山东省新高考质量检测联盟2024届高三第一次质量检测数学（A） Word版含解析.docx

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2024届高三第一次质量检测数学试题(A)一、单项选择题：（本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1.若曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（）A.B.C.D.1【答案】A【解析】【分析】运用导数几何意义及导数公式求得切线的斜率，结合两直线垂直进而求得a的值.【详解】由题设，知处的切线的斜率为，又因为，所以，解得.故选：A.2.甲､乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动，活动结束后，站成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一个学校两名志愿者不相邻，则不同的站法种数有（）A.36B.72C.144D.288【答案】B【解析】【分析】先求出第一排有2人来自甲校，1人来自乙校，根据分步乘法计数原理求出不同的站法种数.同理可得，第一排有2人来自乙校，1人来自甲校，不同的站法种数.然后根据分类加法计数原理，相加即可得出答案.【详解】第一排有2人来自甲校，1人来自乙校：第一步，从甲校选出2人，有种选择方式；第二步，2人站在两边的站法种数有；第三步，从乙校选出1人，有种选择方式；第四步，第二排甲校剩余的1人站中间，乙校剩余的2人站在两边的站法种数有.根据分步乘法计数原理可知，不同的站法种数有. 同理可得，第一排有2人来自乙校，1人来自甲校，不同的站法种数有.根据分类加法计数原理可知，不同的站法种数有.故选：B.3.设，则（）A.84B.56C.36D.28【答案】A【解析】【分析】根据给定的展开式特征，列出的表达式，再利用组合数性质计算作答.【详解】依题意，.故选：A4.某医院对10名入院人员进行新冠病毒感染筛查，若采用单管检验需检验10次；若采用10合一混管检验，检验结果为阴性则只要检验1次，如果检验结果为阳性，就要再全部进行单管检验．记10合一混管检验次数为，当时，10名人员均为阴性的概率为（）A.0.01B.0.02C.0.1D.0.2【答案】C【解析】【分析】依据题意写出随机变量的的分布列，利用期望的公式即可求解.【详解】设10人全部为阴性的概率为，混有阳性的概率为，若全部阴性，需要检测1次，若混有阳性，需要检测11次，则随机变量的分布列，解得，故选：C.5.某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5 组数据，作如图所示的散点图．若去掉后，下列说法正确的是（）A.相关系数r变小B.决定系数变小C.残差平方和变大D.解释变量x与预报变量y的相关性变强【答案】D【解析】【分析】从图中分析得到去掉后，回归效果更好，再由相关系数，决定系数，残差平方和和相关性的概念和性质作出判断即可．【详解】从图中可以看出较其他点，偏离直线远，故去掉后，回归效果更好，对于A，相关系数越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉后，相关系数r变大，故A错误；对于B，决定系数越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉后，决定系数变大，故B错误；对于C，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉后，残差平方和变小，故C错误；对于D，若去掉后，解释变量x与预报变量y的相关性变强，且是正相关，故D正确．故选：D．6.已知事件满足，，则（）A.若，则B.若与互斥，则C.若与相互独立，则D.若，则与不相互独立【答案】B【解析】 【分析】根据事件的包含关系，互斥事件的概率加法，以及独立事件的概念及判定，以及概率乘法公式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A，若，则，所以A错误；对于B，若与互斥，则，所以B正确；对于C，若与相互独立，可得与相互独立，所以，所以C错误；对于D，由，可得，所以，所以，所以与相互独立，所以D错误.故选：B.7.某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，击中奇数次为事件，则（）A.若，则取最大值时B.当时，取得最小值C.当时，随着的增大而增大D.当时，随着的增大而减小【答案】C【解析】【分析】对于A，根据直接写出，然后根据取最大值列式计算即可判断；对于B，根据，直接写出即可判断；对于CD，由题意把表示出来，然后利用单调性分析即可.【详解】对于选项A，在次射击中击中目标的次数，当时对应的概率，因为取最大值，所以， 即，即，解得，因为且，所以，即时概率最大．故A不正确；对于选项B，，当时，取得最大值，故B不正确；对于选项C、D，，，，当时，为正项且单调递增的数列，所以随着的增大而增大，故C正确；当时，，为正负交替的摆动数列，所以不会随着的增大而减小，故D不正确；故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查二项分布及其应用，其中求是难点，关键是能找到其与二项展开式之间的联系.8.已知函数，，若存在，使得成立，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题设知，研究的单调性及最值，画出函数图象，数形结合确定、的交点个数得，进而将目标式化为且，构造函数研究最小值即可. 