福建省三明第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学Word版含解析.docx

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三明一中2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.1.若，，则下列结论正确的是（）A.B.CD.2.（）A.0B.C.D.13.已知幂函数图象过点，则的大致图象为（）A.B.C.D.4.若，且，则（）A.B.C.D.5.标准的围棋共行列,个格点，每个点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有 种不同的情况，而我国北宋学者括在他的著作《梦溪笔谈》中，也论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”，即，下列数据最接近的是（）A.B.C.D.6.“”是“函数在区间上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数在处取到最大值，则的值为（）A.B.C.D.8.已知函数若关于的方程恰有个不同的实数根,则实数的取值范围是（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列选项正确是（）A.B.C.经过4小时，时针转了D.若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为10.下列函数中最小值为2的是（）A.B.C.D. 11.已知函数，则（）A.B.在定义域上单调递增C.D.不等式的解集为12.下列选项中，正确的有（）A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“，”的否定是________.14.已知，，则________.15.已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则________；________.16.如果函数在其定义域内存在实数，使得（k为常数）成立，则称为“对k可拆分函数”.若为“对1的可拆分函数”，则a的取值范围是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设函数的定义域为，集合，记，，若是的，求实数的取值范围.从①充分不必要条件，②必要不充分条件，这两个条件中任选一个，补充在横线上，并给予解答. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.18.已知函数.（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）求在区间上的最大值和最小值.19.已知为定义在上的奇函数，且当时，.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最小值.20.已知，，，.（1）求；（2）求角21.（1）求证：；（2）当时，求函数的所有零点.22.已知函数，．（1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；（2）设函数，在区间上连续不断，证明：函数有且只有一个零点，且． 三明一中2023-2024学年上学期12月月考高一数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.1.若，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质可判断A，其余选项可用特殊值验证.【详解】因为，，由不等式的可加性可得，故A正确；当，，，时，，，，故B错误；当，，，时，，，，故C错误；当，，，时，，，，故D错误.故选：A2.（）A.0B.C.D.1【答案】C【解析】【分析】逆用两角差的正弦公式进行求解即可.【详解】，故选：C3.已知幂函数的图象过点，则的大致图象为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设，根据求出的值，可得出函数的解析式，可得出函数的定义域，可得出答案.【详解】因为函数为幂函数，设，则，可得，所以，，则，所以，函数的定义域为，A，C，D错.故选：B.4.若，且，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据同角三角函数基本关系及诱导公式、二倍角正弦公式求解.【详解】因为，，所以， 所以.故选：D5.标准的围棋共行列,个格点，每个点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况，而我国北宋学者括在他的著作《梦溪笔谈》中，也论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”，即，下列数据最接近的是（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合对数的运算，即可得到结果.【详解】由题意，对于，有，所以，分析选项B中与其最接近.故选：B6.“”是“函数在区间上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据复合函数的单调性,得结合集合的包含关系解题即可.【详解】由题知且设函数的对称轴为若函数在区间上单调递增, 则得所以“”是“函数在区间上单调递增”的必要不充分条件.故选：.7.已知函数在处取到最大值，则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】运用辅助角公式或逆用两角差的正弦公式化简后求出，再代入运用两角差的正弦公式即可求解.【详解】因为，其中，，又在处取到最大值，所以（），即（），则，，所以，故选：A．8.已知函数若关于的方程恰有个不同的实数根,则实数的取值范围是（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】根据分段函数的解析式,作出函数图像,令结合图像可得当取不同值时方程的个数,结合二次函数零点的分布求解.【详解】根据作出的大致图像,如下图所示.令,由图知当时,方程有两个根,分别为；当时,方程有个根；当时,方程有个根；当时,方程有个根.要使得方程恰有个不同的实数根,则有个不同的实数根,显然,不满足方程,舍去；设的两个根分别为且故当时满足题意,则得当时满足题意,则得综上所述,实数的取值范围是.故选：. 【点睛】本题考查函数的零点与方程的关系,转化,数形结合的思想方法,属中档题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列选项正确的是（）A.B.C.经过4小时，时针转了D.若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为【答案】BCD【解析】【分析】A.根据在第三象限判断；B.由角度制和弧度制公式求解判断；C.由时针按顺时针转，过1小时转求解判断；D.