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时间:2024-09-03
《四川省眉山市仁寿县第一中学2023-2024学年高二上学期期末模拟考试数学 Word版含解析.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
高2025届高二上学期期末模拟试题数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系O-xyz中,点,,则()A.直线AB∥坐标平面xOyB.直线AB⊥坐标平面xOyC.直线AB∥坐标平面D.直线AB⊥坐标平面【答案】C【解析】【分析】根据与法向量的关系判断.【详解】由已知得,坐标平面的一个法向量是,坐标平面的一个法向量是,易判断与,不平行,所以直线AB不垂直坐标平面,也不垂直坐标平面,故BD错.因为,所以直线不平行坐标平面,故A错因为,点A、B均不在坐标平面上,所以直线AB与坐标平面平行,故C对.故选:C2.抛物线的准线方程为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将题中抛物线的方程转化为标准方程,从而得解.【详解】因为抛物线可化为, 所以其准线方程为.故选:C.3.根据下面的图形及相应的点数,写出下列点数构成数列的第5项的点数()A.32B.35C.36D.42【答案】B【解析】【分析】根据所给数据,找出规律即可得解.【详解】由题意,,所以,根据规律,,所以,故选:B4.我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马,平面,且,若,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】结合已知条件,根据空间向量的线性运算法则求解即可. 【详解】因为,所以.因为,所以.因为,所以.故选:D.5.设为等比数列,则“对于任意的,”是“为递减数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分、必要条件、等比数列的单调性等知识进行分析,从而确定正确答案.【详解】设等比数列的公比为,若,当时,由得,解得或,若,则,此时与已知矛盾;若,则,此时为递减数列.当时,由得,解得或,若,则,此时与已知矛盾;若,则,此时此时为递减数列.反之,若为递减数列,则,所以“对于任意的,”是“为递减数列”的充分必要条件.故选:C6.已知是等差数列的前项和,且,且,则 的最大值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设数列的首项为,公差为,根据题意求得,再由,得到,得出数列为递减数列,再结合,即可求解.【详解】设数列的首项为,公差为,由,可得,又由,可得,因为,所以,所以,可得等差数列为递减数列,又因为,所以,故等差数列的前项和最大值为.故选;A.7.已知双曲线C:的右焦点为F,B为虚轴上端点.M是中点,O为坐标原点,OM交双曲线右支于N,若垂直于x轴,则双曲线C的离心率为()A.B.2C.D.【答案】A【解析】【分析】由图,可得点M,N坐标,后由可得,即可得答案.【详解】如图,由题意可知注意到,又由题,,则. 因M是中点,则,则.由题,,则,故.故选:A.8.已知点为椭圆:右焦点,点是椭圆上的动点,点是圆上的动点,则的最小值是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出图形,利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得的最小值.【详解】如下图所示:在椭圆中,,则, 圆的圆心,半径,圆心为椭圆的左焦点,由椭圆定义可得,,由椭圆的几何性质可得,即,由圆的几何性质可得,所以,所以的最小值是.故选:C.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知、,下列说法中错误的是()A.平面内到、两点的距离相等的点的轨迹是直线B.平面内到、两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆C.平面内到、两点的距离之差等于的点的轨迹是双曲线的一支D.平面内到、两点距离的平方和为的点的轨迹是圆【答案】BD【解析】【分析】根据中垂线的定义判断选项A;根据椭圆的定义判断选项B;根据双曲线的定义判断选项C;求出动点的轨迹方程判断选项D.【详解】设所求动点为,由题意可得对于A选项,由题意可知,,则点的轨迹为线段的垂直平分线,A正确;对于B选项,,所以点的轨迹为线段,B错误;对于C选项,由题意可知,,所以点的轨迹是以、为焦点的双曲线的一支,C正确; 对于D选项,设点,则,可得,满足条件的点不存在,D错误.故选:BD.10.对于一个古典概型的样本空间和事件A,B,其中,,,则()A.事件A与事件B互斥B.C.事件A与事件相互独立D.【答案】BC【解析】【分析】根据古典概型结合概率的性质以及事件的独立性分析判断.【详解】由题意可得:,则,∵,∴,即事件A与事件B不互斥,A错误;可得:,故,可知B正确,D错误;又∵,∴事件A与事件相互独立,C正确;故选:BC.11.下列说法中正确的是()A.若空间向量,,则向量在向量上的投影向量是B.