上海市闵行第三中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学Word版含解析.docx

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闵行三中2023学年高一年级第一学期12月月考数学试卷一、填空题（1～6题每空4分，7～12题每空5分，共54分）1.函数的定义域是______.2.函数（且）恒过定点_____________.3.函数，则______.4.已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则__________.5.已知，，则用a、b表示__________.6.已知，则最小值为______7.函数的奇偶性是___________.8.若函数在上是严格减函数，则实数取值范围是_____________.9.已知函数，若方程有3个不同的根，则实数的取值范围是_______.10.已知函数是奇函数，且当时，，则当时，_____________．11.若函数值域为，则的取值范围为____________．12.某同学向老师请教一题：当时，函数图像恒在直线的上方（不含该直线），求实数的取值范围.老师告诉该同学：“恒成立，当且仅当时取等号.且方程在上有解”，根据老师的提示可得的取值范围是_________.二、选择题（13～14题每空4分，15～16题每空5分，共18分） 13.下列四组函数中，与表示同一函数是（）A.，B.，C.，D.，14.在同一平面直角坐标系中，二次函数与指数函数的图像关系可能为（）A.B.C.D.15.若函数是定义在上的偶函数，在区间上是严格减函数，且，则不等式的解集为（）A.B.C.D.16.定义域为且同时满足以下两个条件：（1）对任意的，恒有；（2）若，，则有成立，这样的函数，我们称为“函数”，下列判断：①若为“函数”，则；②若为“函数”，则在上为严格增函数；③函数在上是“函数”；④函数在上是“函数”.其中，正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.3 三、解答题（本大题共5小题，共78分）17.已知集合，.（1）求A和B；（2）若，且，求的取值范围.18.已知函数.（1）当时，求该函数的值域；（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.19.某家庭进行网上理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）.（1）分别写出两种产品的年收益与投资的函数关系式；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益多少万元？20.已知定义域为的函数为奇函数.（1）求函数解析式（2）证明函数单调性（3）若关于不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.21.定义在区间上的函数满足：若对任意，，都有，则称是上的上凸函数．（1）判断函数是否为上凸函数？为什么？（2）若函数在上是上凸函数，求取值范围；（3）在（2）的条件下，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 闵行三中2023学年高一年级第一学期12月月考数学试卷一、填空题（1～6题每空4分，7～12题每空5分，共54分）1.函数的定义域是______.【答案】【解析】【分析】利用二次根式的意义计算即可.【详解】由题意可知，即函数的定义域为.故答案为：2.函数（且）恒过定点_____________.【答案】【解析】【分析】令指数，即即可得解.【详解】当时，，所以函数（且）恒过定点.故答案为：.3函数，则______.【答案】2【解析】【分析】由解析式先求，再求即得.【详解】因为，所以.故答案为：24.已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则 __________.【答案】-1【解析】【分析】根据幂函数在上为严格减函数，可得，再由幂函数奇函数即可得答案.【详解】解：因为幂函数在上为严格减函数，所以，所以，又因为幂函数奇函数，且，所以，故答案为：-15.已知，，则用a、b表示__________.【答案】【解析】【分析】由对数的换底公式及对数运算法则求解．【详解】，故答案为：．6.已知，则的最小值为______【答案】32【解析】【分析】根据基本不等式结合指数的运算即可得解.【详解】因为，所以.故答案：. 7.函数的奇偶性是___________.【答案】奇函数【解析】【分析】利用对数函数的定义域以及函数奇偶性的定义求解.【详解】由函数，可得，解得，所以，所以，，所以函数是奇函数，故答案为:奇函数.8.若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是_____________.【答案】【解析】【分析】由复合函数单调性以及对数函数的定义域即可得解.【详解】因为函数关于单调递增，函数在上是严格减函数，所以关于在上是严格减函数，且，所以当且仅当，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.9.已知函数，若方程有3个不同的根，则实数的取值范围是_______. 【答案】【解析】【分析】将方程的根的个数转换为函数图象的交点的个数，利用指数函数一次函数单调性画出函数图象，通过平移直线来找到满足题意的实数的取值范围即可.【详解】由题意，根据（复合）函数单调性画出函数大致图象如图所示，由题意方程有3个不同的根，则函数图象有三个不同的交点，通过平移直线发现，函数图象有三个不同的交点当且仅当，所以实数的取值范围是.故答案为：.10.已知函数是奇函数，且当时，，则当时，_____________． 【答案】【解析】【分析】根据题意可得，且，当时，，代入即可，注意时的情况可．【详解】由函数是奇函数，则，且，又当时，，则当时，，则，①又当时不满足①式，所以．故答案为：．11.若函数值域为，则的取值范围为____________．【答案】【解析】【分析】先设函数值域为，再根据对数函数定义域和值域的关系，可得，再分和两种情况讨论求解．【详解】设函数值域为，由函数值域为，则，当时，的值域为，符合题意；当时，由，解得，所以的取值范围为． 故答案为：．12.某同学向老师请教一题：当时，函数图像恒在直线的上方（不含该直线），求实数的取值范围.老师告诉该同学：“恒成立，当且仅当时取等号.且方程在上有解”，根据老师的提示可得的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】由参变量分离法可得出，利用已知条件求出函数在上的最小值，由此可得出实数a的取值范围.【详解】因为，所以，由可得，由题意恒成立，当且仅当时取等号；且方程在上有解，所以，当且仅当时，等号成立，所以，因此实数a的取值范围是.故答案为：.