四川省内江市第六中学2023-2024学年高二上学期第2次月考数学题 Word版含解析.docx

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内江六中高二（上）期第2次月考（创新班）数学试题考试时间：120分钟试卷满分：150分一、单选题（满分40分，每小题5分）1.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据方程可得斜率，进而可得倾斜角.【详解】由直线，可得，即其斜率，设直线的倾斜角为，则，，故选：D.2.如图所示，已知正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的面积为（）A.1B.C.D.8【答案】C【解析】【分析】根据斜二测画法还原图形，结合图形可解.【详解】根据斜二测画法还原得下图，因为，所以 所以原图形的面积故选：C3.已知是两个不同的平面，的一个充要条件是（）A.内有无数条直线平行于B.存在平面C.存在平面，且D.存在直线【答案】D【解析】【分析】通过举反例说明A，B，C错误，根据线面垂直证明面面平行即可判断D正确．【详解】对于A，由于内有无数条直线平行于，不一定得到，与也可能相交，如图所示，故A错误；对于B，若存在平面，不一定得到，与也可能相交，如图所示，故B错误；对于C，存在平面，且，不一定得到，与也可能相交，如图所示，故C错误； 对于D，存在直线，由垂直于同一直线的两个平面互相平行，可得，故D正确；故选：D．4.的展开式中，的系数为（）A.200B.40C.120D.80【答案】B【解析】【分析】根据二项式定理先求通项，再根据项进行分别求系数，最后求和.【详解】，而展开式的通项为，所以当时，的系数为，当时，的系数为，所以的系数为，故选：B5.已知是函数的一个极值点，其中a为实数，则在区间上的最大值为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】求得，根据题意求得，进而得出函数的单调区间和极大值，结合，即可求得函数的最大值，得到答案.【详解】由函数，可得，因为是函数的一个极值点，所以，解得，则，其中， 当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得极大值，极大值为，又因为，所以函数在上的最大值为.故选：C.6.，是直线上的两点，若沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后、两点间的距离是（）A.6B.C.D.【答案】A【解析】【分析】作轴于点，作轴于点，将用表示，再根据数量积的运算律结合向量的模的计算公式计算即可.【详解】因为，是直线上的两点，所以，，如图为折叠后的图形，作轴于点，作轴于点，则异面直线，所成的角为，即、的夹角为，，，，，则， 即折叠后、两点间的距离为.故选：A.7.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，过P作的垂线交x轴于点A，若，记椭圆的离心率为e，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得，从而可求得，根据勾股定理求出，根据椭圆的定义及离心率公式即可求解.【详解】因为，,所以,可得.在中，.由椭圆的定义可得，故，所以，所以.故选:A.8.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是.接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.求满足如下条件的最小整数，.且该数列的前项和为2的整数幂.那么是（）A.83B.87C.91D.95【答案】D【解析】 【分析】根据题意进行分组，然后分组求和即可.【详解】根据题意将数列分组，第一组为第一项是，第二组为为第二项和第三项是，，依次类推，第组为，，，…，第组含有项，所以第组的和为：，前组内一共含有的项数为：，所以前组内的项数和为：，若该数列的前项和为2的整数幂.，只需将消去即可；若，则，，不满足；若，则，，不满足；若，则，，满足；故满足如条件的最小整数为95.故选：D二、多选题（满分20分，每小题5分，选对但不全得2分，有错得0分，全对得5分）9.已知向量，，则下列结论中正确的是（）A.若，则B.若，则C.不存在实数，使得D.若，则【答案】AC【解析】【分析】对于A，根据即可算出值；对于B，根据计算；对于C，根据 计算即可；对于D，根据求出，从而可计算出.【详解】对于A，因为，所以，解得，故A正确；对于B，因为，所以，所以，故B错误；对于C，假设，则，所以，该方程组无解，故C正确；对于D，因为，所以，解得，所以，，所以，故D错误.故选：AC.10.已知数列的前项和，则（）A.不是等差数列B.C.数列等差数列D.【答案】BC【解析】【分析】根据即可求出数列的通项，再根据等差数列的定义和前项和公式逐一判断即可.【详解】由，当时，，当时，，当时，上式也成立，所以，故B正确；因为，所以是等差数列，故A错误；对于C，， 因为，所以数列是等差数列，故C正确；对于D，令，则，所以当时，，当时，，故，故D错误.故选：BC.11.已知，，，的外接圆为，则（）A.点的坐标为B.的面积是C.点在外D.直线与相切【答案】BC【解析】【分析】根据垂直平分线计算交点得到圆心为，再计算半径为，得到圆方程，再依次判断每个选项得到答案.【详解】，的垂直平分线的斜率满足：，，的中点为，故垂直平分线方程为；同理可得，的垂直平分线方程为：，，两条垂直平分线的交点为：，故圆心为，，圆方程为.对选项A：点的坐标为，错误；对选项B：的面积是，正确；对选项C：，正确；对选项D：到直线的距离，相交，错误.故选：BC 12.已知函数，则（）A.有两个极值点B.有三个零点C.点是曲线的对称中心D.直线是曲线的切线【答案】AC【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：AC. 三、填空题（满分20分，每小题5分）13.已知一个正方体的个顶点都在一个球面上，则球的表面积与这个正方体的全面积之比为_____________.【答案】【解析】【分析】根据正方体的对角线是球的直径以及球的表面积公式可得结果.【详解】设正方体棱长为，依题意得正方体的对角线是球的直径，所以球的半径为，表面积为，正方体的全面积为，所以球的表面积与这个正方体的全面积之比为.故答案为：.14.从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，则其中奇数的个数为____________．