甘肃省平凉市第二中学2022-2023学年高二上学期期末考试（延考）数学（解析版）.docx

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平凉二中2022~2023学年度高二第一学期期末考试（延考）数学试题第Ⅰ卷（选择题）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分别求出集合，求出交集即可.【详解】，，故，.故选：D.2.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用对指函数的单调性求解.【详解】，，，所以.故选：A.3.小王于2015年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还货方式，且截止2019年底，他没有再购买第二套房子.下图是2016年和2019第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司 平凉二中2022~2023学年度高二第一学期期末考试（延考）数学试题第Ⅰ卷（选择题）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分别求出集合，求出交集即可.【详解】，，故，.故选：D.2.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用对指函数的单调性求解.【详解】，，，所以.故选：A.3.小王于2015年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还货方式，且截止2019年底，他没有再购买第二套房子.下图是2016年和2019第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司 年家庭收入用于各项支出的比例分配图，根据以上信息，判断下列结论中正确的是（）A.小王一家2019年用于饮食支出费用与2016年相同B.小王一家2019年用于其他方面的支出费用是2016年的3倍C.小王一家2019年的家庭收入比2016年增加了一倍D.小王一家2019年的房贷支出比2016年减少了【答案】B【解析】【分析】对于A，小王一家2019年用于饮食的支出费用比2016年多；对于B，设2016年收入为，则2019年收入为，由此能求出小王一家2019年用于其他方面的支出费用是2016年的3倍；对于C，设2016年收入为，则2019年收入为；对于D，小王一家2019年用于房贷的支出费用与2016年相同．【详解】对于A，小王一家2019年用于饮食的支出比例与跟2016年相同，但是由于2019年比2016年家庭收入多，小王一家2019年用于饮食的支出费用比2016年多，故A错误；对于B，设2016年收入为，相同的还款数额在2016年占各项支出的，在2019年占各项支出的，年收入为：，小王一家2019年用于其他方面的支出费用为，小王一家2016年用于其他方面的支出费用为，小王一家2019年用于其他方面的支出费用是2016年的3倍，故B正确；对于C，设2016年收入为，则2019年收入为：，故C错误；对于D，小王一家2019年用于房贷的支出费用与2016年相同，故D错误．故选：B．4.已知命题p：对任意实数都有恒成立，命题q：关于x的方程有实数根.若为真命题，则实数a的取值范围是（）第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司 A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出命题分别为真命题时实数a的取值范围，再由为真命题，可知至少有一个为真命题，从而可求得结果【详解】对于命题，当时，恒成立，当时，则由对任意实数都有恒成立，得，解得，综上，当命题为真命题时，，对于命题，由有实数根，得，解得，因为为真命题，所以至少有一个为真命题，若都为假命题，则，得，所以当时，至少有一个为真命题，即为真命题，即实数a的取值范围是，故选：C5.设为等差数列的前项和，若，，则A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得，从而求得正确结果.详解：设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司 的关系，从而求得结果.6.在中，角所对的边分别为，向量，若，则内角A的大小为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用向量平行列出方程，结合正弦定理求得的大小.【详解】由于，所以，由正弦定理得，，，由于，所以，所以三角形的内角为锐角，所以.故选：D7.已知是双曲线：的右焦点，为坐标原点，是的右支上一点，若，，则的离心率为（）A.B.C.D.2【答案】A【解析】【分析】利用双曲线性质可得，根据余弦函数的定义求出，根据双曲线定义求出，在中运用余弦定理即可求解.【详解】如图所示：第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司 其中为双曲线的左焦点，则有，，，，且，即，所以，在中，，由双曲线定义知，，解得，在中，，则有，化简得，所以.故选：A.8.设是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求得函数是周期函数，且周期，依题意，只需使函数的图象与函数的图象在上有5个交点即可.在同一坐标系中分别作出与的图象，数形结合可得结果.【详解】因为是上的偶函数，所以，对，，第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司 所以函数是周期函数，且周期.，依题意，只需使函数的图象与函数的图象在上有5个交点即可.在同一坐标系中分别作出与的图象，由图可知，实数满足，解得，即实数的取值范围是.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：在同一坐标系中分别作出与的图象，数形结合得到满足.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.（多选题）已知抛物线，过焦点F作一直线l交抛物线于，两点，以下结论正确的有（）A.