四川省仪陇中学校2022-2023学年高一下学期第一次月考（4月）数学Word版含解析.docx

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仪陇中学2022-2023学年度高一下期第一次月考数学试卷满分：150分考试时间：120分钟第I卷（选择题）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合，再求.【详解】.因为，所以.故选：D2.的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式及特殊三角函数值求解即可.【详解】.故选：C.3.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，注意到是否定结论，而不是否定条件，所以命题，的否定是，,故选：B4.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分别利用指数函数、对数函数、三角函数单调性，限定的取值范围即可得出结论.【详解】根据对数函数在定义域内为单调递增可知，即；由三角函数单调性可知；利用指数函数为单调递增可得；所以.故选：C5.如图，梯形中，，且，对角线相交于点，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】由已知可得、，再根据、求即可.【详解】由题设知：，得，即，又，∴由，可得.故选：B6.函数在区间上的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由奇偶性排除AC；由的解判断BD.【详解】令，，即函数为偶函数，图象关于轴对称，故AC错误；令，即，解得，即该函数在区间上由5个零点，故B正确，D错误；故选：B7.已知第二象限角满足，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】由诱导公式和同角三角函数的基本关系求出，再由两角和的正弦公式代入化简所求表达式可得，即可得出答案.【详解】因为，且为第二象限角，所以，于是.故选：D.8.设函数，方程恰有5个实数解，则正实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】当时，得到.若方程恰有5个实数解，只需函数在区间上恰好有5个，使得，从而确定在上恰有5条对称轴．结合正弦函数的图象可建立求解即可.【详解】当时，，因为函数在区间上恰好有5个，使得，故在上恰有5条对称轴．令，则在上恰有5条对称轴，如图： 所以，解得．故选：B．二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列选项正确的是（）A.B.C.若终边上有一点，则D.若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为【答案】BC【解析】【分析】利用诱导公式判断A，根据弧度与角度的关系判断B，根据三角形函数的定义判断C，由扇形的弧长与面积公式判断D.【详解】对于A：，故A错；对于B：，故B正确；对于C：若终边上有一点，则，故C正确；对于D：若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的半径，所以扇形的面积，故D不正确.故选：BC 10.若函数与函数在上的单调性相同，则的一个值为（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据函数单调性列出不等式求出的取值范围即可求解.【详解】因为，所以，所以根据余弦函数的性质可得函数在上的单调递减，由于函数与函数在上的单调性相同，所以函数在上单调递减，所以解得，当时，，B满足，当时，，C满足，故选:BC.11.已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立，则（）A.函数是R上的减函数B.函数是奇函数C.若，则的解集为D.函数()+为偶函数【答案】ABC【解析】【分析】利用单调性定义结合可判断A；利用特殊值求出，从而证明可判断B，根据条件求出，进而利用单调性解不等式可判断C，利用奇偶性的定义可判断D. 【详解】设，且，，则，而，又当时，恒成立，即，，函数是R上的减函数，A正确；由，令可得，解得，令可得，即，而，，而函数的定义域为R，故函数是奇函数，B正确；令可得，解得，因为函数是奇函数，所以，由，可得，因为函数是R上的减函数，所以，C正确；令，易知定义域为R，因为，显然不恒成立，所以不是偶函数，D错误.故选：ABC.12.的内角、、的对边分别为、、，则下列命题正确的是（）．A.若，则是的垂心B.若，则直线必过的外心C.若，则为直角三角形D.若，则角最大值为【答案】ACD 【解析】【分析】推导出，同理可得，，可判断A选项；利用设，，则，以、为邻边作平行四边形，利用菱形的几何性质可判断B选项；由可得，利用平面向量垂直的数量积表示可判断C选项；分析可知，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值，结合角的取值范围可判断D选项.【详解】对于A选项，由题意可得，所以，，同理可得，，故为的垂心，A对；对于B选项，设，，则，以、为邻边作平行四边形，则平行四边形为菱形，则，所以，，又因为平分，故必经过的内心，B错；对于C选项，由可得，整理可得，即，故为直角三角形，C对；对于D选项，，则， 所以，，即，当且仅当时，等号成立，又因为，故，即角的最大值为，D对.故选：ACD.第II卷（非选择题）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13______．【答案】【解析】【分析】根据诱导公式、倍角公式运算求解.【详解】由题意可得：.