【详解】由题设，即，由，则上，递减；上，递增；，且，图象如下：由图知：时，，即且，所以，令且，则，时，，递减；时，，递增；所以，即的最小值为.故选：A【点睛】关键点睛：利用同构得到，导数研究的性质，结合得到为关键.二、多项选择题：（本大题共4小题；每小题4分，共16分．每小题有多个选项符合题目求．全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分）9.“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据，则（）喜欢天宫课堂不喜欢天宫课堂男生8020女生7030参考公式及数据：①，.②当时， .A.从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为B.用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为C.根据小概率值的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联D.对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，则参加测试的学生成绩的均值为85【答案】BC【解析】【分析】根据古典概型的概率公式判断A，首先求出样本中喜欢天宫课堂的频率，再根据独立重复试验的概率公式判断B，计算出卡方，即可判断C，根据平均公式判断D.【详解】对于A：从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率，故A错误；对于B：样本中喜欢天宫课堂的频率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率，故B正确；对于C：因为，所以根据小概率值的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联，故C正确；对于D：抽取的喜欢天宫课堂的学生男、女生人数分别为、，又男生的平均成绩为，女生的平均成绩为，所以参加测试的学生成绩的均值为，故D错误；故选：BC10.随机变量的分布列如表：其中，下列说法正确的是（）012P A.B.C.有最大值D.随y的增大而减小【答案】ABC【解析】【分析】利用分布列的性质以及期望与方差公式，列出表达式，结合二次函数的性质判断选项的正误即可．【详解】由题意可知，即，故A正确；，故B正确；，因为，，易得，而开口向下，对称轴为，所以在上单调递增，在上单调递减，故在处取得最大值，所以随着y的增大先增大后减小，当时取得最大值，故C正确，D错误.故选：ABC.11.设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，记事件A＝“从甲袋中任取1球是红球”，记事件B＝“从乙袋中任取2球全是白球”，则（）A.事件A与事件B相互独立B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】由古典概型概率计算公式，以及条件概率公式分项求解判断即可.【详解】现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球可知： 从甲袋中任取1球对乙袋中任取2球有影响，事件A与事件B不是相互独立关系，故A错误；从甲袋中任取1球是红球的概率为：，从甲袋中任取1球是白球的概率为：，所以乙袋中任取2球全是白球的概率为：，故B错误；，所以，故C正确；，故D正确.故选：CD12.已知，则（）A.对于任意的实数，存在，使得与有互相平行的切线B.对于给定的实数，存在，使得成立C.在上的最小值为0，则的最大值为D.存在，使得对于任意恒成立【答案】ABC【解析】【分析】对于A，对两函数求导，再求出导函数的值域，由两值域的关系分析判断，对于B，由可得，从而可判断，对于C，令，再由可得，由题意设为的极小值点，然后列方程表示出，从而可用表示，再构造函数，利用导数可证得结论，对于D，根据函数值的变化情况分析判断.【详解】对于A，，当时，， 当时，，综上，，所以对于任意的实数，存在，使与有交集，所以对于任意的实数，存在，使得与有互相平行的切线，所以A正确，对于B，由于给定的实数，当给定时，则为定值，由，得，，所以存在使上式成立，所以B正确，对于C，令，而，由题意可知，当时，恒成立，所以，所以，即，若在上递增，因为在上的最小值为0，所以，得，所以，则在上恒成立，即在上恒成立，令，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以， 若在上不单调，因为在上的最小值为0，所以设为的极小值点，则，解得，所以令，则由，得，或，解得，或（舍去），或（舍去），或，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以，综上，所以C正确，对于D，，当时，，所以D错误，故选：ABC【点睛】 关键点点睛：此题考导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，对于选项C解题的关键是由题意设为的极小值点，则，求出，则可表示出再构造函数，利用导数可得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.某学校门口现有2辆共享电动单车，8辆共享自行车.现从中一次性随机租用3辆，则恰好有2辆共享自行车被租用的概率为__________.