分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设“第二枚反面朝上”为事件,“两枚硬币朝上的面相同”为事件,则事件与事件相互独立C.直线的方向向量为,且过点,则点到直线的距离为2 D.两个顶点在抛物线上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数有且仅有两个【答案】BCD【解析】【分析】根据投影向量的坐标运算可判断A,根据独立事件的定义可判断B,又点到直线的距离的向量求法可判断C,由抛物线定义及性质,等边三角形性质可判断D.【详解】选项A:因为,,则向量在向量上的投影向量是,故A错误;选项B:抛掷两枚质地均匀的硬币共有四种情况,即正正,正反,反正,反反;事件A包含两种情况,即正反,反反;所以;事件B包含两种情况,即正正,反反;所以;事件包含一种情况,即反反;所以;所以,即事件与事件相互独立,故B正确;选项C:依题意,,所以在方向上的投影为,点到直线的距离为,故C正确;选项D:因为抛物线,所以焦点,依题意,设三角形另一个顶点为,由对称性可知设另一个顶点坐标为,则,又三角形为等边三角形,由抛物线定义有,化简得,因为,所以方程有两解,即满足条件的三角形有2个,故D正确;故选:BCD.12.数学探究课上,小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感,创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的,它如同一个标准的圆形钟沿着直径折成了直二面角(其中对应钟上数字对应钟上数字9).设的中点为,若长度为2的时针指向了钟上数字8,长度为3的分针指向了钟上数字12.现在小王准备安装长度为3 的秒针(安装完秒针后,不考虑时针与分针可能产生的偏移,不考虑三根指针的粗细),则下列说法正确的是()A.若秒针指向了钟上数字5,如图2,则B.若秒针指向了钟上数字5,如图2,则平面C.若秒针指向了钟上数字4,如图3,则与所成角的余弦值为D.若秒针指向了钟上数字4,如图3,则四面体的外接球的表面积为【答案】ACD【解析】【分析】分别用立体几何中空间向量法判断A,B,C,求出四面体的外接球的表面积,判断D.【详解】如图,以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则.若秒针指向了钟上数字5,则,则,,所以,A正确.,故是平面的一个法向量.因为,所以,所以与不垂直,从而与平面不平行,B不正确. 若秒针指向了钟上数字4,则,,,C正确.由,得.因为,所以外接圆的半径,则四面体的外接球的半径,则,故四面体的外接球的表面积为,D正确.故选:ACD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知直线:与:平行,则的值是_______【答案】0【解析】【分析】由两直线平行计算,再检验两直线是否重合即可.【详解】若直线:与:平行,则,解得或,当时,两直线平行;当时,两直线重合.综上所述,k的值为0.故答案为:0.14.有编号互不相同的五个砝码,其中3克、1克的砝码各两个,2克的砝码一个,从中随机选取两个砝码,则这两个砝码的总重量超过4克的概率为_______【答案】##【解析】【分析】将题目中的砝码编号,利用枚举法,结合古典概型的概率公式,可得答案. 【详解】记3克的砝码为,,1克的砝码为,,2克的砝码为,从中随机选取两个砝码,则,共有10个样本点,其中事件“这两个砝码的总重量超过4克”包含3个样本点,故所求的概率为.故答案为:.15.图1为一种卫星接收天线,其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分,已知该卫星接收天线的口径,深度,信号处理中心F位于焦点处,以顶点O为坐标原点,建立如图2所示的平面直角坐标系xOy,若P是该抛物线上一点,点,则的最小值为__________.【答案】3【解析】【分析】由题意可知点在抛物线上,利用待定系数法求抛物线方程,结合抛物线定义求的最小值.【详解】设抛物线的方程为,因为,,所以点在抛物线上,所以,故,所以抛物线的方程为,所以抛物线的焦点,准线方程为,在方程中取可得,所以点在抛物线内,过点作与准线垂直,为垂足,点作与准线垂直,为垂足, 则,所以,当且仅当直线与准线垂直时等号成立,所以的最小值为3.故答案为:3.16.数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列,数列满足:,则数列的最大项等于______.【答案】##1.75【解析】【分析】由条件求数列的通项公式,再研究数列的单调性,由此确定其最大项.【详解】数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列为:,该数列为首项为1,公差为的等差数列,所以,所以因为所以当时,,即,又,所以数列的最大项为第二项,其值为.故答案为:. 四、解答题:共6小题,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在平面直角坐标系中,点A的坐标为,动点P满足.(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)若直线l过点且与轨迹C相切,求直线l的方程.