湖南省长沙市湖南师大附中2024届高三上学期月考数学试题五Word版含解析.docx

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大联考湖南师大附中2024届高三月考试卷（五）数学试题一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，若，则（）A.3B.1C.-1D.-3【答案】B【解析】【分析】由，得到求解.【详解】解：因为，所以，当时，，根据元素的互异性可知，；当时，，不满足元素的互异性，舍去，故选：B.2.已知复数，则的虚部为（）A.-1B.C.D.1【答案】C【解析】【分析】根据复数除法的运算法则、复数乘方的法则，结合共轭复数和复数虚部的定义进行求解即可.【详解】因为所以，所以的虚部为，故选：C.3.二项式的展开式中常数项为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】根据二项式通项公式进行求解即可.【详解】二项式的通项公式为，令，所以常数项为，故选：A4.已知函数为偶函数，则（）A.2B.1C.D.【答案】B【解析】【分析】结合偶函数定义与指数幂的运算计算即可得.【详解】因为为偶函数，所以，即，整理得恒成立，所以，则.故选：B.5.已知为双曲线的左焦点，直线与交于两点，且轴，则的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意直线过双曲线的左顶点得，再由求出，然后利用点也在直线上得到，从而求解.【详解】易知直线经过的左顶点，设，因为轴，所以，解得，或（舍去）， 所以点坐标为，则，整理得，所以，即，解得（舍去），或，所以的离心率为，故C正确.故选：C.6.已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得在区间上恒成立，即在区间上恒成立，设，利用导数求出可得答案.【详解】在区间上恒成立，即在区间上恒成立，设，则，所以在上单调递增，则，所以，则的最小值为.故选：C.7.已知，则（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】分别将和分别平方相加求出，然后逆用正弦两角差公式并结合倍角公式从而求解.【详解】由得，， 由得，，两式相加得，，则，所以，故D正确.故选：D.8.在数列中的相邻两项与之间插入一个首项为，公差为的等差数列的前项，记构成的新数列为，若，则前65项的和为（）A.B.-13C.D.-14【答案】A【解析】【分析】根据题意，得到数列中及其后面项的和为，求解.【详解】解：数列为：，，设及其后面项的和为，则，所以数列是以1为首项，公差为的等差数列.所以前65项的和为，故选：A.二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知S为圆锥的顶点，为该圆锥的底面圆的直径，为底面圆周上一点，，则（）A.该圆锥的体积为 B.C.该圆锥的侧面展开图的圆心角大于D.二面角的正切值为【答案】AC【解析】【分析】求得该圆锥的体积判断选项A，求得的长度判断选项B，求得该圆锥的侧面展开图的圆心角判断选项C，求得二面角的正切值判断选项D.【详解】如图，因为，所以为等腰直角三角形，又，则，所以，则，所以该圆锥的体积为正确；易知为直角三角形，且，又，则，所以错误；该圆锥的侧面展开图为一扇形，其弧长为，扇形半径为，设扇形圆心角为，所以，所以该圆锥的侧面展开图的圆心角大于正确；取的中点，连接，则为的中位线，所以，所以为二面角的平面角，易知为直角三角形，所以错误.故选：.10.已知椭圆的左､右焦点分别为，直线经过 的一个焦点和一个顶点，且与交于两点（点在第三象限），则（）A.B.的周长为8C.D.以为直径的圆过点【答案】BCD【解析】【分析】根据条件求出的值，判定A错误；由椭圆定义可得的周长为8，判定B正确；联立方程组求出，可得，判定C正确；，所以，判定D正确.【详解】易知直线经过的焦点和顶点，所以，则2，所以错误；由椭圆的定义可知，的周长为正确；由上可知的方程为，由解得，则，所以正确；由得，，所以，则以为直径的圆过点正确.故选：. 11.若函数在处取得极值，则（）A.B.为定值C.当时，有且仅有一个极大值D.若有两个极值点，则是的极小值点【答案】ABC【解析】【分析】求导，由题意可知，是方程的一个变号实数根，则，即可判断A；由判断B；当时，可得，当时，当时，即可判断C；将代入整理得，则方程有不相等的实数根与，分类讨论，结合极值点的定义可判断D.【详解】的定义域为，则，，由题意可知，是方程的一个变号实数根，则，故A正确；由得，，故B正确；当时，因为，所以函数开口向下，且与轴正半轴只有一个交点，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，则有且仅有一个极大值，故C正确；将代入整理得，则方程有不相等的实数根与，即，当时，时，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则是的极大值点，是的极小值点，当时，时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则是的极大值点，是的极小值点，故D错误，故选：ABC.12.