山东省泰安市第二中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学Word版含解析.docx

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泰安二中高二上学期12月月考数学试题时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量，满足，则实数值是（）A.B.C.D.2.等差数列中中，，，则（）A.5B.8C.10D.143.双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（）A.B.C.D.4.设，则数列的最大项是（）A.B.C.D.5.已知空间中三点，则点到直线的距离为（）A.B.C.D.6.首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A.B.C.D.7.以为焦点的抛物线的准线与双曲线相交于两点，若为正三角形，则抛物线的标准方程为A.B.C.D.8.已知数列，满足，若的前项和为，且对一切恒成立，则实数的取值范围是（） A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.空间中三点是坐标原点，则（）A.B.C.点关于平面对称的点为D.与夹角的余弦值是10.下列四个命题正确的是（）A.直线的一个方向向量是B.设直线过点，则这条直线的方程可以写成C.直线与圆相交D.圆与圆恰有三条公切线11.已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，点在准线上的射影为，则（）A.若，则B.若点的坐标为，则的最小值为4C.D.若直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则满足条件的直线有2条12.已知公差为d的等差数列，其前n项和为，且，，则下列结论正确的为（）A.为递增数列B.为等差数列C.当取得最大值时，D.当时，d的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则的最大值为______14.直线被双曲线所截得的弦的中点坐标是______.15.如图正方形BCDE的边长为，已知，将直角沿BE边折起，点在面BCDE上的射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述：（1）与所成角的正切值是；（2）的体积是；（3）；（4）平面平面；（5）直线BA与平面ADE所成角的正弦值为.其中正确的叙述有______（写出所有正确结论的编号）.16.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支交于A，B两点，若，，则C的离心率为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在等差数列中，（1）已知，，求与；（2）已知，求.18.已知圆的圆心为，且与轴相切.（1）求的方程；（2）设直线与交于，两点，，求的值. 19.（1）已知数列满足，.①证明：数列等差数列；②求数列的通项公式；（2）数列满足，，求数列的通项公式.20.已知抛物线的焦点，为坐标原点，、是抛物线上异于的两点．（1）求抛物线的方程；（2）若直线、的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点．21.如图，在三棱锥中，侧面等边三角形，.（1）证明：平面平面；（2）若，则在棱上是否存在动点，使得平面与平面的夹角为？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由.22.如图，椭圆焦点分别为为椭圆上一点，的面积最大值为.（1）求椭圆的方程； （2）若分别为椭圆的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线交椭圆于（在上方，在下方，且均不与点重合）两点，直线的斜率分别为，且，求面积的最大值. 泰安二中高二上学期12月月考数学试题时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量，满足，则实数的值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知条件得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.【详解】由已知条件得出，解得.故选：D2.在等差数列中中，，，则（）A.5B.8C.10D.14【答案】C【解析】【分析】根据给定条件利用等差数列性质计算即可得解.【详解】在等差数列中中，，则，于是得，所以.故选：C3.双曲线的离心率为，则其渐近线方程是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据离心率结合即可求解. 【详解】由题意知离心率，且双曲线，所以，，所以双曲线为，所以渐近线方程为，故C正确.故选：C.4.设，则数列的最大项是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用二次函数性质求解．【详解】，∵，∴时，．故选：B.【点睛】本题考查数列中的项的最值．数列作为特殊的函数，可以利用函数性质求最值，只是要注意作为函数其自变量取值是正整数．5.已知空间中三点，则点到直线的距离为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解．【详解】因为，所以，则点到直线的距离为.故选：C. 6.