江苏省镇江第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学Word版含解析.docx

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高一年级12月学情调查数学试题一、单选题(本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合，则的子集个数为（）A.3B.4C.8D.162.命题“”的否定是（）A.B.C.D.3.若是幂函数，且在上单调递增，则的值为（）A.或3B.1或C.D.34.已知，则的大小关系为（）AB.C.D.5.已知为锐角，且，则（）A.B.C.D.6.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（ ）天.（参考数据：)A.70B.80C.90D.1007.已知是定义在上的奇函数,，对，且有，则关于的不等式的解集为（）A.B.C.D.8.设函数满足，且在上的值域为，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.二、多选题(本题共4小题,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.)9.下列选项正确的是（）A.B.C.若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为D.若是第一象限角，则是第一或第二象限角10.下列函数中，最小值为的是（）A.B.C.D.11.若函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（） AB.C.存在实数使得D.12.已知函数，则方程实数根的个数可以为（）A.4B.6C.7D.9三、填空题：（本题共4小题.)13.已知，则__________．14.函数在区间上单调递增，则实数取值范围是________15.已知一个函数解析式为，它的值域为，则这样的函数共有________个.16.若函数在的最大值为2，则的取值范围是_________.四、解答题(本题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.化简求值:（1）.（2）.18.已知是第二象限角，且____________.从下面三个条件中选一个解答;①②③（1）求和.（2），求的值. 19.已知函数.（1）求不等式的解集.（2）记，对，总使得成立，求实数的取值范围.20.已知函数:（1）讨论函数奇偶性.（2）若为偶函数，方程在上有实根，求实数的取值范围.21.2022年2月24日,俄乌爆发战争，至今战火未熄.2023年10月7日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色.某无人机企业原有200名科技人员，年人均工资万元，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名且，调整后研发人员的年人均工资增加，技术人员的年人均工资调整为万元.（1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人?（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资;②技术人员的年人均工资始终不减少.请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围;若不存在,说明理由.22.已知奇函数和偶函数满足：.（1）分别求出函数和的解析式.（2）若，对恒成立，求实数的取值范围.（3）若存在，对任意，都有成立，求实数的取值范围. 高一年级12月学情调查数学试题一、单选题(本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合，则的子集个数为（）A.3B.4C.8D.16【答案】C【解析】【分析】先确定出集合中元素个数，然后可求子集个数.【详解】因为，集合中有个元素，所以子集个数个，故选：C.2.命题“”的否定是（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据含一个量词的命题的否定方法：“修改量词，否定结论”，由此得到结果.【详解】根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，可知“”的否定为“”，故选：B.3.若是幂函数，且在上单调递增，则的值为（）A.或3B.1或C.D.3【答案】D【解析】 【分析】根据幂函数的性质即可求解.【详解】因为是幂函数，则，则或，当，，不符合题意，当，，则在区间上是单调递增函数，符合题意，则；故选：D.4.已知，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的单调性求解和求解三角函数和指数的值【详解】,,,因为，所以,所以.故选：A5.已知为锐角，且，则（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】先利用同角三角函数的基本关系求，再利用诱导公式把用来表示即可得到答案.【详解】因为为锐角，且，所以也是锐角，所以.，即.故选：C.6.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（）天.