【答案】(1);(2)或.【解析】【分析】(1)设,根据动点满足,用两点间距离公式化简求解.(2)讨论直线的斜率,设出直线l的方程,由圆心到直线的距离等于圆的半径可得答案.【详解】(1)设,则由,即,化简得,所以P点的轨迹方程为.(2)当直线l的斜率不存在时,方程为,圆心到直线l的距离为2,又因为圆的半径为2,所以相切;当直线l的斜率存在时,设,即,由到l的距离,解得,所以直线方程为,即,综上,l的方程为或.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系,判断直线和圆的位置关系有①几何法,就是利用圆心到直线的距离和半径大小;②代数法,就是利用圆的方程和直线方程联立后由判别式求解.18.甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.已知在每场比赛中,甲胜乙和甲胜丙的概率均为,乙胜丙的概率为,各场比赛的结果相互独立. 经抽签,第一场比赛甲轮空.(1)求前三场比赛结束后,丙被淘汰的概率;(2)求只需四场比赛就决出冠军的概率.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)设事件为甲胜乙,为甲胜丙,为乙胜丙,然后得出丙被淘汰可用事件,根据互斥事件的概率公式以及事件的独立性,即可得出答案;(2)分最终的冠军为甲,乙,丙,分别求解出概率,然后根据互斥事件的概率公式,即可得出答案.【小问1详解】记事件为甲胜乙,则,则,事件为甲胜丙,则,,事件为乙胜丙,则,.则丙被淘汰可用事件来表示,所以,前三场比赛结束后,丙被淘汰的概率为.【小问2详解】若最终的冠军为甲,则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示,;若最终的冠军为乙,则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示,;若最终的冠军为丙,则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示,.所以,只需四场比赛就决出冠军的概率为 .19.已知等比数列的前n项和,为常数.(1)求的值与的通项公式;(2)设,数列的前n项和为,求.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出;(2)利用错位相减法求数列的前项和为即可.【小问1详解】解:当时,,当时,,是等比数列,,即,所以,数列的通项公式为;【小问2详解】解:由(1)得,,则..20.如图,在三棱柱中,平面,已知 ,点是棱的中点.(1)求证:平面;(2)求平面与平面夹角的正弦值;【答案】(1)证明见解析(2)【解析】分析】(1)通过证明,来证明平面;(2)以为轴建立空间直角坐标系,运用向量法求解平面与平面夹角的正弦值;【小问1详解】在中,因为,由余弦定理知,得到,所以,故,又平面,平面,所以,又,平面,所以平面.【小问2详解】如图所示,以为轴建立空间直角坐标系, 因为,,则,,,,,,又点是棱的中点,所以,设平面的法向量为,,,由,得到,取,,得到,设平面的法向量为,,,由,得到,取,,得到,平面与平面夹角的平面角为锐角,故余弦值为,所以正弦值为21.已知椭圆:上顶点为,左焦点为,且,在直线上.(1)求的标准方程;(2)设直线与交于,两点,且四边形为平行四边形,求的方程. 【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据椭圆的标准方程,利用条件求出,即可得出结果;(2)根据题意,设直线的方程为,联立椭圆方程得,由韦达定理得,再利用条件得,从而得到,即可求出结果.【小问1详解】因为椭圆的上顶点为,左焦点为,均在直线上,令,得,令,得到,所以,得到,所以,故椭圆的标准方程为.【小问2详解】因为四边形为平行四边形,则直线过中点,易知直线的斜率存在,设直线的方程为,,由,消得到,易知,直线与椭圆恒有两个交点,又由韦达定理知,,又,,因为四边形为平行四边形,所以,得到,又,,代入,整理得,即, 将代入,得到,即,所以或,又,故舍去,所以,直线方程为,即.22.已知双曲线的实轴长为4,离心率为.过点的直线l与双曲线C交于A,B两点.(1)求双曲线C的标准方程;(2)已知点,若直线QA,QB的斜率均存在,试问其斜率之积是否为定值?请给出判断与证明.【答案】(1)(2)斜率之积为定值4,证明见解析【解析】【分析】(1)由双曲线的实轴长和离心率,求出与,可得双曲线C的标准方程;(2)分直线l斜率存在和不存在两种类型,通过联立方程组,设点,利用韦达定理表示直线QA,QB的斜率之积,化简得定值.【小问1详解】双曲线的实轴长为4,则,即,双曲线离心率为,则双曲线是等轴双曲线,得.所以双曲线C的标准方程为.【小问2详解】 当直线QA,QB的斜率均存在,其斜率之积为定值4,证明如下:过点的直线l,若斜率不存在,则直线方程为,与双曲线方程联立解得,,.直线l斜率存在,设直线斜率为,直线方程为,双曲线渐近线方程为,当时,直线l与双曲线C交于A,B两点,由,消去得,设,,有,,,,当直线QA,QB斜率均存在,.所以当直线QA,QB的斜率均存在,其斜率之积为定值4.【点睛】方法点睛:
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