河南省南阳市2022-2023学年高二上学期期末数学试题 Word版含解析.docx

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2022年秋期高中二年级期终质量评估数学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效．2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.过点且与直线垂直的直线方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用两直线互相垂直斜率的关系及点斜式即可求解.【详解】与直线垂直的直线的斜率，∴所求的直线方程为，即为，故选：.2.在空间四边形中，点，分别是和的中点，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则即可求解 【详解】如图所示，是的中点，则，，故选：C.3.设随机变量，，若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据随机变量和，写出概率的表示式，得到关于p的方程，解出p的值，再根据，由二项分布的方差公式求得到结果．【详解】随机变量，∴，解得，∴，则.故选：D．4.直线截圆所得的弦长为，则实数的值为（）A.B.1C.D.3【答案】A【解析】【分析】根据弦长等于直径确定直线过圆心即可求解.【详解】圆的圆心为，半径， 因为直线截圆所得的弦长为，所以直线经过圆的圆心，所以解得，故选:A.5.将甲，乙等5名志愿者全部分派到4个核酸采样点协助工作（每个采样点至少1人），其中甲，乙两人不能去同一个采样点，则不同的分派方案共有（）A.120种B.216种C.240种D.432种【答案】B【解析】【分析】先分成四组，再排列即可求解.详解】依题意，情况一：甲，乙单独作为一组，剩余3人分成2组，则有种方案；情况二：甲与其他三人中的一人作为一组，剩余乙和其他2人作为3组，则有种方案；情况三：乙与其他三人中的一人作为一组，剩余甲和其他2人作为3组，则有种方案；所以总共的方案为：种.故选：B.6.与圆相切，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】C【解析】【分析】在两坐标轴上的截距互为相反数的直线，斜率为1或直线过原点，由直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，列出方程求解即可．【详解】圆，圆心坐标为，半径为，满足题意的直线方程斜率可以为1，设直线方程为，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，即解得，∴此时满足条件的直线有两条：和； 满足题意的直线可以过原点时，直线倾斜角为时显然不与圆相切，设直线方程为，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，即，解得或，其中时，直线为轴，不合题意，故此时满足条件的直线有一条：；综上所述∶满足条件的直线有三条，如图所示，．故选：C.7.如图，在正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成的角的正弦值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的坐标运算求线面夹角.【详解】建系如图，设正方体边长为2， 所以,所以,设平面的法向量为，所以令，所以，所以,所以与平面所成的角的正弦值为.故选:B.8.5个人排成一列，已知甲排在乙的前面，则甲、乙两人不相邻的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用插空法，结合古典概率模型求解即可.【详解】5个人全排列且甲排在乙的前面有种方法，将剩余三人排成一列有中排法，产生4个空位，让甲、乙选择两个空位插空，则有种方法，所以甲、乙两人不相邻的安排方法有种方法， 其中甲排在乙的前面的有种方法，所以甲、乙两人不相邻概率为，故选:C.9.已知点，，，则平面的方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设平面的方程为，代入三点的坐标求系数即可.【详解】设平面的方程为，不同时为0，代入三点的坐标，得，解得，所以平面的方程为.故选：A10.已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线仅有一个公共点，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用已知条件求出过且与双曲线仅有一个交点的直线方程，将该直线与双曲线联立求得点的坐标，最后利用双曲线的定义求出即可.【详解】由已知得，∴左焦点的坐标为，∵过的直线与双曲线仅有一个公共点，∴该直线与双曲线的渐近线或y=-x平行， ∴不妨设该直线方程为，将直线与双曲线联立，解得，即,∴,又∵,∴,故选：.11.若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据二项展开式，令求出，再令即可求解.【详解】令，则有，即，再令可得，所以，故选:A.12.已知抛物线：的（）焦点为，准线为，过的直线交抛物线于，两点，若在直线上存在一点，使是等边三角形，则直线的斜率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设直线的方程为，，的中点为，结合题意，可得且，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式即可求解. 【详解】设直线的方程为，，，的中点为，联立方程组，整理可得，则，，所以，，要使是等边三角形，则且，即，所以，将②式代入①式整理，可得，所以，所以，所以，所以直线的斜率为，故选：.第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知随机变量服从正态分布，若，则实数______．【答案】3【解析】【分析】由正态分布曲线的特点可知，得正态曲线关于对称，且，结合题意得到a的值．【详解】随机变量服从正态分布，正态曲线关于对称，且，由，可知，解得． 故答案为：3．14.若展开式的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为______．（用数字作答）【答案】40【解析】【分析】根据二项式系数和为，求出，即可求出二项式展开式中常数项.【详解】因为二项式系数和，因此，又，令，常数项为.故答案为：40.15.如图，已知四棱柱的底面是边长为1的正方形，且，，则______．【答案】【解析】【分析】记，，，利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算即可.