河南省三门峡市2022-2023学年高三上学期第一次大练习（期末）数学（文科）Word版含解析.docx

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2022-2023学年度上学期高三第一次大练习数学（文科）试卷第I卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】解出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】，，因此，.故选：D.2.若复数满足，则（）A.B.4C.17D.16【答案】A【解析】【分析】根据复数的四则运算结合复数的模长公式运算求解.【详解】∵，则，∴故选：A.3.若，都是实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可得正确选项.【详解】若，则，可得，所以，可得，故充分性成立，取，，满足，但，无意义得不出，故必要性不成立，所以是的充分不必要条件，故选：A.4.已知与之间的线性回归方程为，其样本点的中心为，样本数据中的取值依次为2.5，，3.4，4.2，5.4，则（）A.2B.2.8C.3D.3.2【答案】C【解析】【分析】根据线性回归方程过样本中心点求出，再根据平均数的算法可求m.【详解】因为线性回归方程过样本中心点，所以，所以.故选：C.5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中，能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（）A.167B.168C.169D.170【答案】C【解析】【分析】由题意可得，令，运算分析即可得答案.【详解】由题意可得：能被3除余1且被4除余1的数即为被12除余1的数，故，令，解得，故此数列的项数为169.故选：C. 6.若满足，则的最大值为（）A.1B.3C.5D.9【答案】B【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用目标函数的几何意义，找出目标函数取得最大值时的最优解，代入目标函数计算即可．【详解】出不等式组所表示的可行域如下图所示，令，联立，得，则点，平移直线，由图象可知，当直线经过可行域的顶点时，该直线在y轴上的截距最大，此时取得最大值，即．故选：B．7.向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则（）A.B.C.-4D.4【答案】A【解析】【分析】作出图形，取单位向量，从而可用分别表示出向量,再由 根据平面向量基本定理即可建立关于的二元一次方程组，解出，从而得出的值．【详解】设网格纸上小正方形的边长为1，在网格线上取互相垂直的单位向量，如图所示，则有，，，由，得，则，解得，∴.故选：A8.函数在的图像大致是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先判断奇偶性，然后通过计算导函数在特殊点的导函数值正负来判断相应结果.【详解】因为定义域关于原点对称且，所以是偶函数，排除A、C；又因为，所以，所以时对应的切线斜率大于零，所以排除D，故选B.【点睛】本题考查函数图象的辨别，难度一般. 辨别函数图象一般可通过奇偶性、单调性、特殊点位置、导数值正负对应的切线斜率变化等来判断.9.某市1路、9路公交车的站点均包括育才学校站和舒馨嘉园小区站，1路公交车每10分钟一趟，9路公交车每20分钟一趟，若育才学校的学生小明坐这2趟公交车回居住的舒馨嘉园小区，则他等车不超过5分钟的概率是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设1路车到达时间为，9路到达时间为，则可以看作平面中的点，求出全部结果所构成的区域的面积，及满足条件等车时间不超过5分钟的基本事件对应平面区域的面积，代入几何概型公式，即可得到答案.【详解】设1路车到达时间为，9路到达时间为，则可以看作平面中的点，如图所示，试验的全部结果所构成的区域为且，这是一个长方形区域，面积为，事件表示小明等车时间不超过5分钟，所构成的区域为或，即图中的阴影部分，面积为，代入几何概型概率公式，可得.故选：C．10.已知函数的最小正周期为，且满足，则要得到函数的图象，可将函数的图象（）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】依题意可得，且是的一条对称轴，即可求出的值，然后利用诱导公式将的解析式化为与同名同号的三角函数，再根据三角函数图象的平移规则“左加右减”得到结论.【详解】解：由已知得，由可知直线是函数的一条对称轴，∴，又∵，∴，，所以要得到函数的图象，可将函数的图象向右平移个单位长度得到，故选：.11.已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与的一个交点为，与轴交于点，若，且直线的斜率满足，则点坐标为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，，，由得，由得，联立方程组可求m，从而可得G点坐标．【详解】如图，由已知有，设，，，则有，因为，所以，即又因为，所以，则有， 所以，解得：，所以．故选：C．12.已知直线分别与函数和交于、两点，则、之间的最短距离是A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】分析：求出两点的横坐标，作差后用导数可求得最小值．详解：由得，由得，其中，设，，在时，由得，且当时，，当时，，∴时，取极小值也是最小值．故选D．点睛：本题考查用导数求最值，解题时，需把两点的横坐标用表示出来，然后求出，再由导数求最小值．本题难度一般，应该是导数应用的基础题．第II卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设数列中，若等比数列满足，且，则____________.【答案】16【解析】 【分析】根据题意利用累积法结合等比数列下标和性质运算求解.【详解】∵，则，∴.故答案为：16.14.某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是__________．【答案】【解析】【详解】总费用为，当且仅当，即时等号成立．故答案为30.点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．15.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，线段与另一条渐近线交于点，且的面积是面积的2倍，则该双曲线的渐近线方程为_____________.【答案】【解析】【分析】找出图中的几何关系，证明Q点是的中点，再利用双曲线的几何性质和条件求解.【详解】是直径，，过一三象限的渐近线方程为，设 ，，则有，解得：，，又，是的中点，即，并且Q点在双曲线二四象限的渐近线上，，解得，渐近线方程为；故答案为：.16.若关于的不等式有解，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】参变分离后令，则根据已知可得，利用导数求出，即可得出答案.