安徽省滁州市定远县育才学校2022-2023学年高二上学期期末数学 Word版含解析.docx

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定远育才学校2022-2023学年高二第一学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列命题正确的是（）A.若与共线，与共线，则与共线B.向量，，共面，即它们所在的直线共面C.若∥，则存在唯一的实数λ，使=λD.零向量是模为0，方向任意的向量【答案】D【解析】【分析】假设为零向量，可判断选项A；根据向量的特征，可判断选项B；根据向量共线定理，可判断选项C；根据零向量定义，可判断选项D.【详解】由于零向量与任意向量共线，所以若为零向量，则与关系不确定，A错；因为向量是可以平行移动的，因此向量共面时，它们所在的直线不一定共面，B错；共线向量定理中，当不是零向量时，才存在唯一的实数λ，使=λ，否则λ可能不存在，C错；根据零向量的定义可知，零向量的模为0，方向是任意的，D显然正确.故选：D.2.已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（　　）A.B. C.D.【答案】D【解析】【分析】运用向量的线性运算即可求得结果．【详解】因为，，，所以.故选：D.3.已知空间向量，，且，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直得，即可求出的值.【详解】.故选：B.4.已知，，动点P在直线上，当取最小值时，点P的坐标为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用两点之间线段最短，先求点关于直线对称的点，可得，当A、P、三点共线时,可得答案.【详解】点B关于直线对称的点为．,当且仅当当A、P、三点共线时，等号成立．此时取最小值，直线的方程为， 即，令，得．所以点P的坐标为：故选:A．【点睛】本题主要考查了解析几何中的最值问题，利用几何意义和平面几何中的常用结论，非常巧妙，属于中档题.5.直线过圆的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求圆心坐标，由垂直可得斜率，然后根据点斜式可得.【详解】由可知圆心为，又因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，由点斜式得直线，化简得直线的方程是．故选：D．6.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过点F作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】由题意画出图形，可得，再由结合离心率公式求解．【详解】如图，由题意可得，，即，则，∴，即．故选：D．7.动点分别与两定点，连线斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的最小值为（）A.4B.8C.D.12【答案】B【解析】【分析】求出轨迹方程，根据椭圆的定义，可得，当经过点时，最短.【详解】设动点的坐标为，则整理后得：，动点的轨迹为椭圆，左焦点为，右焦点为，，如下图所示，当经过点时，最短，此时 故选：B8.已知双曲线的右顶点为，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的面积为（）A.B.1C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出点A的坐标，设出过点A的直线方程，然后利用点到直线的距离公式列方程求出直线方程，从而可求出的面积【详解】双曲线的右顶点为，设过点的直线方程为，因为直线与圆相切，所以，解得或，不妨设直线与圆交于由，得解得，得，同理可得所以的面积为，故选：A二、多选题（本大题共4小题，共20分．在每小题有多项符合题目要求）9.已知正方体的棱长为，下列四个结论中正确的是（） A.直线与直线所成的角为B.直线与平面所成角的余弦值为C.平面D.点到平面的距离为【答案】ABC【解析】【分析】如图建立空间直角坐标系，求出和的坐标，由可判断A；证明，可得，，由线面垂直的判定定理可判断C；计算的值可得线面角的正弦值，再由同角三角函数基本关系求出夹角的余弦值可判断B；利用向量求出点到平面的距离可判断D，进而可得正确选项.【详解】如图以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，对于A：，，因为，所以，即，直线与直线所成的角为，故选项A正确；对于C：因为，，，所以，，所以，，因为，所以平面，故选项C正确；对于B：由选项C知：平面，所以平面的一个法向量，因为 ，所以，即直线与平面所成角的正弦值为，所以直线与平面所成角的余弦值为，故选项B正确；对于D：因为，平面的一个法向量，所以点到平面的距离为，故选项D不正确故选：ABC.10.