用二分法求方程的近似解2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.pptx

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用二分法求方程的近似解 新课程标准核心素养1.探索用二分法求方程近似解的思路；逻辑推理2.能借助计算工具用二分法求方程近似解；数学运算3.了解用二分法求方程近似解具有一般性；数学抽象 受第九号台风“利奇马”影响，八月十日夜间到十一日夜间滕州出现了暴雨并伴有大风天气，造成了荆河中路一段长2千米的电路发生了故障．如果你是一名维修工人如何迅速查出故障所在点？ 生活中的二分法放在银行门口电动车在早7：00到19:00，12小时内被盗，正好被监控器拍到。请你化身为小侦探，用最快的方法检索监控视频，将小偷逃跑时间提供给警察。 看商品，猜价格游戏规则：给出一件商品，请你猜出它的准确价格，我们给的提示只有“高了”和“低了”。给出的商品价格在100~200之间的整数，如果你能在规定的次数之内猜中价格，这件商品就是你的了。 设出现故障线路的起点和终点分别为A、B,AB取中点这样每查一次,就可以把故障点所在的范围缩减一半这种解决问题的方法，就是二分法. 知识点1二分法的概念对于在区间[a，b]上____________且_____________________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法．连续不断f(a)·f(b)<0是否所有的函数都可以用二分法求函数的零点？思考1：不是，只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点． 例1.图象如下的函数能用二分法求零点近似值的是()DBAC 问题:你会解下列方程吗?2x-6=0;2x2-3x+1=0;lnx+2x-6=0lnx+2x-6=0，我们不会解这个方程，怎么办？我们会什么？把方程lnx+2x-6=0等价变形为lnx=-2x+6在同一直角坐标系内做函数y=lnx和y=-2x+6的图象.y=lnxy=-2x+6观察图象可知，y=lnx和y=-2x+6的图象交点的横坐标x0∈(2,3).而x0就是方程lnx+2x-6=0的实数根，进而就是函数f(x)=lnx+2x-6的零点 你会求方程lnx+2x-6=0的近似解吗?计算，f(2)=ln2+2×2-6=ln2-2=ln2-lne²<0,f(3)=ln3+2×3-6ln3>ln1=0所以，f(2)·f(3)<0，根据函数零点存在性定理，x0∈(2,3)是正确的.这只是确定了函数f(x)=lnx+2x-6的零点，即方程lnx+2x-6=0的实数根的范围，这个x0的值究竟是多少呢？可以转化为函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内零点的近似值。 在已知存在零点的区间确定函数的零点的近似值，实际上就是如何缩小零点所在的范围，或是如何得到一个更小的区间，使得零点还在里面，从而得到零点的近似值思考：如何缩小零点所在的区间？对于一个已知零点所在区间[a,b],取其中点c,计算f(c),如果f(c)=0，那么c就是函数的零点；如果不为0，通过比较中点与两个端点函数值的正负情况，即可判断零点是在（a,c)内，还是在（c,b)内，从而将范围缩小了一半，以此方法重复进行…… f(x)=lnx+2x-6∵f(2)<0，f(3)>0∴x0∈(2,3)2.5∵f(2.5)<0，f(3)>0∴x0∈(2.5,3)2.75∵f(2.5)<0，f(2.75)>0∴x0∈(2.5,2.75)2.52.52.752.625∵f(2.5)<0，f(2.625)>0∴x0∈(2.5,2.625)2.52.625∵f(2.5)<0，f(2.5625)>0∴x0∈(2.5,2.5625)…… 零点所在区间中点的值中点函数近似值(2,3)2.5-0.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.75)2.6250.215(2.5,2.625)2.56250.066(2.5,2.5625)2.53125-0.009(2.53125,2.5625)2.5468750.029(2.53125,2.546875)2.53906250.010(2.53125,2.5390625)2.535156250.001也可以将x=2.53125作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值，也即方程lnx+2x-6=0的近似解.例如，当精确度为0.01时，因为|2.5390625-2.53125|=0.0078125<0.01，所以区间(2.53125,2.5390625)内任意一点都可以作为零点的近似值， 二分法求函数y=f(x)零点的步骤：知识点2(1)确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；(2)求区间(a,b)的中点c；(3)计算f(c)；若f(c)=0，则c就是函数的零点c；若f(a)·f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a,c))；若f(b)·f(c)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c,b))；(4)判断是否达到精度ε，若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，否则重复(2)(3)(4)； 例1.借助信息技术，用二分法求方程2x+3x=7函数的近似解（精确度为0.1）解：原方程即2x+3x-7=0，令f(x)=2x+3x-7，用信息技术画出函数y=f(x)的图象，并列出它的对应值表.x012345678y-6-2310214075142273观察函数图象和上表，可知f(1)·f(2)<0.取区间（1，2）的中点x1=1.5，f(1.5)≈0.33，因为f(1)·f(1.5)<0，所以x0∈（1，1.5），取区间（1，1.5）的中点x2=1.25,f(1.25)≈-0.87，因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈（1.25，1.5）同理可得，x0∈（1.375，1.5），x0∈（1.375，1.4375）， 由于|1.375-1.4375|=0.0625<0.1，所以，原方程的近似解可取为1.4375.判断方程lgx=3-x解的个数，并说明理由，若有解，用二分法求其近似解.（精确度0.1）.解：画出g(x)=lgx及h(x)=3-x的图象，观察图象得，方程lgx=3-x有唯一解，记为x1，且这个解在区间（2，3）内.y133xo设f(x)=lgx+x-3，因为f(x)在定义域内为增函数且f(2)<0,f(3)>0，所以f(x)在（2,3）有唯一零点，方程lgx=3-x有唯一解 列出下表：根所在区间区间端点函数值符号中点值中点函数值符号（2，3）（2.5，3）（2.5，2.75）（2.5，2.625）（2.5625，2.625）f(2)<0，f(3)>0f(2.5)<0，f(3)>0f(2.5)<0，f(2.75)>0f(2.5)<0，f(2.625)>0f(2.5625)<0，f(2.625)>02.52.752.6252.5625f(2.5)<0f(2.75)>0f(2.625)>0f(2.5625)<0因为|2.625-2.5625|=0.0625<0.1，所以可以将x=2.625作为原方程的一个近似解. 1．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2,1]B．[－1,0]C．[0,1]D．[1,2]2．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A．0.68B．0.72C．0.7D．0.6精确到0.1所取的近似值都是0.7已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为(0.64,0.72)，又因为0.68＝×(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零点在区间(0.68，0.72)上12 3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．(0，0.5)f(0.25)4．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是____________．解析：∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b图象与x轴有且仅有一个交点．∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b.a2＝4b5．某方程有一无理根在区间D＝(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D等分________次后，所得近似值可精确到0.1.5 6.方程3x＋m＝0的根在(－1,0)内，则m的取值范围为________.[解析]解法一：∵f(x)＝3x＋m单调递增，∴只要满足()00(1.125,1.25)＝1．1875f(1.1875)＞0(1.1875,1.25)＝1．21875f(1.21875)＞0(1.21875,1.25)＝1．234375f(1.234375)＜0(1.21875，1．234375)