【详解】，，，，令，则若关于的不等式有解，则，， ，则当时，，当时，，故当时，单调递增，当时，单调递减，则，则，故实数的取值范围是，故答案为：.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，第22、23题为选考题.必考题：60分.17.已知等差数列的公差，设的前和为，，.（1）求及；（2）求的值，使得.【答案】（1）2，（2）【解析】【分析】（1）根据求出，再求出数列的通项公式，用等差数列的求和公式求；（2）由（1）的结论，把表示为与的等式，结合分析运算.【小问1详解】由，可得，把代入得，解得或，因为，所以，所以.【小问2详解】由（1）得， 所以，由，得，且，所以，解得.18.的内角的对边分别为，设.（1）求A；（2）若，且成等差数列，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）运用正弦定理和余弦定理求解；（2）根据条件由正弦定理和余弦定理求出，再用三角形面积公式计算.【小问1详解】由题意，，由正弦定理得：∴，即，∴，在中，，∴；【小问2详解】∵，且成等差数列，，由正弦定理得：，又由（1）知，∴，∴的面积；综上，，的面积为.19.某果园新采摘了一批苹果，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），将重量按照 进行分组，得到频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）.（1）估计这批苹果的重量的平均数；（2）该果园准备把这批苹果销售给一家超市，据市场行情，有两种销售方案；方案一：所有苹果混在一起，价格为2.5元/千克；方案二：将不同重量的苹果分开，重量不小于160克的苹果的价格为3元/千克，重量小于160克的苹果的价格为2元/千克，但果园需支付每1000个苹果5元的分拣费.分别估计并比较两种方案下果园销售10000个苹果的收入.【答案】（1）平均数约为159.6克（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据频率之和为1列出方程，求出，进而求出平均数；（2）计算出两种方案的销售收入，比较后得到结论.【小问1详解】由题意，得，解得，50个苹果重量的平均数为，故估计这批苹果的重量的平均数约为159.6克；【小问2详解】若采用方案一，估计销售收入约为（元）若采用方案二，重量小于160克的苹果的总重量约为（千克），重量不小于160克的苹果的总重量约为 （千克）,估计销售收入约为（元）,因为，因此，方案二的销售收入更高.20.已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若，正实数a､b满足，求证：.【答案】（1）单调递增区间为：；单调递减区间为：（2）证明见解析【解析】【分析】(1)先求出，然后求出，通过讨论的正负，进而得到的单调区间；(2)由题意，化简得，然后，设，，进而通过讨论的最小值，得到的最小值，进而证明成立.【小问1详解】由已知得，，，其中，，令，可得，，所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减；综上，函数的单调递增区间为：；单调递减区间为：.【小问2详解】，，所以，，，整理得，，令，则可设得，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，，进而得到， 得到或，又因为由题意得，所以，，题目得证.【点睛】关键点睛：解题的关键在于，化简得到后，通过设，，通过讨论的最值情况，利用等量代换，得到的最值情况，进而证明成立，等量代换时该题解题的关键转换，属于难题.21.已知椭圆右顶点为A，上顶点为，为坐标原点，点到直线的距离为，的面积为.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆交于两点，若直线直线，设直线的斜率分别为，证明：为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）用表示出直线AB的方程，根据点O到直线AB的距离及的面积，求得，即可得解；（2）设直线l的方程为，，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系得,利用斜率公式得，化简可得定值.【小问1详解】直线的方程为，即，则， 因为的面积为，所以，即，解得，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】由（1）可得：直线的斜率为，设直线的方程为，，联立方程，得，依题意得：，，所以所以为定值.【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论． 选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线与曲线两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线过点且与直线:平行，直线与曲线相交于A，B两点，求的值.【答案】（1）()；（2）.【解析】【分析】（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，两个方程相减即可得两曲线交点所在直线的方程，化为极坐标方程即可；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程求出斜率，即可得直线的参数方程的标准形式，代入曲线的普通方程得关于的一元二次方程，设A，B两点的参数为，，即可求解.【详解】（1）由(为参数)，消去参数，得曲线的普通方程为：，由，得，得曲线的直角坐标方程为：，即.所以两方程相减可得交线，所以直线的极坐标方程为. （2）由:，得，∴直线l的直角坐标方程：，直线l的斜率为，所以直线的斜率为，倾斜角为，所以直线的参数方程为(t为参数)将直线的参数方程代入曲线，中，得.设A，B两点的参数为，，∴，，则，异号.∴.【点睛】方法点睛：将参数方程化为普通方程消参的3种方法（1）利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消参；（2）利用三角恒等式消去参数；（3）根据参数方程本身的结构特征，灵活选用一些方法从整体上消去参数.【选修4-5：不等式选讲】23.设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，函数的最小值为，正实数满足.求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）将表示为分段函数，再在每一段上求解；（2）运用绝对值三角不等式的性质求出最小值m，再根据基本不等式求解.【小问1详解】当时，，去绝对值符号得：，令，解得：，结合得：无解，令，解得：，结合，得：，令，解得：，结合得：，综上，不等式的解集为；【小问2详解】当时，，因为中，当且仅当，时等号成立，所以最小值为2，即，所以，因为，且，（当且仅当=1时等号成立），所以，即（当且仅当b=2c=1时等号成立）；