今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则（）A.在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为B.在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为C.甲获得奖品的概率为D.若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小【答案】ACD【解析】 【分析】设出事件后，结合条件概率与全概率公式逐个计算即可得.【详解】设，，，分别表示先抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件，设表示再抽到的小球的颜色是红的事件，在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为：，故A正确；在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为：，故B错误；由题意可知，，，由全概率公式可知，甲获得奖品的概率为：，故C正确；因为甲获奖时红球取自哪个箱子的颜色与先抽取小球的颜色相同，则，，，所以甲获得奖品时，甲先抽取绿球机会最小，故D正确.故选：ACD.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量，向量满足，则__________.【答案】##0.5【解析】 【分析】由平方求解.【详解】解：由，得，由，得，则，所以.故答案为：14.已知正三棱台的上､下底面边长分别为和，它的一个侧面的面积为，则该正三棱台的体积为__________.【答案】##【解析】【分析】根据正三棱台的性质及题中条件分别求出侧面的高和正三棱台的高，然后利用棱台体积公式即可求解.【详解】设该正三棱台侧面的高为，由题意可知，，所以，该正三棱台的上底面的面积为，下底面的面积为，设正三棱台的高为，则，故该正三棱台的体积为.故答案为：.15.已知直线与圆交于两点，则满足“的面积为”的的一个值为__________.【答案】（或，或）【解析】【分析】由的面积为，得到或，进而得到圆心到直线 的距离为或求解.【详解】解：由的面积为，得，解得，则或，易知圆心到直线的距离为或，由点到直线的距离公式可知，，或，解得或或.故答案为：1(或，或)16.已知函数的部分图象如图所示，且，则不等式在区间上的解集为__________.【答案】【解析】【分析】根据函数的最高点和最低点，结合函数的零点、正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】由图可知，解得，由图可知，，又，所以或，当时，， 因为，所以当时，显然有，因此函数先是增函数，显然不符合图象，当时，因为，所以当时，显然有，因此函数先是减函数，符合图象特征，令，或，因为，所以，即，由所以有，因为，所以令，则有，而，所以，故答案为：【点睛】关键点睛：本题的关键是根据函数的单调性确定的值.四､解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.记的内角的对边分别为，已知.（1）求的值；（2）若，且的周长为，求边上的高.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意，得到，结合正弦、余弦定理，求得，即可求解；（2）根据题意得到，结合（1）得到，联立方程组求得，再由余弦定的值，利用，即可求解.【小问1详解】解：由，可得，所以，又由正弦定理和余弦定理，可得，整理得，所以.【小问2详解】解：由，且的周长为，可得，又由（1）可知，，即，所以，联立方程组，解得，所以，则，所以边上的高为.18.记为正项数列的前项和，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，证明：. 【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由退位相减可得，又可得，继而可知数列为等比数列，则通项可求；（2）由（1）可得、继而可求，并将其裂项再求和，即可证明不等式.【小问1详解】因为，所以，当时，，两式相减得，，化简可得，所以，即，又可得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，可得【小问2详解】由（1）可知，，所以， 则，，，，因为，所以，则.19.