湖南省衡阳市第八中学2023-2024学年高二创新班上学期第四阶段测试数学Word版含解析.docx

《湖南省衡阳市第八中学2023-2024学年高二创新班上学期第四阶段测试数学Word版含解析.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

衡阳市八中2022级高二创新班第四阶段测试数学试卷（考试时间：90分钟试卷满分：100分）一、单选题：本题共8题，每题3分，共24分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，则=A．B．C．D．2．设，“”是“复数是纯虚数”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．函数的图像大致是（）A．B．C．D．4．设函数是定义在上的偶函数，，当时，单调递增，则不等式的解集为（）A．或B．C．D．5．把满足条件（1），，（2），，使得的函数称为“D函数”，下列函数是“D函数”的个数为（）①②③④⑤A．1个B．2个C．3个D．4个6．已知曲线在点处的切线方程为，则（）A．B．C．D． 7．设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最小值是（）A．B．C．D．8．已知定义在上的奇函数满足：当时，.若不等式对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是()A．B．C．D．二、多选题：每小题4分，共16分.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．如图是函数导函数的图象，下列选项中正确的是（）A．在处函数有极大值B．在，处导函数有极小值C．在处函数有极大值D．在处函数有极小值10．已知函数，若过点（其中是整数）可作曲线的三条切线，则的所有可能取值为（）A．3B．4C．5D．611．已知符号函数，则（）A．B．C．是奇函数D．函数的值域为（﹣∞，1）12．已知是定义在上的函数，是的导函数，给出如下四个结论，其中正确的是（）A．若，且，则的解集为 B．若，且，则函数有极小值0C．若，且，则不等式的解集为D．若，则三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.13．已知，设函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为　　．14.已知函数，则_______，的最小值是______．15.已知函数（为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是　　．16.已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数.若，则实数的取值范围为_________.四、解答题：本题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）函数在区间上是单调递减函数，求的取值范围.18.（10分）已知函数（I）讨论的单调性；（II）设有两个极值点若过两点的直线与轴的交点在曲线上，求的值． 19.（12分）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率（）.A公司生产万件防护服还需投入成本(万元).（1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；（2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？（3）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.20.（12分）已知函数．（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；（2）若有两个零点，且，证明：． 2021年上学期高二创新班“周周考”第四轮——数学试卷(5.15)（考试时间：90分钟试卷满分：100分）一、单选题：本题共8题，每题3分，共24分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案CBBABDAA二、多选题：每小题4分，共16分.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案BCDABCBCABD1．已知集合，则=A．B．C．D．解析：依题意可得，所以故选C．2．设，“”是“复数是纯虚数”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】时不一定是纯虚数，但是纯虚数一定成立，故“”是“复数是纯虚数”的必要而不充分条件．3．函数的图像大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C；当时，，，故，故排除A、D， 4．设函数是定义在上的偶函数，，当时，单调递增，则不等式的解集为（）A．或B．C．D．【答案】A【解析】当时，函数单调递增，且函数是上的偶函数，，由，得，故，得或.5．把满足条件（1），，（2），，使得的函数称为“D函数”，下列函数是“D函数”的个数为（）①②③④⑤A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，①不满足（2）；②不满足（1）；③不满足（2）；④⑤均满足（1）（2）.6．已知曲线在点处的切线方程为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】详解：，将代入得，故选D．7．设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，∴当时，， 时，，，时，，，将函数大致图象绘制如下：时，令，解得：，，若对于任意，都有，所以，故选：A.8．已知定义在上的奇函数满足：当时，.若不等式对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是()A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知，时，，则，因为是上的奇函数，所以，所以当时，.因为函数为上的减函数，所以为上的增函数，故为上的增函数，由，可得，即对任意恒成立， 当时，不等式可化为，显然不符合题意，所以，可得，解得.9．