首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意分析，，从而求解.【详解】设等差数列首项为，公差为，由从第项起开始为正数，所以，即，解得，故D正确.故选：D.7.以为焦点的抛物线的准线与双曲线相交于两点，若为正三角形，则抛物线的标准方程为A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】由题意,以为焦点的抛物线的准线y=代入双曲线,可得，∵△MNF为正三角形，∴，∵p>0,∴，∴抛物线C的方程为，故选C.8.已知数列，满足，若的前项和为，且对一切恒成立，则实数的取值范围是（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由求得，即得，把不等式分离变量变形后转化为求新数列的最大项．【详解】由题意，时，，综上，，题设不等式为，整理得，记，则，当时，，，时，，，所以是中的最大值，，所以．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.空间中三点是坐标原点，则（）A.B.C.点关于平面对称的点为D.与夹角的余弦值是【答案】AB【解析】【分析】利用空间向量的求模公式，数量积公式及点的对称性即可判定.【详解】由题意可得：，，所以，故A正确；，即，故B正确； 点关于平面对称的点为，故C错误；，故D错误.故选：AB10.下列四个命题正确的是（）A.直线的一个方向向量是B.设直线过点，则这条直线的方程可以写成C.直线与圆相交D.圆与圆恰有三条公切线【答案】BCD【解析】【分析】根据直线的方向向量、直线方程、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，直线的斜率是，所以一个方向向量是，A选项错误.B选项，直线过点，则，所以直线方程可化为，即，所以B选项正确.C选项，圆的圆心为，半径为，到直线的距离，所以直线与圆相交，C选项正确.D选项，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 圆心距，所以两圆外切，所以圆与圆恰有三条公切线，D选项正确.故选：BCD11.已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，点在准线上的射影为，则（）A.若，则B.若点的坐标为，则的最小值为4C.D.若直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则满足条件的直线有2条【答案】AC【解析】【分析】根据抛物线的弦长、定义、直线和抛物线的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】抛物线方程为，所以，焦点，准线方程.A选项，若，则，A选项正确.B选项，点在抛物线内，根据抛物线的定义可知的最小值是到准线的距离，即最小值，所以B选项错误.C选项，设直线的方程为，由消去并化简得，所以，则，所以，所以C选项正确. D选项，直线和直线都过，且与抛物线有一个公共点，当过的直线斜率存在时，设直线方程为，由消去并化简得，由，解得，所以直线与抛物线有一个公共点，所以满足条件的直线有条，D选项错误.故选：AC【点睛】思路点睛：求解直线和抛物线位置关系有关问题，可设出直线的方程，然后将直线方程和抛物线方程联立，化简后写出根与系数关系、判别式等等，再结合抛物线的定义来对问题进行求解.12.已知公差为d的等差数列，其前n项和为，且，，则下列结论正确的为（）A.为递增数列B.为等差数列C.当取得最大值时，D.当时，d的取值范围为【答案】BD【解析】【分析】通过等差数列前项和公式和下标和性质即可得到，，，，则可判断AC，而则可判断B，而通过，，则可得到关于的不等式组，即可判断D.【详解】对A，，即，，即，，则，而，故，故为递减数列，故A错误；对B，设的首项为，则， ，故数列是以为首项，公差为的等差数列，故B正确；对C，由A知，即，则，而，即，则，而，当取得最大值时,，故C错误；对D，当时，由A知，，即，即，解得，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则的最大值为______【答案】【解析】【分析】表示点与点的距离，由圆的性质可求．【详解】圆的圆心为，半径为1，圆心到点距离为，∴所求最大值为．【点睛】设圆的半径为，圆心到平面上一点的距离为，则圆上的点到点距离的最大值为，最小值为．14.直线被双曲线所截得的弦的中点坐标是______.【答案】【解析】【分析】联立方程组，结合韦达定理，求得，进而求得弦的中点坐标.【详解】设直线与双曲线的交点为，联立方程组，整理得，则，且， 设弦的中点为，则，代入直线方程可得，所以截得弦的中点坐标为.故答案为：.15.如图正方形BCDE的边长为，已知，将直角沿BE边折起，点在面BCDE上的射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述：（1）与所成角的正切值是；（2）的体积是；（3）；（4）平面平面；（5）直线BA与平面ADE所成角的正弦值为.其中正确的叙述有______（写出所有正确结论的编号）.【答案】（1）（2）（4）（5）【解析】【分析】由，所以（或补角）为与所成的角，可判定（1）正确；由锥体的体积公式，结合，可判定（2）正确；由，结合与不平行，可判定（3）不正确；证得平面，结合面面垂直的判定定理，可判定（4）正确；由平面，在中，结合，可判定（5）正确. 