故答案为：.14.已知，，且与不共线，若，则____.【答案】【解析】【分析】根据两个向量垂直，则它们的数量积为零列方程，解方程求得的值.【详解】因为，所以，又因为，，所以【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查两个向量垂直的表示，考查方程的思想，所以基础题.15.已知关于x的函数与的图象有2个交点，则的取值范围是___________.【答案】或【解析】 【分析】先分析并作出两函数的图像，结合图像可得或，从而得解.【详解】对于函数，当时，，显然在上单调递增；当时，，显然在上单调递减；当时，，函数，显然的图象开口向下，且与轴交于点，，作出与的图像如下，结合图像可知当点在点和点之间时，与的图象有个交点，当时，，解得；当时，，解得；综上所述，的取值范围是：或.故答案为：或.16.设a为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则a的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】根据奇函数的性质，结合基本不等式分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，，由，当时，，当且仅当时取等号，即时取等号，要想恒成立，只需成立，则有，或，解得，或，当时，由奇函数的性质可知，所以要想，综上所述：a取值范围为，故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知与的夹角为．（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求，再根据运算法则展开计算即可；（2）先计算，再平方，进而开方即可.【小问1详解】因为所以 【小问2详解】因为，所以所以.18.如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点、，已知点的坐标为．（1）求的值；（2）已知，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函数的定义首先求得的值，然后结合二倍角公式和同角三角函数基本关系化简求解三角函数式的值即可；（2）由题意可得，然后利用诱导公式求出，分别求出的值，然后再利用两角和的正切公式即可得解.【小问1详解】由三角函数定义得，，∴原式 【小问2详解】由，得，，，所以，∴．19.已知函数．（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）求在上的最值及取最值时相应的值．【答案】（1），单调递增区间为，（2）时，最小值为；时，最大值为【解析】【分析】（1）使用三角恒等变换将化简后求解即可；（2）由正弦（型）函数的性质进行求解即可.【小问1详解】由已知， ，∴的最小正周期，由，，解得，，∴的单调递增区间为，.【小问2详解】由（1）知，，当时，，∴由正弦函数的性质知当，即时，取最小值，最小值为，当，即时，取最大值，最大值为.20.已知点G为的重心．（1）求；（2）过G作直线与AB、AC两条边分别交于点M、N，设，，求的值．【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）根据已知得出与三边所在向量关系，即可根据向量的运算得出答案；（2）根据已知得出，结合，，根据M、N、G三点共线，结合向量运算与向量相等的定义列式整理，即可得出答案.【小问1详解】点G为的重心， ，，，，【小问2详解】点G为的重心，，，，，，，，与共线，存在实数，使得，则，根据向量相等的定义可得，消去可得，两边同除，整理得.21.某城市2023年1月1日的空气质量指数（简称AQI））与时间x（单位：小时）的关系满足下图连续曲线，并测得当天AQI的最大值为103．当时，曲线是二次函数图像的部分；当时，曲线是函数图像的一部分．根据规定，空气质量指数AQI 的值大于或等于100时，空气就属于污染状态．（1）求当时，函数的表达式；（2）该城市2023年1月1日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由．【答案】（1）（2），理由见详解【解析】【分析】（1）根据图象结合二次函数运算求解；（2）由（1）可得，分类讨论解不等式即可得结果.【小问1详解】当时，有图像可得：二次函数开口向下，顶点坐标为，且过，可设，代入点可得，解得，故当时，.【小问2详解】由（1）可得：，当时，令，解得；当时，令，解得；综上所述：当时，空气属于污染状态. 22.已知函数，其中a为常数.（1）若对，恒成立，求实数a的取值范围；（2）若方程在内有且只有三个互异实数解，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）参变分离得到对恒成立，由函数单调性和基本不等式求出和的最值，得到实数的取值范围；（2）解法一：换元后得到，问题等价于且；或且；或且，分三种情况数形结合得到实数a的取值范围；解法二：换元后得到，问题等价于且；或且；或且，先考虑和，再考虑，，得到实数的取值范围.【小问1详解】，恒成立，即对恒成立，因为在上单调递增，所以，今，由基本不等式可知，当且仅当时取等号，所以，所以，即实数的取值范围是.【小问2详解】 解法一：今，则方程即，设，是方程的两根，则方程在内有且只有三个实数解等价于且；或且；或且今，对称轴为，且，①当且时，，解得；②当且时，，解得；③当且时，与相矛盾，不合题意；综上，实数的取值范围为.解法二：今，则方程即，设，是方程的两根，令.若，则，，当时，有一个实数解，有两个实数解，则方程在有两个实数解；若，则，，当时，有一个实数解，有一个实数解，则方程在有两个实数解，不合题意；此外，要使方程在有三个实数解，只需，， 则，解得；综上，实数的取值范围为.