（多选题）如图是函数导函数的图象，下列选项中正确的是（）A．在处函数有极大值B．在，处导函数有极小值C．在处函数有极大值D．在处函数有极小值【答案】BCD【解析】根据导函数的图像可知：的两侧左减右增，所以在，处导函数有极小值；的两侧左增右减，所以在处导函数有极大值.根据导函数的图像可知：的左侧导数大于零，右侧导数小于零，所以在处函数有极大值.的左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以在处函数有极小值.而左右两侧导函数符号相同，原函数不取得极值.故选：BCD10．（多选题）已知函数，若过点（其中是整数）可作曲线的三条切线，则的所有可能取值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】ABC【解析】解：由题知，设切点为，则切线方程为，将，代入得；令，则，或时，；时，，的极大值为，极小值为，由题意知，又为整数，. 11．（多选题）已知符号函数，则（）A．B．C．是奇函数D．函数的值域为（﹣∞，1）【答案】BC【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，log23＞0而log3＜0，则log23•log3＜0，故sgn（log23•log3）＝﹣1，A错误；对于B，＝﹣2＜0，则sgn（）＝﹣1，B正确；对于C，sgn（x）＝，当x＞0时，sgn（﹣x）＝﹣sgn（x）＝﹣1，当x＜0时，sgn（﹣x）＝﹣sgn（x）＝1，当x＝0时，sgn（﹣x）＝﹣sgn（x）＝0，则对于任意的x，都有sgn（﹣x）＝﹣sgn（x），故sgn（x）是奇函数，C正确；对于D，函数y＝2x•sgn（﹣x）＝，其图象大致如图，值域不是（﹣∞，1），D错误；故选：BC．12．（多选题）已知是定义在上的函数，是的导函数，给出如下四个结论，其中正确的是（）A．若，且，则的解集为 B．若，且，则函数有极小值0C．若，且，则不等式的解集为D．若，则【答案】ABD【解析】对选项A：设，因为，且，则，所以在上增函数，又因为，所以当时，，即的解集为，故A正确.对选项B，设，因为所以当时，，为减函数，当时，，为增函数，故当，取得极小值，极小值为，故B正确.对选项C，设，.因为，，所以，在上增函数.又因为，所以.所以当时，，故C错误.对选项D，设，因为，所以，在上增函数.所以，，即.故D正确. 三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.题号13141516答案0，13．已知a∈R，设函数f（x）＝ax﹣lnx的图象在点（1，f（1））处的切线为l，则l在y轴上的截距为　　．【答案】1【解析】函数f（x）＝ax﹣lnx，可得f′（x）＝a﹣，切线的斜率为：k＝f′（1）＝a﹣1，切点坐标（1，a），切线方程l为：y﹣a＝（a﹣1）（x﹣1），l在y轴上的截距为：a+（a﹣1）（﹣1）＝1．故答案为：1．14．已知函数，则_______，的最小值是______．【答案】0，【解析】∵，，即．又在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以．15.已知函数（为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是　　．【解答】解：，，由函数有两个极值点可得和在上有两个交点，，令，则，在上单调递减且（1），当，时，，即，在，上单调递增，（1），当时，，即，在上单调递减． 故（1），而当时，，当时，；若和的图象在上有两个交点，只需，故．故答案为：，．16.已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数.若，则实数的取值范围为_________.【答案】【分析】令，求得函数的导数，根据函数的单调性，把题设中的不等式转化为，即可求解.【详解】令，则，因为，所以，所以函数在为单调递减函数，又由，所以，即，所以，即，所以，解得，综上可得，实数的取值范围为.四、解答题：本题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）函数在区间上是单调递减函数，求的取值范围.【解析】（1），，，因此，曲线在点处的切线方程，即；…………………4分（2）， ，令，得或，由于函数在区间上是单调递减函数，则，解得.因此，实数的取值范围是.…………………………………10分18．（10分）已知函数（I）讨论的单调性；（II）设有两个极值点若过两点的直线与轴的交点在曲线上，求的值．【解析】（I），当时，，当且仅当时，，所以是上增函数；当时，的两个根为，，，，综上所述，当时，单调递增区间是；当时，单调递增区间是，单调递减区间是；…………………………………4分（II）由题设知，是方程的两个根，故有，，因此，同理， 因此直线的方程为，设直线与轴的交点为，得，，由题设知，点在曲线上，故，解得或或所以的值为.…………………………………10分19．（12分）新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到(万件)，其中为工厂工人的复工率（）.A公司生产万件防护服还需投入成本(万元).（1）将A公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；（2）在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？（3）对任意的(万元)，当复工率达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精确到0.01）.【解析】（1）由题意，，即，，.……………4分（2），因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以，故政府补贴为万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大为万元.…………………………………8分 （3）对任意的(万元)，A公司都不产生亏损，则在上恒成立，不等式整理得，，令，则，则，由函数在上单调递增，可得，所以，即.所以当复工率达到时，对任意的(万元)，A公司都不产生亏损.……………………12分20．（12分）已知函数．（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；（2）若有两个零点，且，证明：．