围是正实数，所以在分析的过程中，要对进行分类讨论.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合，．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）化简集合，根据补集、交集的运算求解；（2）分类讨论，根据交集为空集列出不等式求解即可.【小问1详解】当时，，，所以，所以.【小问2详解】由（1）知， 当时，，解得，此时满足；当时，由可得：或，解得或,综上，实数的取值范围或.18.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的解析式；（2）若在区间[0，m]上的值域为，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合图象，直接求出，求得周期得到，再代入点求出即可求的解析式；（2）由（1）知，结合正弦函数的性质求得的值.【小问1详解】由函数图象，可得，，∴，∵，可得，∴，又∵图象过点，∴，即，∴，，解得，，又∵，∴，故函数解析式； 【小问2详解】由（1）知，∵，则，又∵的值域为，∴，故；19.已知函数．（1）若，且，，求的取值范围；（2）若关于的不等式的解集为，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化简不等式，根据一元二次不等式恒成立，利用判别式求解；（2）由一元二次不等式的解集求出，再由均值不等式求最小值即可.【小问1详解】当时，，则，，即恒成立，所以，解得，即取值范围为.【小问2详解】由可得，因为不等式的解集为，所以由根与系数关系可得，解得， 所以，当且仅当，即时等号成立，即所求函数的最小值为.20.已知定义在上的函数满足，当时，，且．（1）求；（2）若为奇函数，求的值；（3）解不等式．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用赋值法求得.（2）根据函数的奇偶性列方程来求得.（3）根据函数的单调性求得不等式的解集.【小问1详解】依题意，，令得.【小问2详解】由于为奇函数，所以，所以，由，令得，所以，所以.【小问3详解】任取， ，由于，所以，所以，所以在上单调递增，由，，令得，由，得，，所以，所以不等式的解集为.21.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若函数在区间[a，b]（其中）上的值域为，求的取值范围．【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增.（2）【解析】分析】（1）根据复合函数单调性可分类得到结果；（2）将问题转化为在上有两个不等实根，通过分析二次函数的图象得到不等式组，由不等式组可求得的范围.【小问1详解】令，则，则或，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，根据复合函数的单调性，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】函数在上的增函数，所以在区间上的值域为，则，根据条件，可得，即，所以，可知，即为方程的两个不相等的实数根，因而，要使得实数存在，则方程在上有两个不相等的实根，可将问题转化为在上有两个不等零点；所以，解得：，所以实数的取值范围为.22.已知函数，将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象．（1）求的单调递增区间；（2）若对任意的，总存在唯一的，使得，求的取值范围．【答案】22.23.【解析】 【分析】（1）由二倍角的正弦公式、两角差的余弦公式化简，再令，即可得出答案；（2）由三角函数的平移变换求出，再求出时的值域和时的值域，可得，即可得出答案.【小问1详解】，令，解得：，所以的单调递增区间为：【小问2详解】将的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的图象，的所以由得，因为，所以，所以， 又，，所以，对任意的，总存在唯一的，使得，只需.所以，解得：.所以的取值范围为.