（参考数据：)A.70B.80C.90D.100【答案】B【解析】【分析】根据题意列方程，然后取对数求解.【详解】设天后当“进步”的值是“退步”的值的5倍，则，即，两边同时取对数，化简得，所以，即.故当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过80天.故选：B. 7.已知是定义在上的奇函数,，对，且有，则关于的不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，根据题意求得函数的性质，从而得解.【详解】依题意，令，则的定义域为，因为是定义在上的奇函数，所以，所以函数是定义在上的偶函数，因为对，且有，所以在上单调递增，所以当时，，当时，则有，所以，即，又，所以在上单调递增，因为是定义在上的偶函数，所以在上单调递减，因为，所以，所以由，得，则，所以，解得.故选：D.8.设函数满足，且在上的值域为，则实数的取值范围是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据条件将问题转化为在上的值域为，然后结合的图象分析出所满足的不等关系，由此求解出结果.【详解】因为在上的值域为，将问题转化为在上的值域为，且开口向上对称轴为，，如下图所示：由图象可知：，解得，故选：B.二、多选题(本题共4小题,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.)9.下列选项正确的是（）A.B.C.若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为D.若是第一象限角，则是第一或第二象限角 【答案】BC【解析】【分析】根据弧度、角度关系判断A；同角三角函数关系化简判断B；弧度表示角度，利用弧长公式求半径，再由扇形面积公式求面积判断C；根据已知求得，，即可判断D.【详解】A：，错；B：，对；C：由，则半径，扇形面积为，对；D：由题设，，则，，所以是第一或第二象限角或轴线角，错.故选：BC10.下列函数中，最小值为的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用基本不等式分析各选项的最值，注意“一正、二定、三相等”的判断，由此可得结果.【详解】对于A：因为，所以，当且仅当，即时取等号，故A正确；对于B：当时，，当且仅当，即时取等号，此时，当时，， 当且仅当，即时取等号，此时，故B错误；对于C：由条件可知，所以所以，当且仅当，即时取等号，故C正确；对于D：因为，当且仅当时取等号，此时，所以上式等号取不到，故D错误；故选：AC.11.若函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（）A.B.C.存在实数使得D.【答案】AC【解析】【分析】根据题意得，，从而结合各选项的要求和函数的性质逐项判断即可.【详解】函数图象上任意一点关于对称点为，所以，又可知.对于A：，即，故A正确；对于B：，即，故B错误；对于C：当时，，即，故C正确； 对于D：由知，即，解得，故D错误.故选：AC.12.已知函数，则方程实数根的个数可以为（）A.4B.6C.7D.9【答案】ACD【解析】【分析】设，分别讨论，，，或，方程的实数根个数，从而可得答案.【详解】设，则，则，画出函数的图象，①若时，方程没有实数根，②若时，方程有个实数根，或，当时，函数的图象与直线没有交点，当时，函数的图象与直线有4个交点，所以时，方程实数根的个数为.③若时，方程有个实数根，令，解得：或，由图象观察可知，，，，，函数的图象分别与直线有个交点，所以若时，方程实数根的个数为.④若时，函数有个实数根，则或或或， 函数的图象分别与直线有个交点，所以若时，方程实数根的个数为.⑤若时，方程有个实数根由图象观察可知，，，，函数的图象分别与直线有个交点，所以若时，方程实数根个数为.故选：ACD.【点睛】关键点晴：本题的关键在于令，将题意转化为方程的实数根个数，分类讨论的范围，画出函数的图象，结合图象求解.三、填空题：（本题共4小题.)13.已知，则__________．【答案】.【解析】【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系可求得式子的值．【详解】∵，∴.故答案为：.14.函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是________【答案】【解析】【分析】根据复合函数定义并结合对数的真数要大于，即可求解.【详解】由题意得在区间上单调递增， 因为在其定义域上是增函数，所以在区间上单调递增且，所以，解得.所以的取值范围为.故答案为：.15.已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有________个.【答案】9【解析】【分析】根据值域得的取值情况，列举可得答案.【详解】一个函数的解析式为，它的值域为，则必取，至少取一个，至少取一个，这样函数的定义域可为共9个，则这样的函数共有个.故答案为：.16.若函数在的最大值为2，则的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】根据必要性，最值定义以及二次函数图象对称轴位置分类讨论即可解出．【详解】设，，，因为函数在的最大值为2，，所以，解得：，当时，函数在上先递减再递增， 而，所以，，且，即函数在的最大值为2，符合题意；当时，函数在上递减，所以，而，所以函数在的最大值为2，符合题意，综上，．