下列选项正确的是（  ）A.过点且和直线平行的直线方程是B.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件C.若直线与平行，则与的距离为D.直线的倾斜角的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】由直线的点斜式方程可判断A，由两直线垂直对应的斜率关系可判断B，由两平行线的距离公式可判断C，由斜率和倾斜角的关系可判断D.【详解】对于A，直线的斜率为，所以过点且和直线平行的直线方程为，即，A正确；对于B，时，直线的斜率，直线的斜率，满足 ，所以两直线垂直，而当时，直线也与直线垂直，故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，B错误；对于C，直线与平行，则，则直线与的距离为，C正确；对于D，直线的斜率，即，所以，D正确.故选：ACD11.已知椭圆的左､右焦点为､，点为椭圆上的点不在轴上），则下列选项中正确的是（）A.椭圆的长轴长为B.椭圆的离心率C.△的周长为D.的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】根据椭圆的方程，求出，，，判断A，B，C的正误，对于D，设出，表示出的解析式，求出其范围，判断正误即可.【详解】椭圆，，椭圆的长轴长为，故A正确， 椭圆的离心率，故B错误，的周长为：，故C正确，设，则，且，故，又，则，故，故的取值范围是，故D正确，故选：ACD.12.已知直线l与抛物线（）交于A，B两点，，，则下列说法正确的是（）A.若点D的坐标为，则B.直线过定点C.D点轨迹方程为（原点除外）D.设与x轴交于点M，则的面积最大时，直线的斜率为1【答案】ABC【解析】【分析】对于A由条件求出直线方程，利用设而不求法结合条件求出，判断A，对于BCD，设直线的方程为，利用设而不求法证明，由此判断B，再由，求出D点的轨迹方程，判断C，结合D点的轨迹方程确定的面积最大时，直线的斜率，判断D.【详解】，由知直线方程为，联立， 消去x有，设，，则，由，∴，故A正确；对选项BCD，可设直线：，代入有，则，由，故直线的方程为，所以直线过定点，即，故B正确；由，得D在以为直径的圆：上运动（原点除外），故C正确；当时，面积最大，此时，有，故D错误.故选：ABC.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.，，则，的夹角为___________.【答案】##【解析】【分析】直接根据向量夹角公式的坐标表示求解即可.【详解】解：因为，，所以，因为，所以故答案为：##14.已知的顶点，的平分线所在的直线方程为，边的高所在的直线方程为，则直线的方程为______．【答案】【解析】 【分析】根据题意得所在直线方程为，进而得，再求解点关于直线对称的点的坐标即可得直线的方程.【详解】解：因为边的高所在的直线方程为，所以，，边所在直线方程为，因为的平分线所在的直线方程为，所以，，解得，即.因为，的平分线所在的直线方程为，所以，点关于直线对称的点在直线上，所以，解得，即所以，直线的方程为故答案为：15.已知圆，若圆与圆关于直线对称，且与直线交于、两点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】先根据直线的对称性得圆得方程为：，再根据直线过定点，且在圆内得当直线与过点和的直线垂直时，有最小值，当直线过圆心时，有最大值，最后计算即可得答案.【详解】解：由圆得圆心，半径，设圆的圆心为，因为圆与圆关于直线对称， 所以有，整理得，解得：，所以圆得方程为：，将直线方程变形为：，所以直线过定点，易知其在圆内，所以当直线与过点和的直线垂直时，有最小值，此时最小值为：，显然当直线过圆心时，弦有最大值，所以的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查点关于线的对称性问题，圆的弦长的取值范围问题，考查化归转化思想和数学运算能力，是中档题.16.设、分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且，，若，则椭圆的标准方程为___________.【答案】【解析】【分析】根据椭圆的定义、勾股定理以及已知条件可求得、的值，由此可求得所求椭圆的标准方程.【详解】，，，又，.由椭圆定义可知，，，，因此，所求椭圆的标准方程为. 故答案为：.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知向量，.（1）求的值；（2）求向量与夹角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解；（2）根据向量夹角的坐标表示计算即可得解.【小问1详解】∵，，∴，，∴；【小问2详解】设与的夹角为，则，，，，，∴，∴向量与夹角的余弦值为.18.