四川省广元中学2021-2022学年高二下学期入学考试理科数学 Word版含解析.docx

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广元中学高2020级高二下学期入学考试数学试题（理工类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第II卷3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上均无效．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知两直线与，则与间的距离为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】把直线的方程化简，再利用平行线间距离公式直接计算得解.【详解】直线的方程化为：，显然，，所以与间的距离为.故选：B2.运行下图所示的程序框图，如果输入的，则输出的 A.6B.7C.63D.64【答案】A【解析】【分析】根据题中所给的框图，模拟执行程序框图，求得结果.【详解】输入，且不是奇数，赋值，且不是奇数，赋值，且是奇数，赋值，且不是奇数，赋值，且不是奇数，赋值，赋值，输出6.故选：A【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有计算程序框图的输出结果，属于简单题目.3.已知x，y满足，则的最小值为（）A.B.2C.26D.【答案】B【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，再借助几何意义计算即可作答. 【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影，其中，，，目标函数表示及内部的动点P与定点的距离平方，观察图象知，当动点P在线段上，且时，线段PM长最小，又点到直线的距离，则，所以的最小值为2.故选：B.4.已知，是空间中两条不同的直线，，是空间中两个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若，，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，则【答案】A【解析】【分析】根据空间直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可；【详解】对于A：若，，则，又，则，故A正确. 对于B：若，，则或，故B不正确.对于C：若，则，又，则或，故C不正确.对于D：若，，则或或，故D不正确.故选：A5.将3名教师，3名学生分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和1名学生组成，若教师A与学生B要安排在同一地点，则不同的安排方案共有（）A.72种B.36种C.24种D.12种【答案】D【解析】【分析】利用排列数运算即可求解.【详解】由题意可知，教师A与学生B要安排在同一地点，则剩下的4人：2名教师，2名学生，可组成种，再与教师A与学生B这一组全排列，所以共有12种，故选：D.6.若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为A.0.18B.0.32C.0.36D.0.64【答案】C【解析】【分析】利用面积型几何概型求解即可【详解】设305路车和202路车的进站时间分别为、，设所有基本事件为,“进站时间的间隔不超过2分钟”为事件，则,画出不等式表示的区域如图中阴影区域，则，则.选. 【点睛】本题考查几何概型，考查不等式组表示的区域，准确转化题意是列不等式组是关键，是中档题7.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧AB的中点，则异面直线PA与BC所成角的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】【分析】利用三角形的中位线，可得为异面直线PA与BC所成的角，再由题条件可得是正三角形，即求.【详解】如图，设底面的圆心为O，分别取AC，PC的中点D，E，连接PO，CO，OD，OE，DE，因为是等腰直角三角形，，设圆锥的底面圆半径，则，，则且， 又且，而且，所以为异面直线PA与BC所成的角，在中，因为E为PC的中点，所以，所以是正三角形，即异面直线PA与BC所成的角为.故选：C.8.给出下列四个说法：①命题“，都有”的否定是“，使得”；②已知a、，命题“若，则”的逆否命题是真命题；③是的必要不充分条件；④方程表示的直线恒过定点其中正确的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定可判断出命题①的真假；根据原命题的真假可判断出命题②的真假；解出不等式，利用充分必要性判断出命题③的真假；结合直线方程的点斜式判断命题④的正误.【详解】对于命题①，命题“，都有”的否定是“，使得”；命题①为假命题；对于命题②，由a、，，可得，所以原命题为真命题，根据原命题和其逆否命题真假相同的结论可得，其逆否命题为真命题，命题②为真命题；对于命题③，解不等式，得或，所以，是的充分不必要条件，命题③为假命题；对于命题④，方程可化为，所以该直线恒过定点，命题④为真命题.故选：C. 9.