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.二、选择题（13～14题每空4分，15～16题每空5分，共18分）13.下列四组函数中，与表示同一函数是（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】 【分析】对于ABC而言，说明两函数的定义域不同即可排除，对于D而言由绝对值的定义可以得到两函数的定义域、对应法则一样，由此即可得解.【详解】对于A，，的定义域分别为，故A不符题意；对于B；，定义域分别为，故B不符题意；对于C，，的定义域分别为，故C不符题意；对于D，因为，其定义域、对应法则都是一样的，故D符合题意.故选：D14.在同一平面直角坐标系中，二次函数与指数函数的图像关系可能为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的图象特征，结合开口方向以及的正负，即可确定与1的关系，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，二次函数开口向上，则，，，，为减函数，符合题意， 对于B，二次函数开口向上，则，，此时不是指数函数，不符合题意，对于C，二次函数开口向下，则，，此时函数不是指数函数，不符合题意，对于D，二次函数开口向下，则，，指数函数增函数，不符合题意，故选：A15.若函数是定义在上的偶函数，在区间上是严格减函数，且，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用偶函数的性质，分段解不等式即得.【详解】函数是上的偶函数，在上是严格减函数，则在上是严格增函数，，不等式化为：或，解得或，所以不等式的解集为.故选：B16.定义域为且同时满足以下两个条件：（1）对任意的，恒有；（2）若，，则有成立，这样的函数，我们称为“函数”，下列判断：①若为“函数”，则；②若为“函数”，则在上为严格增函数； ③函数在上是“函数”；④函数在上是“函数”.其中，正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据“函数”的定义，对四个判断逐个分析可得答案.【详解】对于①，若为“函数”，由（1）可知，由（2）可知，，即，故，故①正确；对于②，当恒成立时，满足（1）（2），但是在上不是严格增函数，故②不正确；对于③，令，，则，，此时，即不满足（2），所以函数在上不是“函数”，故③不正确；对于④，当时，为增函数，所以，所以满足（1），当时，，所以满足（2），故函数在上是“函数”，故④正确.综上所述：①④正确，②③不正确.故选：C【点睛】关键点点睛：对函数新定义的正确理解和运用是解题关键.三、解答题（本大题共5小题，共78分）17.已知集合，.（1）求A和B；（2）若，且，求的取值范围.【答案】（1）,（2） 【解析】【分析】（1）分别根据指数函数、对数函数单调性以及运算性质化简运算即可得解.（2）由题意当且仅当，从而，解不等式即可得解.【小问1详解】由题意，，解得，即.【小问2详解】由（1）可知，若，则，所以当且仅当，解得，所以的取值范围.18.已知函数.（1）当时，求该函数的值域；（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)将变形为,再令,利用换元法转换为二次函数求值域;(2)方法一:将不等式整理为对恒成立,再利用二次函数的性质分类讨论最值求解;方法二:将不等式变形为对恒成立,则求出的最大值即可得解.【详解】(1),令,则时,此时,, ,,所以时,函数的值域为;(2)对于恒成立,方法一:即对恒成立,即对恒成立,设,,则,①当,即时,所以;②当,即时,,所以;综上所述,.方法二:即对恒成立,对恒成立,设,,在上单调递增,,.【点睛】本题考查复合函数求值域,考查含参不等式恒成立问题,属于中档题.在解决含参不等式恒(能) 成立问题时,常见的方法有分类讨论法和分离参数法.19.某家庭进行网上理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）.（1）分别写出两种产品的年收益与投资的函数关系式；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？【答案】（1）（2）当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.【解析】【分析】（1）根据待定系数法可得；（2）设用于投资稳健型产品的资金为x，写出年收益的解析式，利用换元法可得最大年收益.【小问1详解】由题意设投入万元，稳健型产品的年收益，风险型产品的年收益，由图知，函数和的图象分别过点和，代入解析式可得，所以【小问2详解】设用于投资稳健型产品的资金为x，用于投资风险型产品的资金为，年收益为y，则，令，则，当，即时，，所以当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元. 20.已知定义域为的函数为奇函数.（1）求函数解析式（2）证明函数单调性（3）若关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）是上的增函数（3）【解析】【分析】（1）由奇函数的性质即求得，反过来记得按奇函数的定义检验一下即可求解.（2）按照单调性的定义、指数函数单调性即可求解.（3）首先由函数的单调性、奇偶性将不等式转化为，通过换元、基本不等式、分离参数即可求解.【小问1详解】由题意函数是定义域为的奇函数，所以，即，解得，当时，，，且函数的定义域为，即此时是上的奇函数，满足题意.【小问2详解】由（2）可知，不妨设， 则，因为，所以，从而，即，所以是上的增函数.【小问3详解】由（1）可知是上的奇函数，所以，由（2）可知是上的增函数，所以由题意，令，所以，而在上单调递增，所以上单调递减，从而，故，即实数的取值范围为.【点睛】关键点睛：本题第一问求解析式之间根据奇函数性质求得，但一定要注意检验，第二问比较常规，第三问的关键是首先根据单调性、奇函数性质“去括号”，然后分离参数、基本不等式、换元运算即可得解.21.定义在区间上的函数满足：若对任意，，都有，则称是上的上凸函数．（1）判断函数是否为上凸函数？为什么？ （2）若函数在上是上凸函数，求的取值范围；（3）在（2）的条件下，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）是凸函数，理由见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据凸函数的定义，结合基本不等式推导证明即可；（2）根据凸函数的定义化简可得，结合与对数函数的单调性求解即可；（3）化简可得在时恒成立，再结合分析即可.【小问1详解】函数是上凸函数．理由如下．设，，欲证函数是上凸函数，需证，即证，即证，由不等式知识可得上式显然成立，故函数是上凸函数．【小问2详解】由函数在上是上凸函数，可得对任意，，．又，所以．【小问3详解】当时，不等式恒成立，即，即恒成立，可得在时恒成立．因为，所以，，所以． 由，及，可得，所以．故．