在四棱锥中，是等边三角形，底面是直角梯形，，，是线段的中点，底面，已知. （1）求二面角的正弦值；（2）试在平面上找一点，使得平面.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）为坐标原点，建立空间直角坐标系，即可得到各点的坐标及平面的法向量为，并求得，进而求出平面的法向量为，即可求出，最后求出二面角的正弦值.（2）设，根据平面法向量定义得，即，,再利用建立方程求得，，进而求得点的坐标.【小问1详解】因为底面，过作，则，以为坐标原点，方向为轴的正半轴，方向为轴的正半轴，方向为轴的正半轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，，解得，又平面的法向量为， 所以，所以.即所求二面角的正弦值为.【小问2详解】设点的坐标为，因为平面，所以，即，也即，，又，，，所以，所以得，，即，，，所以，所以点的坐标为.19.已知点A，B分别是直线和直线上的点，点P为的中点，设点P的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过点的直线与曲线C，x轴分别交于点M，N，若点D为的中点，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】 【分析】（1）设点，，，得到，，根据题意得的，，两式相加，即可求解；（2）设，，得到，解得，，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】（1）设点，，，因为点P为的中点，可得，，又由，，两式相加，可得，所以，即，所以曲线C的方程为.（2）根据题意，设，，因为点为的中点，所以，解得，，即，所以直线的方程为，整理得，即直线的方程.20.已知点M(3，1)，圆O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4.（1）若直线ax﹣y+4=0与圆O1相交于A，B两点，且弦AB的长为，求a的值；（2）求过点M的圆O1的切线方程.【答案】（1）；（2）x=3或3x﹣4y﹣5=0.【解析】【分析】（1）由直线与圆的位置关系可得圆心到直线ax﹣y+4=0的距离d，结合点到直线的距离公式可得d=，解可得a的值，即可得答案；（2）根据题意，分切线的斜率是否存在2种情况讨论，分别求出切线的方程，综合即可得答案.【详解】（1）根据题意，圆O1：(x﹣1)2+(y﹣2)2=4，圆心(1，2)，半径r=2，若弦AB的长为，则圆心到直线ax﹣y+4=0的距离d=， 又由圆心为(1，2)，直线ax﹣y+4=0，则有d=，解得；（2）根据题意，分2种情况讨论：当切线斜率不存在时，其方程为x=3，与圆相切，符合条件，当切线斜率存在时，设其方程为y﹣1=k(x﹣3)，圆心到它的距离，解得，切线方程为3x﹣4y﹣5=0，所以过点M的圆的切线方程为x=3或3x﹣4y﹣5=0.【点睛】本题考查直线与圆相交性质，涉及弦长的计算，属于基础题.21.已知椭圆的焦点在轴上，且过点，焦距为，设为椭圆上的一点，、是该椭圆的两个焦点，若，求：（1）椭圆的标准方程（2）的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】设出椭圆的标准方程，利用待定系数法求出椭圆方程；利用椭圆定义以及余弦定理、面积公式求得结果.【小问1详解】设椭圆的标准方程为，由已知得解得，，，故椭圆的标准方程为． 【小问2详解】如图，由椭圆的定义可得，由余弦定理可得，整理得，又，所以，故．22.如图平面直角坐标系中，直角三角形，，，、在轴上且关于原点对称，在边上，，的周长为，若双曲线以、为焦点，且经过、两点．.（1）求双曲线的渐近线方程；（2）若一过点（m为非零常数）的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且，问在x轴上是否存在定点G，使？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1） （2）存在，定点【解析】【分析】（1）设出双曲线方程，由双曲线定义和题干条件得到，，，，求出，，由此能求出双曲线的方程，从而求出其渐近线方程．（2）设在x轴上存在定点，直线的方程为，由，得，由得到，两式联立得，联立直线方程和，得到两根之和，两根之积，代入中，求出，从而求出定点的坐标.【小问1详解】解：设双曲线的方程为，则，，．由，得，即.由双曲线定义可知：①，因为的周长为，所以②，解得，，因为，所以，即，解得，，．双曲线的方程为，则双曲线的渐近线方程为．【小问2详解】解：设在轴上存在定点，使．因为直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点，所以直线的斜率不为， 设直线的方程为，，．由，得．即①，，，．即②．把①代入②，得③，把代入，并整理得，其中且，即且．所以，．代入③得，化简得．当时，上式恒成立．因此，在轴上存在定点，使．