【答案】【解析】【分析】根据古典概型列式结合组合数计算求解概率即可.【详解】恰好有2辆共享自行车被租用的概率为故答案为:.14.若，则____.【答案】【解析】【分析】观察已知条件，通过求导赋值构造出式子计算即可.【详解】已知，对式子两边同时求导，得，令，得.故答案为：24015.某校高二学生的一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率_________．（结果用分数表示）附参考数据：，.【答案】【解析】 【分析】利用正态分布性质和条件概率公式求解即可.【详解】由题知，事件为“记该同学的成绩”，因为，，所以，又，所以.故答案为：16.若，则实数最大值为______.【答案】【解析】【分析】二次求导，结合隐零点得到方程与不等式，变形后得到，从而，，代入，得到的最大值.【详解】，定义域为，则，令，则，在上单调递增，且时，当时，使得即当时，当时，故在上单调递减，在上单调递增，所以②，由得①，即，代入②得，， 整理得，∴，∴，，故的最大值为3.故答案为：3【点睛】隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y（单位：）与父亲身高x（单位：）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：父亲身高160170175185190儿子身高170174175180186（1）根据表中数据，求出关于的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？（2）记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差.求（1）中儿子身高的残差的和､并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由.参考数据及公式： .【答案】（1），时，儿子比父亲高；时，儿子比父亲矮，儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势.（2）0；任意具有线性相关关系的变量，证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知求得回归方程的系数，即可得回归方程，解不等式可得到结论；（2）结合题中数据进行计算，可求得儿子身高残差的和，从而可得结论，结合回归方程系数的计算公式即可证明.小问1详解】由题意得，，，所以回归直线方程为，令得，即时，儿子比父亲高；令得，即时，儿子比父亲矮，可得当父亲身高较高时，儿子平均身高要矮于父亲，即儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势.【小问2详解】由可得，所以，又，所以，结论：对任意具有线性相关关系的变量， 证明：.18.已知函数，其中．（1）讨论方程实数解的个数；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）由即方程有没有解的问题，转化为函数与轴有没有交点问题，分类讨论即可得出结果.（2）不等式可化为：，就、分类讨论后可得参数的取值范围.【小问1详解】由可得，，令，令，可得，当，函数单调递减，当，函数单调递增，所以函数在时取得最小值，所以当时，方程无实数解，当时，方程有一个实数解，当时，，故，而，，设，则，故在上为增函数，故，故有两个零点即方程有两个实数解. 【小问2详解】由题意可知，不等式可化为，，即当时，恒成立，所以，即，令，则在上单调递增，而，当即时，在上单调递增，故，由题设可得，设，则该函数在上为减函数，而，故.当即时，因为，故在上有且只有一个零点，当时，，而时，，故在上为减函数，在上为增函数，故，而，故，故因为，故，故符合，综上所述，实数的取值范围为．【点睛】 关键点睛：本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数应用以及分类讨论思想、转化思想，考查函数恒成立问题，属于中档题.19.已知甲箱、乙箱均有6件产品，其中甲箱中有4件正品，2件次品；乙箱中有3件正品，3件次品．（1）现从甲箱中随机抽取两件产品放入乙箱，再从乙箱中随机抽取一件产品，求从乙箱中抽取的这件产品恰好是次品的概率；（2）现需要通过检测将甲箱中的次品找出来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到能将次品全部找出时检测结束，已知每检测一件产品需要费用15元，设表示能找出甲箱中的所有次品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列与数学期望．【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）由全概率公式计算从乙箱中抽取的这件产品恰好是次品的概率；（2）计算所有可能取值的概率，进而列出分布列，计算期望.【小问1详解】设“从甲箱中抽取的两件产品均为正品”，“从甲箱中抽取的两件产品为一件正品，一件次品”，“从甲箱中抽取的两件产品均为次品”，“从乙箱中抽取的一件产品为次品”，由全概率公式，得．【小问2详解】的所有可能取值为30，45，60，75．则；；；．所以的分布列为 30456075的数学期望（元）．20.已知函数有三个零点.（1）求的取值范围；（2）设函数的三个零点由小到大依次是.