过点引直线与曲线相交于A、两点，为坐标原点，当的面积取得最大值时，直线的斜率等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系，用的代数式表示，再利用基本不等式求出最大值即可.【详解】设直线方程：，如图所示：曲线表示圆心为，半径为的半圆，则原点到直线的距离，,，当且仅当，即时，有最大值.此时，，此时直线斜率，由图可知，当时，直线与半圆无交点，所以.故选：B. 10.在正三棱锥中，，P到平面ABC的距离为2，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由正棱锥以及等体积法得出的长，再由正方体的外接球的半径得出该三棱锥外接球的半径，进而得出所求外接球的表面积.【详解】因为，由正三棱锥的性质知，PA，PB，PC两两垂直且相等.设，则.根据，得，解得.设三棱锥外接球的半径为，则，所以.故所求外接球的表面积为.故选：A.11.已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是AB.[,]C.D.）【答案】D【解析】【分析】由题意结合几何性质可知点P轨迹方程为，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k的不等式即可求得实数k的取值范围. 【详解】圆C（2,0），半径r＝，设P（x，y），因为两切线，如下图，PA⊥PB，由切线性质定理，知：PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四边形PACB为正方形，所以，｜PC｜＝2，则：，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.直线过定点（0，－2），直线方程即，只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即：，解得：，即实数的取值范围是）.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.正方体的棱长为，、、分别为、、的中点．则其中正确的个数是（）①直线与直线不垂直；②直线与平面平行；③平面截正方体所得的截面面积为；④点与点到平面的距离相等.A.个B.个C.个D.个 【答案】C【解析】【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项.【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、、、、，对于①，，，所以，，直线与直线不垂直，①对；对于②，设平面的法向量为，，，则，取，可得，，所以，，因为平面，所以，平面，②对；对于③，连接、，则，所以，，故、、、四点共面，即平面截正方体的截面为梯形， ，，，所以，，所以，，同理可得，因此截面面积为，③对；对于④，，则点到平面的距离为，，则点到平面的距离为，则，④错.因此，正确命题的个数为.故选：C.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知命题：若，则；命题，，在命题：①；②；③；④中，真命题的序号为______．【答案】②③【解析】【分析】先根据条件判断出命题和命题的真假，再根据复合命题真假的判断方法，逐一对各个命题分析判断即可得出结果.【详解】因为，所以，当，有，故命题为真命题，为假命题，又由性质知，，而，故命题为假命题，为真命题，所以根据复合命题真假的判断知，为假命题，为真命题，为真命题，为假命题，故答案为：②③. 14.若一个两位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美两位数”，如数字“73”．在所有的“完美两位数”中随机地选取两个不同的数，其和等于110的概率为______．【答案】【解析】【分析】根据“完美两位数”定义列出所有“完美两位数”，结合组合数求出随机地选取两个不同的数的取法，结合古典概型概率公式，求事件其和等于110的概率.【详解】由“完美两位数”定义可得“完美两位数”有：，从“完美两位数”中随机地选取两个不同的数，有种取法，其中和等于110的取法有，所以事件和等于110的概率，故答案为：.15.已知圆与直线相切于点，点在圆内，且过的最短弦所在直线的方程为，则圆的标准方程为__________．【答案】##【解析】【分析】由圆心在过且与直线垂直的直线上，可设出圆心坐标，由圆心到切点的距离等于圆心到切线的距离可求得圆心坐标，得半径，从而得圆标准方程．【详解】过且与直线垂直的直线方程设为．由得，所以圆心在直线，设圆心坐标为，则，解得，所以圆心坐标为，半径为，圆标准方程为．故答案为：． 16.若是圆上两个动点，且，到直线的距离分别为，则的最大值是______．【答案】6【解析】【分析】利用条件求得弦中点的轨迹方程，从而将转化成圆上点到直线的距离，再结合圆的几何性质，即可求得的最大值.【详解】如图，圆的圆心为，半径为，因为，所以，得到，又，所以，设是的中点，则，设，则，即的轨迹为单位圆，又原点到直线的距离为，所以圆上的点到直线的距离满足，即，又到直线的距离分别为，，易知所以，所以的最大值是.故答案为：.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知的三个顶点坐标分别为、、. （1）求边上的高所在直线方程；（2）若满足，求过点且与平行的直线方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程得解；（2）设，由求出，即得解.