重庆市第八中学2022-2023学年高二下学期期中数学Word版含解析.docx

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重庆八中2022-2023学年度高二年级（下）半期考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等比数列中，若，则（）A.6B.10C.12D.172.有3名男生和2名女生排成一排，女生相邻的不同排法有（）A.36种B.48种C.72种D.108种3.曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A.B.C.D.4.已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（）A.2B.3C.D.5.水库是我国防洪广泛采用的工程措施之一.已知某水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔下降到时，减少的水量约为（）A.B.C.D.6.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.7.已知等差数列的公差不等于0.其前n为项和为，若，，，则的最大值为（）A.18B.20C.22D.248.、是双曲线E：的左、右焦点，点M为双曲线E左支上一点，，的角平分线交x轴与点N，若，则双曲线E的离心率为（） A.B.C.D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.甲乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床的正品率是0.8，乙机床的正品率为0.9，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则（）A.两件都是次品的概率为0.02B.事件“至多有一件正品”与事件“至少有一件正品”是互斥事件C.恰有一件正品的概率为0.26D.事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件10.从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（）A.如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法B.如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法C.如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法D.如果4人中至少有一名女生，那么有195种不同的选法11.圆C：，直线，点P在圆C上，点Q在直线l上，则下列结论正确的有（）A.直线l与圆C相交B.的最小值是1C.若P到直线l的距离为2，则点P有2个D.从Q点向圆C引切线，则切线段的最小值是12.已知函数及点，则下列说法正确的是（）A.当时，过点P至多能作的一条切线B.当且时，过点P至少能作的一条切线C.当且时，过点P恰能作的两条切线D.当时，过点P恰能作的两条切线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标，在一批棉花中随机抽到50根棉花的纤维长度（单位：），按从小到大排序结果如下：2833505258606162828611314014314617017520220623323623826026326426529329429630130230330530632132332532834034334634835235535735358370380383385. 请你估算这批棉花的第90百分位数是____________.14.已知数列{}的前n项和为，通项公式为，则__________15.在我校运动会期间，为了各项赛事的顺利进行，学生会组织了5个志愿服务小组，前往3个比赛场地进行志愿服务.若每个场地至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个场地进行服务，并且甲小组不去比赛场地A，则不同的分配方法种数为_________.16.如图，四棱锥P-ABCD，ABCD是正方形，，是等边三角形，，且平面平面（则四棱锥外接球的表面积为__________.四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知公差不为0的等差数列，其前n项和为，且满足，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前n项和.18.已知函数的图像与直线相切，切点为（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）设，求在上的最大值和最小值.19.“学习强国”学习平台，是立足全党、面向社会的互联网学习载体，旨在推动马克思主义学习型政党、学习大国建设.某校为了考查教师们的学习效果，在全校随机抽取100名教师进行测试，并将成绩共分成五组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.已知第三、四、五组的人数成等差数列.且同时规定成绩小于85分为“良好”，成绩在85分及以上为“优秀”.（Ⅰ）根据样本频率分布直方图估计样本的众数；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“良好”和“优秀”的教师中共选出5人，再从这5人中选2人发表学习心得，那么这两人都“优秀”的概率是多少？ （Ⅲ）如果规定成绩得分从高到低排名在前18%的教师可以获得“学习之星”的称号，根据频率分布直方图估计成绩得到多少分才能获得“学习之星”的称号？20.在如图所示的试验装置中，ABCD是边长为1正方形框架，ABEF是矩形框架，，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在对角线AC，BF上移动，且，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当MN最小时，求平面AMN和BMN夹角余弦值.21.已知椭圆：的右焦点为F，直线交椭圆E于M，N两点，若，短轴的一个端点到直线l的距离是.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）已知的三个顶点都在椭圆上，坐标原点O是的重心，求证：的面积为定值.22.已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数有两个极值点，，求证：. 重庆八中2022——2023学年度（下）半期考试高二年级数学试题参考答案1.解：设的公比为q，因为，所以，解得，又，所以.故选：C.2.解：不同排法种数为种，故选：B.3.解：由题设，知处的切线的斜率为，而，，可得.故选：A.4.解：如图，抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，则抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值即为F到直线的距离.