证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据分类讨论研究函数的单调性，确定零点个数，构造函数，研究函数值的符号即可得到导函数的符号，即可求出原函数的单调区间，从而确定零点个数；（2）把原函数有三个零点转化为有三个根，构造，求导研究函数单调性，结合根的分布得，要证，等价于证，等价于，构造函数从而证明，即证，构造函数，利用导数单调性即可证明.【小问1详解】因为定义域为，又，（ⅰ）当单调递减；（ⅱ）当，记，则，当；当，所以在单调递增，在上单调递减，，又，所以， ①当，则单调递减，至多一个零点，与题设矛盾；②当，由（ⅱ）知，有两个零点，记两零点为，且，则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，因为，令，则，所以，所以，且趋近0，趋近于正无穷大，趋近正无穷大，趋近负无穷大，所以函数有三零点，综上所述，；【小问2详解】等价于，即，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，由（1）可得，则，所以，所以，则满足，，要证，等价于证，易知，令，则，令得，令得，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 下面证明，由，即证，即证，即证，即证，令，，令，则，所以，所以，则，所以，所以，所以，所以，所以原命题得证.【点睛】利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.21.5G网络是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.已知某精密设备制造企业加工5G零件，根据长期检测结果，得知该5G零件设备生产线的产品质量指标值服从正态分布.现从该企业生产的正品中随机抽取100件､测得产品质量指标值的样本数据统计如图.根据大量的产品检测数据，质量指标值样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值.已知质量指标值不低于70的样品数为25件. 附：，，.（1）求（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）若质量指标值在内的产品称为优等品，求该企业生产的产品为优等品的概率；（3）已知该企业的5G生产线的质量控制系统由个控制单元组成，每个控制单元正常工作的概率为，各个控制单元之间相互独立，当至少一半以上控制单元正常工作时，该生产线正常运行生产.若再增加1个控制单元，试分析该生产线正常运行概率是否增加？并说明理由.【答案】（1）（2）（3）质量控制系统有奇数个控制单元，增加1个控制单元设备正常工作的概率变小；质量控制系统有偶数个控制单元，增加1个控制单元设备正常工作的概率变大.答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意求出，再由频率分布直方图中频率之和为1求，计算均值即可；（2）由产品质量指标值，根据正态分布曲线的对称性求解即可；（3）分原控制单元的个数为偶数、奇数两类情况分别讨论，分别计算增加一个控制单元后正常工作概率，作差比较即可得解.【小问1详解】因为质量指标值不低于70的样品数为25件，所以所以，因为，所以，.由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取100件的平均数为：.【小问2详解】由题意知， 样本方差，故，所以产品质量指标值，优等品的概率【小问3详解】假设质量控制系统有奇数个控制单元，设，记该生产线正常运行的概率为，若再增加1个控制单元，则第一类：原系统中至少有个控制单元正常工作，其正常运行概率为；第二类：原系统中恰好有个控制单元正常工作，新增1个控制单元正常工作，其正常运行概率为；所以增加一个控制单元正常运行的概率为即，因为，所以，即增加1个控制单元设备正常工作的概率变小；·假设质量控制系统有偶数个控制单元，设，记该生产线正常运行的概率为，若增加1个元件，则第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其正常运行概率为；第二类：原系统中恰好有个控制单元正常工作，新增1个控制单元正常工作，其正常运行概率为；所以增加一个控制单元正常运行的概率为，即 因为，所以，即增加1个控制单元设备正常工作的概率变大.22.已知函数，其中．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）若存在两个极值点的取值范围为，求的取值范围．【答案】（1）（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；（2）求导后，分类讨论，根据导数的符号可得结果；（3）根据存在两个极值点可得，且，根据单调性可得，将化为，利用比值代换可求出结果.【小问1详解】当时，，定义域为，所以，所以，又，所以函数在处的切线方程为，即.【小问2详解】的定义域是，，，令，则． ①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增．②当，即时，由，得或；由，得，所以在和上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减【小问3详解】由（2）当时，在上单调递增，此时函数无极值；当时，有两个极值点，即方程有两个正根，所以，则在上是减函数．所以，因为，所以 ，令，则，，所以在上单调递减，又，且，所以，由，又在上单调递减，所以且，所以实数的取值范围为．【点睛】方法点睛：涉及到双变量的问题一般可以利用比值代换处理，本题中，将化为后，设，化为关于的函数，再利用导数进行处理.