【答案】84【解析】【分析】根据题意，分从0，2，4中选出的数字没有0和有0，利用排列和组合结合分类计数原理求解.【详解】解：由题意，分2类讨论：第一类是从0，2，4中选出的数字没有0，则从2，4中任取2个数字有种方法，从1，3，5中任取2个数字有种方法，则组成没有重复数字的四位奇数有个，第二类是从0，2，4中选出的数字有0，则从2，4中任取1个数字有种方法，从1，3，5中任取2个数字有种方法，则组成没有重复数字的四位奇数有个，则共有个符合条件的奇数，故答案为：84 15.抛物线的焦点为，直线与C交于A，B两点，则的值为______.【答案】或【解析】【分析】先求得A，B两点的坐标，再利用抛物线定义求得的值，进而求得的值.【详解】抛物线的焦点，准线为，由，整理得，解之得或，则或则或，则或故答案为：或16.已知函数有三个不同的零点，则整数的取值可以是_________．【答案】2，（大于等于2的整数即可，答案不唯一）【解析】【分析】根据函数零点个数可转化成方程的根的个数，构造函数并在同一坐标系内画出函数与的图象，使两图象有三个交点求出的取值范围即可得出结果.【详解】当时，，显然不满足题意；当时，令可得，令，则，易知当时，；当或时，；因此函数在上单调递增，在，上单调递减； 可得的极小值为，极大值为；作出函数的图象如下图所示：若函数有三个不同的零点，即与在同一坐标系内有三个不同的交点，由图可知，解得；又因为取整数，且，所以整数的取值可以是2.故答案为：2（大于等于2整数即可，答案不唯一）四、解答题（满分70分）17.如图，已知平面平面，四边形是矩形，，点，分别是，的中点.（1）若点为线段中点，求证：平面；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）连结交于，连结，，，证明四边形是平行四边形，则为的中点，进而有，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）根据面面垂直的性质可得面，则，再证明，即可得证. 【小问1详解】连结交于，连结，，，因为四边形是矩形，所以，且，又，分别为的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以为的中点，又因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；【小问2详解】在矩形中，，因为平面平面，平面平面，平面，所以面，因为平面，所以，因为，点是的中点，所以，又因为平面，所以平面.18.已知圆C：（1）求圆的圆心和半径；（2）求经过点的圆C的切线方程；（3）求直线l：被圆C截得的弦长.【答案】（1）圆心，半径（2）或（3）【解析】 【分析】（1）将圆的方程化为标准方程即可；（2）分切线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式计算即可；（3）利用圆的弦长公式求解即可.【小问1详解】将圆C的方程化为标准方程得，故圆的圆心，半径；【小问2详解】当切线的斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离等于，故符合题意，当切线的斜率存在时，设方程为，即，则有，解得，所以切线方程为，综上所述，切线方程为或；【小问3详解】圆心到直线l：的距离，所以直线l：被圆C截得的弦长为.19.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，E是棱PA的中点.（1）求证：平面BDE；（2）求平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，证明即可；（2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】连接交于点，连接，因为四边形为正方形，所以为的中点，又因E是棱PA的中点，所以，又平面，平面，所以平面BDE；【小问2详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则有，可取，因为平面ABCD，所以即为平面的一条法向量，则，所以平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值为.【点睛】 20.已知是递增的等比数列，其前项和为，满足．（1）求通项公式及；（2）若，求的最小值．【答案】（1）；.（2）【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式以及求和的定义，建立方程，求得公比，可得答案；（2）根据对数的性质，可得答案.【小问1详解】设等比数列的公比为，由数列是递增数列，则，由，则，，由，整理可得，则，解得，易知，.【小问2详解】由（1）可得：，整理可得，，，故的最小值为.21.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）已知m，n是正整数，且，证明．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，令导数为0，结合定义域对进行讨论即可；（2）两边取对数，整理后，构造函数，证明为上的减函数，即可求解. 【小问1详解】函数的定义域为，，①当时，在上恒成立，的减区间为，无增区间；②当时，令，解得，令，解得，所以的增区间为，减区间为．综上，当时，的减区间为，无增区间；当时，的增区间为，减区间为．【小问2详解】两边同时取对数，证明不等式成立等价于证明，即证明，构造函数，令，由（1）知，当时，在上为减函数，故，所以，所以为上的减函数，因为，知，即，即．22.已知双曲线，斜率为k的直线l过点M.（1）若，且直线l与双曲线C只有一个交点，求k的值；（2）已知点，直线l与双曲线C有两个不同的交点A，B，直线的斜率分别为，若为定值，求实数m的值.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）设直线，联立双曲线方程得，讨论、 ，分别求直线与双曲线只有一个交点情况下对应k值；（2）设直线，，联立双曲线并应用韦达定理，结合，韦达定理代入化简，根据定值列方程组求得参数m.【小问1详解】由题设，设直线，联立双曲线，得，所以，当，即时，直线与双曲线只有一个交点，当，交点为；当，交点为；当，此时，则，当，切点为；当，切点为；综上，或.【小问2详解】由题设直线，联立双曲线方程，得，则，故，所以①，设，则，， 由又，，为定值，所以，此时为定值.