，故选：A.5.解：，，根据题意，增加的水量约为.故选：C.6.解：因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，而，当且仅当时 ，等号成立，所以，即，所以实数a的取值范围为.故选：D.7.设等差数列的公差为d，则，，，因，即，显然，否则，矛盾，于是得，又，否则，公差，矛盾，因此，，解得，而，则公差，，由，，于是有等差数列是递减数列，其前4项都是非负的，从第5项起为负，当或时，，所以的最大值为18.故选：A.8.解：因为，显然，所以又，N，三点共线，，所以，所以所以，即，所以又为的平分线，所以，设，，，∴，，，又，且，∴在中，由余弦定理可得：，所以，所以所以双曲线E的离心率，故选：C.9.解：根据题意，对于A，若取出的两件都是次品，其概率，A正确；对于B，事件“至多有一件正品”包含有两件次品、一件正品和一件次品：“至少有一件正品”包含有两件正品、一件正品和一件次品：故B中两个事件不是互斥事件，B错误；对于C，恰有一件正品，其概率，C正确； 对于D，事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件，D正确；故选：ACD.10.解：对于A，只从男生中选择4人，有种，故A错误，对于B，如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么在剩下的8人中任选2人，共有种选法，故B正确.对于C，如果4人中男生女生各有2人，则共有种，故C错误，对于D，从10人中任选4人，共有种选法，排除4名女生任选4人，有种选法，故4人中至少有一名女生的选法有种，故D正确，故选：BD.11.解：对于A，由圆C：，得圆C的标准方程为，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.故A错误；对于B：圆心到直线的距离，所以的最小值为.故B正确；对于C：设直线m与l平行，且m到l的距离为2.则可设，由，解得：或.当时，直线，圆心到直线的距离，所以直线m与圆C相交，有两个交点，且这两个点到直线l的距离为1.当时，直线，圆心到直线的距离，所以直线m与圆C相离，不合题意.综上所述，圆上到直线l的距离为2的点有且只有2个.故C正确对于D：过Q作QR与圆C相切于R，连结CR.则切线长要使切线长最小，只需最小.点Q到圆心C的最小值为圆心到直线的距离，由勾股定理得切线长的最小值为，故D正确.故选：BCD.12.解：由，得， 设切点为，则切线的斜率为，所以有整理得，令，，，令，则，所以在上递增，因为，所以时，，当时，.①当时，，所以在上单调递增，所以函数至多有一个零点，所以至多可作一条切线，故选项A正确；②当时，当时，，则递减，当时，，则递增，若，即时，有两个零点，所以恰能作两条切线；若，即时，有一个零点，所以恰能作一条切线；若，即时，无零点，所以可作0条切线；故B错误；③当时，当时，，则递增，当时，，则递减，当时，，则递增.若或，即或，有两个零点，所以恰能作两条切线；④当时，当时，，则递增，当时，，则递减，当时，， 则递增若或，即或，有两个零点，所以恰能作两条切线：由③④得CD正确；故选：ACD.13.解：因为，第90百分位数为第45个数和第46个数的平均数，即为.答案为357.5.14..故答案为：202415.解：5人分成3组有两种方案：“”、“”共有种方法，3组分配到3个场地，甲小组不去比赛场地A，有2种方法：根据乘法原理不同的分配方法数为：.故答案为：100.16.解：设平面平面，取AD，BC中点E，F，连接PE，PF，EF，因为，平面PAD，平面PAD，所以平面PAD，又因为平面PBC，平面平面，所以.因为，，所以，，所以为二面角的平面角，由题知平面，所以，由，，可得.过点P作平面ABCD的垂线PH，交EF与点H，则，.过正方形ABCD的中心Q作平面ABCD的垂线m，设球心为O.则球心O在直线m上，设.①当球心O在锥体内时，由几何知识可知：，方程无解；②当球心O在锥体外时，由几何知识可知：，解得，所以球的半径，所以表面积.17.（Ⅰ）根据题意得，解得（舍）或，故. 所以.（Ⅱ），故.18.解：（Ⅰ），根据题意得.（Ⅱ），.或；.所以在单调递增，在单调递减，在上单调递增.，.19.（Ⅰ）根据样本频率分布直方图估计样本的众数为：.（Ⅱ）“良好”的教师频率为，“优秀”教师频率为，由分层抽样可得“良好”的教师有人，“优秀”的教师有.将三名“优秀”教师分别记为A，B，C，两名“良好”的教师分别记为a，b，则这5人中选2人的基本事件有：AB，AC，BC，Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab，共10种，其中这两人都“优秀”包含的基本事件有：AB，AC，BC共3种，所以这两人都“优秀”的概率.（Ⅲ）由第三、四、五组的人数成等差数列得，化简整理可得，①.由频率分布直方图的性质可知，②，由①②可得，.第五组人数频率为，第四、五组人数的频率为，故成绩得分从高到低排名在18%的教师分数在第四组，设至少得x分能进入面试，则，解得，即根据频率分布直方图估计成绩至少得到93（分）才能直接进入复试.20.解；（1）法一：连结AN并延长，交BE于点K，则M，N，C，K四点共面 ∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵M，N，C，K四点共面，∴，∵平面BCE，平面BCE，∴平面BCE.法二：以点B为原点，分别以，，为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，，，，.∴，，∴，，∴，因为平面BCE，所以是平面BCE的一个法向量，.∴.∵平面BCE，∴平面BCE.（Ⅱ）以点B为原点，分别以，，为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，，，，.∴，，∴，，∴，，当时，的值最小.此时，∴，，故，，，，设平面BMN的法向量为，平面AMN的法向量为，可取；可取；.21.解：（Ⅰ）设椭圆的左焦点为，则，∵， ∴，∴，由点到直线l的距离为得，故椭圆E方程为：.（Ⅱ）当直线BC的斜率不存在时，设直线BC的方程为，设，则，因为O为的重心，所以，所以，∴，，所以，当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为，设，，由，得，由题意可知，，，，因为O为的重心，，，所以，由A在椭圆上得，化简得，则，满足，所以.因为点A到直线BC的距离d等于O到直线BC距离的3倍，所以，所以，综上所得，的面积为定值.22.解：（Ⅰ），令，当时，，在单调递增：当时，对称轴是，故在单调递增，故在单调递增，所以，所以，即在单调递增；.. 当时，（i）若即时，即，故在单调递减；（ii）若即时，有两个根，且满足，，故设，即，，当时，，当时，，故的单调递增区间是，单调减区间是和.综上所述，当时，即在单调递增；当时，的单调递增区间是，单调减区间是是和.（其中，）；当时，在单调递减：（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当且仅当时，有两个极值点，，，故∵∵，.∴，∴.构造函数，则，故在单调递减，因为，所以，故，因为，所以， ∴.