利用弧长公式求得半径，再利用扇形面积公式求解判断.【详解】A.因为在第三象限，所以，故错误；B.，故正确；C.时针按顺时针转所以是负角，过1小时转，所以经过4小时，时针转了，故正确；D.若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的半径为，该扇形的面积为，故正确；故选：BCD10.下列函数中最小值为2的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据指数、对数函数的性质可判断AB，利用反比例函数的性质可判断C，利用换元法可判断D.【详解】因为，，故A错误； 因为，所以，即最小值为2，故B正确；因，，所以，，即最大值为2，故C错误；令，则，所以，当，即时，的最小值为2，故D正确；故选：BD.11.已知函数，则（）A.B.在定义域上单调递增C.D.不等式的解集为【答案】AC【解析】【分析】根据正切函数的性质逐一判断即可.【详解】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，由，得，故函数的定义域为， 因为，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，即，则，解得，所以不等式的解集为，故D错误.故选：AC.12.下列选项中，正确的有（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据对数函数的性质判断A，根据对数的运算性质判断B，利用基本不等式及对数的运算性质判断C，根据对数的运算性质得到，再令，根据对勾函数的性质判断D.【详解】对于A：，故A正确；对于B：由于，，所以，则，故B正确；对于C：因为，又，所以，故C错误；对于D：， 令，由对勾函数的性质可知在上单调递减，因为，所以，即，即，故D正确；故选：ABD第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“，”的否定是________.【答案】，【解析】【分析】根据命题否定的性质即可得.【详解】命题“，”的否定为“，”.故答案为：，.14.已知，，则________.【答案】1【解析】【分析】借助指数幂的运算性质，计算即可.【详解】故答案为：1.15.已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则________；________.【答案】①.2②.【解析】【分析】先根据三角函数定义求出正切值，再利用诱导公式化简，得到齐次式，化弦为切，代入求值即可. 【详解】因为，由三角函数定义可知，.故答案为：2；-316.如果函数在其定义域内存在实数，使得（k为常数）成立，则称为“对k的可拆分函数”.若为“对1的可拆分函数”，则a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据题中条件建立方程，化简变形后可得，求得函数的值域即【详解】根据题意可知，必有，函数的定义域为,则在其定义域内存在实数，使，即，即，所以，则，又，则，，即， 故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设函数的定义域为，集合，记，，若是的，求实数的取值范围.从①充分不必要条件，②必要不充分条件，这两个条件中任选一个，补充在横线上，并给予解答.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析.【解析】【分析】由题中给定的条件关系，可判断两集合间的关系，由此可列不等式组求出的取值范围.【详解】选①，由解得，所以，因为，所以，，是的充分不必要条件，则Ü，从而，且等号不同时成立，解得.即实数的取值范围是；选②，由解得，所以，因为，所以， ，当是的必要不充分条件，则Ü，从而，且等号不同时成立，解得.即实数的取值范围是.18.已知函数.（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）求在区间上的最大值和最小值.【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期计算公式以及复合函数的单调区间求法，可得答案；（2）利用整体思想换元，结合一次函数以及正弦函数的单调性，可得答案.【小问1详解】的最小正周期为，令，因为的单调递减区间是，且由，解得，.所以函数的单调递减区间为，.【小问2详解】因为，所以， 所以当，即，时，，当，即，时，.19.已知为定义在上的奇函数，且当时，.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最小值.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性求得的解析式.（2）对进行分类讨论，根据二次函数的性质求得正确答案.【小问1详解】∵函数是定义在上的奇函数，∴，且，∴，设，则，∴，∴，所以.【小问2详解】依题意，，当时，，有，所以：①当时，， ②当时，.20.已知，，，.（1）求；（2）求角.【答案】（1）7（2）【解析】【分析】（1）两边平方得，从而求出，得到，联立求出正弦和余弦，得到正切值；（2）由题目条件得到，故，由同角三角函数关系求出，进而由求出正弦值，结合角的范围得到答案.小问1详解】①，两边平方得，所以，从而，因为，所以，故，，，所以，②联立①②解得，，故；【小问2详解】 因为，，，所以，由于在上单调递减，所以，其中，由（1）知，，而，与矛盾，舍去，，满足要求，故，所以，因为，所以21.（1）求证：；（2）当时，求函数的所有零点.【答案】（1）证明见解析；（2）和【解析】【分析】（1）根据两角和的余弦公式、二倍角公式等知识进行证明.（2）由列方程，通过解方程来求得正确答案.【详解】（1）证明：左边 =右边.所以，原式成立；（2）解：由（1）可得：，令，得或，因为，所以或.故当时，函数的零点为和.22.已知函数，．（1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；（2）设函数，在区间上连续不断，证明：函数有且只有一个零点，且．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求得，从而问题转化为当时， 恒成立，分、、进行解答即可；（2）对进行分类讨论，分为：和，利用零点存在定理结合函数的性质，即可求解.【小问1详解】，因为，恒成立，所以当时，恒成立，当时，成立，当时，成立，当时，在单调递减，则，即，综上所述，实数的取值范围为．【小问2详解】函数的图象在区间上连续不断．①当时，因为与在区间上单调递增，所以在区间上单调递增．因为，，所以，根据函数零点存在定理，存在，使得，所以在区间上有且只有一个零点；②当时，因为单调递增，所以，因为，所以，所以在区间上没有零点．综上，有且只有一个零点．因为，即， 所以，，因为在区间上单调递减，所以，所以．【点睛】关键点睛：第二问对进行分类讨论时，①当时，因为与在上单调递增，再结合零点存在定理，即可求解；②当时，恒成立，所以，在上没有零点；最后利用，得到，然后化简可求解.