为检验预防某种疾病的两种疫苗的免疫效果，随机抽取接种疫苗的志愿者各100名，化验其血液中某项医学指标（该医学指标范围为，统计如下：该项医学指标接种疫苗人数1050接种疫苗人数3040个别数据模糊不清，用含字母的代数式表示.（1）为检验该项医学指标在内的是否需要接种加强针，先从医学指标在的志愿者中，按接种疫苗分层抽取8人，再次抽血化验进行判断.从这8人中随机抽取4人调研医学指标低的原因，记这4人中接种疫苗的人数为，求的分布列与数学期望；（2）根据（1）化验研判结果，医学认为该项医学指标低于50 ，产生抗体较弱，需接种加强针，该项医学指标不低于50，产生抗体较强，不需接种加强针.请先完成下面的列联表，若根据小概率的独立性检验，认为接种疫苗与志愿者产生抗体的强弱有关联，求的最大值.疫苗抗体合计抗体弱抗体强疫苗疫苗合计附：，其中.0.250.0250.0051.3235.0247.879【答案】（1）分布列见解析，（2）列联表见解析，2【解析】【分析】（1）由抽样调查性质可得抽取接种疫苗人数，计算出的所有可能取值的对应概率可得分布列，由分布列可计算期望；（2）结合的计算公式计算出对应的范围即可得.【小问1详解】从医学指标在的志愿者中，按接种疫苗分层抽取8人中，接种疫苗有2人，接种疫苗有6人，由题意可知，可能取值为， ，的分布列为：234则；【小问2详解】列联表如下：疫苗抗体合计抗体弱抗体强疫苗100疫苗100合计60140200则，由题意可知，，整理得，，解得或，又，则，所以，故的最大值为2.20.如图，在直三棱柱中，，点为上一点，且. （1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用空间向量的线性运算与数量积运算法则求得为的中点，再利用线面平行的判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法求出直线与平面所成角的正弦值，从而求解.【小问1详解】设，则，，所以，因为，所以，解得，则点为的中点.连接，设，连接，因为四边形为矩形，所以为的中点，在中，中位线，所以，又平面平面， 所以平面..【小问2详解】取的中点，连接，则，所以，由可知，，易知四边形为平行四边形，又平面，所以平面，所以.以为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图，设，所以，则，所以，设平面一个法向量为，由得取，则，设直线与平面所成角为，则.故直线与平面所成角的正弦值为. 21.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过三点中的两点.（1）求抛物线的方程；（2）设为坐标原点，的焦点为，过的直线与交于两点，过的直线与交于两点，点都在第二象限，记直线的倾斜角分别为，且.若直线与直线交于点，不同于点的点满足轴，当时，设的面积分别为，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称性，分类讨论进行求解即可；（2）根据直线的斜率公式、一元二次方程根与系数关系，结合三角形面积公式、点到直线距离公式、基本不等式进行求解即可.【小问1详解】因为关于轴对称的点为，所以拋物线经过两点中的一点，由题意可知，抛物线经过，当抛物线的方程为时，将点代入的方程得，，解得，验证可知，抛物线不经过点，不满足题意；当抛物线的方程为时，将点代入的方程得，，解得，验证可知，抛物线经过点，不经过点，满足题意， 故抛物线的方程为.小问2详解】由（1）可知，，设的方程为，设，由得，，因为，所以，设，同理可知，.直线的斜率为，其方程，即①同理可知直线的方程，即②由①②解得，，所以点在直线上，由轴可知，点在直线上，设，由可知，，则，所以，解得，由上可知，， 原点到直线的距离为，到直线的距离为，所以，则，当且仅当，即取得等号，因为，所以，由得，，故的取值范围为.【点睛】关键点睛：本题的关键是对的表达式进行变形，用基本不等式进行求解.22.已知函数.（1）求函数的极值； （2）设的导函数为，若为的两个零点，证明：.【答案】（1）极大值为.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先利用导数求得的单调区间，再利用极值定义即可求得函数的极值；（2）先将不等式转化为，再构造函数，并利用导数证得，进而证得原不等式成立.【小问1详解】的定义域为，，当时，在上恒成立，所以在上单调递减，此时无极值；当时，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故只存在极大值且为.【小问2详解】由为的两个零点得，，所以， 则，又.由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，若为的两个零点，则，所以.要证，需证，需证，又，即证，因为，则，则，所以需证，即证，令，需证， 设，则，所以在上单调递增，所以，则，故.