没有最大值也没有最小值B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】可设直线AB的方程为，将其与抛物线的方程联立，得到关于y的一元二次方程，得到，判断出C选项，由抛物线的定义知，，，求出，判断出B选项，由基本不等式判断出A选项，表达出第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司 ，代入两根之和，两根之积即可.【详解】由题意知，，直线AB的斜率不可能为0，故可设其方程为，联立，消去x，得，，，即选项C正确；由抛物线的定义知，,，所以，即选项B正确；∵，∴，∴，∴有最小值，即选项A错误；又，∴，即选项D正确；故选：BCD10.如图，在长方体中，，E，F分别是棱，的中点，则（）A.△BDF是等边三角形B.直线与BF是异面直线C.平面BDFD.三棱锥与三棱锥的体积相等【答案】AC【解析】第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司 【分析】A选项可根据几何关系求三角形的各个边长进行判断；B选项证点，E，B，F四点共面得出矛盾；C选项证，线线垂直，可得线面垂直；D选项点A与点F到平面的距离不相等，即是高不相等，体积也不会相等.【详解】对于A，设AB＝1，则，故△BDF是等边三角形，A正确；对于B，连接、，如图所示：易知，,故点，E，B，F共面，B错误；对于C，设AB＝1，则，，，所以所以，同理可知，又因为，所以平面BDF，故C正确；对于D，三棱锥与三棱锥有公共的面，若要它们的体积相等，则点A与点F到平面的距离相等，这显然不成立，故D错误．故选：AC.11.下列结论正确的是（）A.直线恒过定点B.直线的倾斜角为120°C.圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1D.与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有两条【答案】BC【解析】第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司 【分析】求出直线过的定点，即可判断A；根据斜率与倾斜角的关系求出直线的倾斜角，可判断B;计算圆心到直线的距离，即可判断C的对错；求出与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线，看有几条即可判断D的对错.【详解】可变形为，令，得，即直线过定点，故A错；直线的斜率为，故其倾斜角为，故B正确；圆的圆心到直线的距离为，圆的半径为2，故圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，故C正确；当直线不过原点时，设直线与圆相切，则，解得，则满足题意；当直线不过原点时，设直线与圆相切，则，解得，则满足题意；所以满足题意得直线有三条，故D错误，故选：BC12.已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（）第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司 A.的图像关于点对称B.的图像关于直线对称C.将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像D.若方程在上有两个不相等实数根，则的取值范围是【答案】BD【解析】【分析】根据图像周期性求出，代入特殊点求，得到，对四个选项一一验证，对于A、B，代入验证即可；对于C，利用平移左加右减的规律即可求得平移后的函数，化简进行比较；对于D，先判断出单调性，求出最值，根据函数值的正负进行判断.【详解】由题图可得，，故，所以，又，即，所以，，又，所以，所以.对于A：当时，，故A错误；对于B：当时，，故B正确；对于C：将函数的图像向左平移个单位长度得到函数，的图像，故C中说法错误；第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司 对于D：当时，，则当，即时，单调递减；当，即时，单调递增，因为，，，所以方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是.故选：BD.第Ⅱ卷（非选择题）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数满足为虚数单位），则的模为__．【答案】【解析】【分析】根据复数的运算公式求复数的代数形式，再由复数的模的公式求的模.【详解】由，得，．故答案为：.14.从1，3，5，7这4个数中随机取出2个不同的数a，b，则的概率为___________．【答案】##0.5【解析】【分析】列举所有的基本事件，根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】取出的6组数分别为其中有3组满足，所以的概率为．故答案为：15.已知多项式，则_____．【答案】70第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】利用赋值法令求出，再利用通项公式求出项，得到，即可求出.【详解】令，可得，即，根据可得项为，所以，.故答案为：70.16.龙马负图､神龟载书图象如图甲所示，数千年来被认为是中华传统文化的源头；其中洛书有云，神龟出于洛水，甲壳上的图象如图乙所示，其结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数；若从阳数和阴数中分别随机抽出2个和1个，则不同选法的种数是___________（用数字作答）.【答案】40【解析】【分析】根据题意求出阳数和阴数的个数，然后由分步乘法原理结合组合数公式可求得结果.【详解】由题意得，阳数为1，3，5，7，9，阴数为2，4，6，8，所以从阳数和阴数中分别随机抽出2个和1个，则不同选法的种数是种，故答案为：40四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.某校为了解高一年级学生的数学学科发展状况，随机抽取了100名学生，列出他们的高一第一学期期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图，其中成绩的分组区间为：.