【小问1详解】由、，可知直线BC的斜率，故，又，故的边上的高所在直线方程为，即为；【小问2详解】设，由，可知，即，解得，即，与平行的直线设为，代入点，解得，故方程为，即.18.某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取2000名人员进行调查，统计他们每周利用“学习强国”学习的时长，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．（1）试估计被抽查人员利用“学习强国”学习的平均时长和中位数．（2）宣传部为了解大家利用“学习强国”学习的具体情况，准备采用分层随机抽样的方法从学习时长在和内的人中选取50 人了解情况，则应从两组中各选取多少人？再利用分层随机抽样从选取的50人中选5人参加一个座谈会，现从参加座谈会的5人中随机选取2人发言，求学习时长在内的人中至少有1人发言的概率．【答案】（1）平均时长为6.8，中位数为（2）【解析】【分析】（1）根据频率直方图可求得平均数和中位数；（2）先利用频率求得应从学习时长在和内的人中分别选取的人数，再运用列举法和古典概率公式计算即可.【小问1详解】解：设被抽查人员利用“学习强国”学习的平均时长为，中位数为，则，，解得，所以估计被抽查人员利用“学习强国”学习的平均时长为6.8，中位数为．【小问2详解】解：学习时长在内的人数为，设选取的人数为．学习时长在内的人数为，设选取的人数为．则，解得，，所以应从学习时长在和内的人中分别选取30人和20人．若再从这50人中选取5人，则从学习时长在内的人中选取3人，标记为，，，从学习时长在内的人中选取2人，标记为，．现从这5人中随机选取2人，则样本空间，共包含10个样本点，其中事件“从学习时长在内的人中至少选取1人”包含7个样本点．故学习时长在内的人中至少有1人发言的概率为． 19.已知正项等比数列的前项和为，满足，．记．（1）求数列，的通项公式；（2）设数列前项和，求．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用条件直接求等比数列的公比，从而求出数列的通项公式，再根据条件可求出数列的通项公式；（2）利用错位相减法即可求出结果.【小问1详解】设正项等比数列的公比为，因为当时，，即，则有，即，而，解得，又，则，，所以数列，的通项公式分别为：，．【小问2详解】由（1）知，，则，则，两式相减得：整理得． 20.如图，在四边形中，，，.（1）求；（2）若，求周长的最大值.【答案】（1）（2）12【解析】【分析】（1）在中，利用正弦定理可求得结果；（2）在中，由余弦定理可求得，在中，，设，由余弦定理得，即，利用基本不等式求得，进而求出周长的最大值.【小问1详解】在中，，且利用正弦定理得：，又为钝角，为锐角，【小问2详解】 在中，由余弦定理得故解得：或（舍去）在中，，设由余弦定理得，即整理得：，又利用基本不等式得：，即，即，当且仅当时，等号成立，即，所以所以周长的最大值为1221.在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，为中点.（1）求证：平面平面；（2）若平面平面，且二面角的余弦值为，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】(1)连接，证明，，推出平面，得到平面，然后证明平面平面．(2)以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的法向量，利用数量积取得数量积求解二面角的余弦函数值，然后求解 ，即可求解四棱锥的体积．【小问1详解】连接，菱形中，，为等边三角形，又为中点，，又，则，又，平面，又，平面，又平面，平面平面．【小问2详解】平面平面，且交线为，，平面，平面，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，则,0,，,0,，，则，，设平面的一个法向量为,,，则，即，可取，又平面的法向量可取，1，，由题意得，解得，即，又菱形的面积为，四棱锥的体积为． 22.在平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆交于点，与圆交于点．（1）若直线斜率为2，求弦长；（2）若的中点为E，求面积的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意设出直线的方程，利用圆的弦长公式即可得解；（2）当直线的斜率不存在时，求得的面积；当直线的斜率存在时，当和时，结合二次函数的性质，分别求得的面积的取值范围，即可得到结论.【详解】（1）直线斜率为2，则直线方程为所以点到直线的距离，（2）当直线的斜率不存在时，的面积； 当直线的斜率存在时，设为，则直线，当时，直线的方程为，经过圆心，此时不存在，舍去；当时，直线，由得，所以．因，所以．因为E点到直线的距离即M点到直线的距离，所以的面积．令，则，所以，因为，所以，所以，综上可得，面积取值范围是.【点睛】易错点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式，垂径定理求弦长，三角形面积的最值，在设直线方程时一定要先考虑斜率可能不存在的情况，着重考查学生的推理与运算能力，与分类讨论思想，属于中档试题.