故答案为：四、解答题(本题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.化简求值:（1）.（2）.【答案】（1）15（2）0【解析】【分析】（1）根据分数指数幂的运算以及用诱导公式求特殊角的三角函数值，由此求解出结果；（2）根据对数的运算法则和性质求解出结果.【小问1详解】原式；【小问2详解】原式.18.已知是第二象限角，且____________.从下面三个条件中选一个解答; ①②③（1）求和.（2），求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）选择对应序号，然后用诱导公式求解出的值，再根据所在象限结合平方关系可求，则由商数关系可求；（2）先根据诱导公式化简，然后由化简结果可求的值.【小问1详解】若选①：已知得，且在第二象限，所以，所以，；若选②：已知得，且在第二象限，所以，所以，；若选③：已知得，且在第二象限，所以，所以，； 【小问2详解】因为，所以.19.已知函数.（1）求不等式的解集.（2）记，对，总使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用函数的定义域和单调性列不等式组即可得到答案；（2）由对数的运算性质得，又，总使得成立等价于值域值域，然后求的值域，并得，从而分离参数即可得到答案.【小问1详解】的定义域为，易知函数在上是增函数.由得，即，由函数的定义域和单调性可得，解得.故不等式的解集为.【小问2详解】(2)因为,对,总使得成立，等价于值域值域.函数的单调性可知，时，的值域为， 所以，即在恒成立，分离参数得，又易知与在均为减函数，所以的最大值为；的最小值为，所以.故实数的取值范围.20.已知函数:（1）讨论函数的奇偶性.（2）若为偶函数，方程在上有实根，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义求解即可；（2）当函数为偶函数时，，列出方程，利用换元法，结合指数函数和增函数的性质，可得实数的取值范围．小问1详解】由，则，当，即，即时，函数为偶函数，当，即，即时，函数为奇函数；当且，即时，函数为非奇非偶函数. 综上:当时，函数为偶函数；当时，函数为奇函数；当时，函数为非奇非偶函数.【小问2详解】当为偶函数时，，即，由方程，即，令，在单调递增，又是偶函数得，则因为方程在上有实根，则方程在上有实根，即有解，因为在上是增函数，所以，所以.21.2022年2月24日,俄乌爆发战争，至今战火未熄.2023年10月7日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色.某无人机企业原有200名科技人员，年人均工资万元，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名且，调整后研发人员的年人均工资增加，技术人员的年人均工资调整为万元.（1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人?（2） 为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资;②技术人员的年人均工资始终不减少.请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围;若不存在,说明理由.【答案】（1）100（2）存在，【解析】【分析】（1）由条件“调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资”建立不等关系可求解；（2）根据条件①②建立不等关系，假设存在实数转化为恒成立问题，由基本不等式及一次函数求最值可得结果.【小问1详解】依题意可得调整后研发人员的年人均工资为万元,则,整理得,解得,因为且,所以,故,所以要使这名研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员的年总工资,调整后的研发人员的人数最少为100人.【小问2详解】由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资，得,整理得;由条件②技术人员年人均工资不减少,得,解得假设存在这样的实数,使得技术人员在已知范围内调整后,满足以上两个条件,即恒成立，因为,当且仅当,即时等号成立,所以,又因为,当时,取得最大值11,所以 所以,即,即存在这样的满足条件,其范围为.22.已知奇函数和偶函数满足：.（1）分别求出函数和的解析式.（2）若，对恒成立，求实数的取值范围.（3）若存在，对任意，都有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）用替换条件等式中的得，与联立结合奇偶函数的性质即可得出答案；（2）令，由题意分离参数可得，再由基本不等式的性质即可得出答案；（3）由题意可得，令，则，即，再求的最小值，解不等式即可得出答案.【小问1详解】用替换条件等式中的得，因为为奇函数，为偶函数，所以，，所以，与联立可得:.【小问2详解】在上单调递增， ，即在恒成立.，令，则，即，整理得，当且仅当，即，即时，等号成立，所以.【小问3详解】由题意，令，因为与均在上单调递增，所以在上单调递增，所以，又因为对任意都有，当时，恒成立，满足题意；当时，察函数在递增，所以，即；当时，函数在上递减，所以，即；综上，实数的取值范围为.