【详解】设，，，则，底面是边长为1的正方形，且，，则有，，，，，，则， 所以.故答案为：16.已知为坐标原点，为双曲线（，）的左焦点，是该双曲线上的一点，且是等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为______．【答案】或【解析】【分析】双曲线的右焦点为，由已知条件计算，运用双曲线的定义和离心率公式，计算即可.【详解】设双曲线的右焦点为，当时，如图，连接，为等腰直角三角形，所以，，所以，，则双曲线的离心率为.当时，如图，连接，又为等腰直角三角形，所以，， 在中，，由余弦定理得，所以，，双曲线的离心率为.故答案为：或.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下（单位：）：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．设这10个数据的均值为，标准差为．（1）求和；（2）已知这批零件的内径（单位：）服从正态分布，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：）分别为：181，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．参考数据：若，则：，，，．【答案】（1），（2）这台设备需要进一步调试，理由见解析【解析】【分析】（1）利用公式计算出平均数和方差，进而求出标准差；（2）计算出五个零件的内径中恰有1个不在的概率约为，而又试产的5个零件中内径出现了1个不在内，根据原则，得到结论.【小问1详解】,， 故；【小问2详解】由题意得：，，即，所以五个零件的内径中恰有1个不在的概率为，又试产5个零件中内径出现了1个不在内，所以小概率事件出现了，根据原则，这台设备需要进一步调试.18.已知四个点：，，，．（1）从，，，四点中选3个点确定一个三角形，求出该三角形的外接圆的方程；（2）过点作直线交圆于，两点，若，求直线的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)利用圆的一般方程，待定系数法求解；(2)根据弦长公式求出直线的距离为1，再根据点到直线距离公式求解.【小问1详解】设所求圆方程为，(i)选，，，则有解得,所以所求圆方程；(ii)选，，，则有解得,所以所求圆方程为； (iii)选，，，则有解得,所以所求圆方程为；(iiii)选，，，则有解得,所以所求圆方程为.【小问2详解】由(1)可知圆心为半径，设圆心到直线的距离为，因为解得，若直线的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为满足题意；若直线的斜率存在，则设方程为，即，因为圆心到直线的距离解得，所以直线的方程为即.综上直线的方程为或.19.已知点到点的距离比它到直线的距离大1．（1）求点的轨迹的方程；（2）点为轨迹上任意一点，过点作圆：的切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）（2）四边形面积的最小值为.【解析】【分析】(1)设点，由条件公式列等式化简可得轨迹方程.(2)求的最小值，由此可求四边形面积的最小值．【小问1详解】设为曲线上任意一点，因为点到点的距离比它到直线的距离大1．所以，当时，化简可得，当时，化简可得，又，矛盾，所以点轨迹的方程为；【小问2详解】由圆：可得，半径为2，设点的坐标为，，则，所以当时，取最小值，又所以当时，取最小值，又四边形面积，所以，当且仅当点的坐标为或时等号成立，所以四边形面积的最小值为. 20.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，．（1）证明：；（2）若，求二面角的平面角的大小．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）为坐标原点建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，得到相关向量，计算即可；（2）求出平面的法向量，求出平面的法向量，利用空间向量夹角公式即可得到二面角大小.【小问1详解】，，平面，面，，故以为坐标原点,,,为轴建立空间直角坐标系如图, ，，,设,则，，，.【小问2详解】由（1）知，平面的法向量取,,设平面的法向量，则，即，取得，，由图易得此二面角的平面角为锐角，所以二面角的平面角的大小为.21.本次数学考试中共有12个选择题，每小题5分，共60分，在每小题给出的A，B，C，D四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本次考试的12个选择题中，甲同学会其中的10个，另外2个题只能随意猜；乙同学会其中的9个，其它3个题中有2个题各能排除2个错误选项，另外1个题能排除1个错误选项．（1）设甲同学在本次考试中选择题得分为，求的分布列及均值；（2）设乙同学在本次考试中选择题得分为，求的分布列及均值；（3）求甲同学和乙同学在本次考试中选择题得分相同的概率． 【答案】（1）分布列见解析，；（2）分布列见解析，；（3）.【解析】【分析】(1)由条件求随机变量的所有可能取值，确定取各值的概率，即可确定其分布列和均值；(2)由条件求随机变量的所有可能取值，确定取各值的概率，即可确定其分布列和均值；(3)利用概率乘法公式和加法公式求概率.【小问1详解】由已知随机变量的可能取值为50,55,60，，，，所以随机变量的分布列为505560；【小问2详解】由已知随机变量的可能取值为45,50,55,60，，，，，所以随机变量的分布列为45505560； 【小问3详解】因为，，，所以甲同学和乙同学在本次考试中选择题得分相同的概率.22.已知椭圆：（）的离心率，且短轴长为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点为椭圆的左焦点，斜率存在的直线与椭圆交于，两点，若直线上任意一点到直线和的距离始终相等．①试证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．②求面积的最大值．【答案】（1）（2）直线l过定点，证明见解析，面积的最大值为【解析】【分析】（1）由椭圆离心率和短轴长，列方程组解出，可得椭圆的标准方程；（2）①设直线的方程，代入椭圆方程，利用已知条件结合韦达定理，求解直线所过定点的坐标；②求弦长和点到直线距离，把的面积表示出来，通过换元和基本不等式，求解面积的最大值.【小问1详解】(1)由题知，解得，故椭圆C的标准方程为：【小问2详解】 ①：设直线l的方程为，代入整理得，设，则，，左焦点，若直线上任意一点到直线和的距离始终相等，直线和关于直线对称，有，则即﹐故，即，则，故直线l过定点，该定点的坐标为.②：由①得，，到的距离，故设(当且仅当，即时等号成立）所以面积的最大值为