第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司 （1）求图中的值；（2）利用样本估计总体的方法，估计该校高一年级此次期中考试的平均分（同一分组的成绩用该组区间的中点值做代表）；（3）若将分数从高分到低分排列，取前20%的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方法，估计本次期中考试“优秀”档次的分数线.【答案】（1）（2）73（3）82.5【解析】【分析】（1）由频率分布直方图所有长方形的面积之和等于1，即可求出答案；（2）由频率分布直方图的平均数的求法，即可求出答案；（3）由频率分布直方图可知，区间占5%，区间占20%，估计“优秀”档次的分数线在之间，由此即可求出答案.【小问1详解】由题意得，，解得：；【小问2详解】估计该校此次期中考试平均分为；【小问3详解】由频率分布直方图可知，区间占5%，区间占20%，估计“优秀”档次的分数线为：.18.已知等比数列的首项为，公比为，且关于的不等式的解集为第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司 .（1）求；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先把不等式转换为方程，进一步求出首项和公比，再利用等比数列的定义求出数列的通项公式.（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法的应用求出数列的和.【详解】（1）等比数列的首项为，公比为，且关于的不等式的解集为.则-2和6为的两根，所以，，解得，.所以.（2）由（1）得，所以，，.【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式，考查了分组求和，属于中档题.19.已知，，（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司 边上的高的最大值．【答案】（1）最小正周期为；单调递减区间为；（2）．【解析】【分析】（1）整理得，可得其最小正周期及单调递减区间；（2）由，可得，设边上的高为，所以有，由余弦定理可知：，得出，最后可得最大值.【详解】解：（1）．的最小正周期为：；当时，即当时，函数单调递减，所以函数单调递减区间为：；（2）因为，所以，，，．设边上的高为，所以有，第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司 由余弦定理可知：，，，（当用仅当时，取等号），所以，因此边上高的最大值.20.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，E为的中点．（1）证明：平面；（2）设，三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）作辅助线，利用中位线证明线线平行，进而证明线面平行；（2）作出辅助线，找到与平面所成角，在结合题干条件进行求解.【小问1详解】如图，连结，设与的交点为O，连接．因为四边形为矩形，所以点O为的中点．第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司 又点E为的中点，所以．因为平面平面，所以平面．【小问2详解】作于点H．∵平面，平面，∴又∵为矩形，，∴由，可得．因，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，平面，故平面，即的长就是点A到平面的距离．因为，所以，因此为与平面所成角，则．21.在平面直角坐标系中，N为圆C：上的一动点，点D（1,0），点M是DN的中点，点P在线段CN上，且.第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司 （Ⅰ）求动点P表示曲线E的方程；（Ⅱ）若曲线E与x轴的交点为，当动点P与A，B不重合时，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析过程.【解析】【分析】（Ⅰ）根据点M是DN的中点，又，可知PM垂直平分DN.所以，又，所以.这样利用椭圆的定义可以求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）设，则，利用斜率公式，可以证明出为定值.【详解】（Ⅰ）由点M是DN的中点，又，可知PM垂直平分DN.所以，又，所以.由椭圆定义知，点P的轨迹是以C，D为焦点的椭圆.设椭圆方程为.又可得所以动点P表示的曲线E的方程为.（Ⅱ）证明：易知A（-2,0），B（2,0）.设，则，即，则，，即，∴为定值．【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了斜率的公式，考查了数学运算能力.第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司 22.为助力乡村振兴，某村决定建一果袋厂.经过市场调查，生产需投入年固定成本为2万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元）.在年产量不小于8万件时，（万元）.每件产品售价为6元.通过市场分析，该厂生产的果袋能当年全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入固定成本流动成本）（2）年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）年产量为10万件时，该厂所获利润最大，最大利润为15万元.【解析】【分析】（1）根据年利润年销售收入固定成本流动成本，分和两种情况得到的解析式即可；（2）当时，根据二次函数求最大值的方法来求最大值，当时，利用基本不等式来求最大值，最后综合即可．【小问1详解】因为每件产品售价为6元，则万件产品销售收入为万元，依题意得，当时，，当时，，所以.【小问2详解】当时，，此时，当时，取得最大值万元，第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司 当时，，此时，当且仅当，即时，取得最大值15万元.综上所述，由于，最大值为15万元.所以当年产量为10万件时，该厂所获利润最大，最大利润为15万元.第21页/共21页学科网（北京）股份有限公司