【详解】如图所示，由点在面上的射影为点，且可得平面，且，（1）中，由，所以（或补角）为与所成的角，因为，所以，所以，所以，所以（1）正确；（2）中，由正方形的边长为，平面，且，所以，所以（2）正确；（3）中，在正方形中，可得，又因为与相交，所以与不平行，所以（3）不正确；（4）中，因为平面，平面，所以，因为，且，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，所以（4）正确；（5）中，因为平面，所以为直线与平面所成的角，在中，，所以，所以（5）正确.故答案为：（1）（2）（4）（5）.16.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支交于A，B两点，若，，则C的离心率为______.【答案】##【解析】 【分析】设的中点为，连接，，由题意可得，，由双曲线的定义可得，，，，，，在和中利用余弦定理表示出两个角的余弦值，即可求出的关系，从而可得双曲线C的离心率.【详解】解：如图：设的中点为，连接，，因为，所以，因为为的中点，所以，由，得，所以，在中，，因为，所以，在中，，因为，所以，即，整理可得，即， 所以，所以或（舍），所以离心率，故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在等差数列中，（1）已知，，求与；（2）已知，求.【答案】（1），（2）24【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，即可求解；（2）根据题意，求得，结合，即可求解.【小问1详解】解：设等差数列的公差为，由，，可得，解得所以公差的值为3，的值为.【小问2详解】解：由是等差数列，因为，解得所以，故的值为24.18.已知圆的圆心为，且与轴相切.（1）求的方程；（2）设直线与交于，两点，，求的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意求出圆半径，即可得出答案.（2）先利用余弦定理求出，从而利用勾股定理可得圆心到直线的距离；再根据点到直线距离公式得出圆心到直线的距离，得出关于的方程即可求解.【小问1详解】因为圆的圆心为，且与轴相切，所以圆的半径，所以圆的方程为；【小问2详解】因为，，所以在中，由余弦定理可得：.所以圆心到直线的距离，即，解得.19.（1）已知数列满足，.①证明：数列是等差数列；②求数列的通项公式；（2）数列满足，，求数列的通项公式. 【答案】（1）①证明见解析；②（2）【解析】【分析】（1）①证根据题意，化简得到，结合等差数列定义，即可得证；②根据等差数列的通项公式，即可求得的通项公式；.（2）根据题意，求得，结合累加法，即可求得数列的通项公式.【详解】（1）①证明：根据题意，数列满足，等式两边除以，可得，即，故数列是以为首项，为公差的等差数列；②因为数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以.（2）由数列满足，可得，可得，当时，可得，又因为，适合上式，所以数列的通项公式.20.已知抛物线的焦点，为坐标原点，、是抛物线上异于的两点．（1）求抛物线的方程；（2）若直线、的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）根据抛物线焦点坐标，直接求得，则抛物线方程得解；（2）设出直线的方程，利用韦达定理，结合已知条件，即可求得结果.小问1详解】根据题意，，则，故抛物线方程为：.【小问2详解】显然直线的斜率不为零，且不过原点，故设其方程为，联立抛物线方程可得：，时，设两点的坐标分别为，则，，由题可知，，即，解得，此时满足，故直线恒过轴上的定点.21.如图，在三棱锥中，侧面是等边三角形，.（1）证明：平面平面；（2）若，则在棱上是否存在动点，使得平面与平面的夹角为？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明详见解析（2）存在，且是线段上，靠近点的三等分点.【解析】【分析】（1）设是的中点，通过证明平面来证得平面平面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法，根据平面与平面的夹角求得点的位置.【小问1详解】设分别是的中点，连接， 则，由于，所以，由于三角形是等边三角形，所以，由于，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.【小问2详解】由（1）可知平面平面，以为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，，则，所以，，设，平面的一个法向量是，，设平面的一个法向量是，则，故可设，若平面与平面的夹角为，则，即，解得（负根舍去），则，， 所以是线段上，靠近点的三等分点.22.如图，椭圆的焦点分别为为椭圆上一点，的面积最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）若分别为椭圆的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线交椭圆于（在上方，在下方，且均不与点重合）两点，直线的斜率分别为，且，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件，得到关于的方程，即可得到结果；（2）根据题意设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，再由列出方程，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】，，，故椭圆的方程为；【小问2详解】 依题意设直线的方程为，，联立方程组，消元得：，，，由得：，两边同除，，即；将代入上式得：整理得：所以或（舍），当时等号成立，满足条件，所以面积的最大值为.