安徽省安庆市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学 Word版含解析.docx

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安庆一中2021-2022学年度高二第二学期期中考试数学试题满分：150考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.甲、乙、丙、丁四位同学报名参加自由式滑雪，速度滑冰，单板滑雪三个项目，每人只报其中一个项目，则有（）种不同的报名方案．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据分布乘法计数原理直接得出结果.【详解】每人均有3种选择，根据分步计数原理可得选法总数为.故选：C2.某司机看见前方处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车的过程中，汽车速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】紧急刹车速度慢慢减小到零，而速度减小的速率越来越小.【详解】根据题意，司机进行紧急刹车，速度减少到零的过程中，速度减小的速率越来越小.故选：A【点睛】此题考查实际问题的函数表示，关键在于弄清速度关于时间的函数关系，变化过程.3.今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过天后是（） A星期一B.星期二C.星期三D.星期四【答案】C【解析】【分析】结合二项式展开式，求得正确答案.【详解】由已知可得：即8100除以7后余数为1，因为经过7天后还是星期二，所以经过8100天后是星期三.故选：C．4.若函数，则的值为（）A.12B.16C.18D.24【答案】B【解析】【分析】求函数得导数，将x=-2代入，即可求得答案。【详解】由函数得：，故，则，故选：B5.吹气球时，气球的半径（单位：dm）与体积（单位：L）之间的关系是．当时，气球的瞬时膨胀率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求导，再代入求解出即为答案.【详解】，故 故选：A6.如图所示，将四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为（）A.120B.96C.72D.48【答案】C【解析】【分析】分为同色，且同色；同色，而不同色；同色，而不同色三种情况，分别计算，根据分类加法计数原理，求和即可得出答案.【详解】由题意知，与任意一点均不同色.只用3种颜色，即同色，且同色，此时不同染色方法的种数为；用4种颜色，此时可能同色，而不同色或同色，而不同色.若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为；若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为.根据分类加法计数原理可得，不同染色方法的种数为.故选：C.7.已知函数的一个极值点为2，则的最小值为（）A.B.C.D.7【答案】A【解析】【分析】首先代入极值点，再利用“1”的妙用，结合基本不等式求最值.【详解】，，即，经检验适合题意， ，当，，，即时等号成立，联立，，时等号成立，所以的最小值为.故选：A8.现有10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（）A.15种B.31种C.24种D.23种【答案】D【解析】【分析】先看一张人民币的取法，再看2张100元人民币的取法，利用分步计数原理计算即可.【详解】除100元人民币以外的3张人民币中，每张均有取和不取2种情况，2张100元人民币的取法有不取、取一张和取二张3种情况，再减去5张人民币全不取的1种情况，所以共有种．故选：D.9.若，则下列计算错误的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用赋值法逐一判断即一.【详解】A：在中，令，得，因此本选项正确； B：在中，令，得，令，得，，得，所以本选项不正确；C：，，所以本选项正确；D：在中，令，得，所以，因此本选项正确，故选：B10.直线分别与曲线，交于，两点，则的最小值为（）A.B.1C.D.2【答案】B【解析】【分析】设，，，，得到，用导数法求解.【详解】解：设，，，，则，，，令，则，函数上单调递减，在上单调递增，时，函数的最小值为1，故选：B11.将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，至多两人，则甲乙不在同一路口的分配方案共有（）A.81种B.72种C.63种D.36种 【答案】B【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：①将5名交警分为1、2、2的三组，要求甲乙不在同一组，②将分好的三组安排到三个路口，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：①将5名交警分为1、2、2的三组，要求甲乙不在同一组，有种分组方法，②将分好的三组安排到三个路口，有种安排方法，则有种分派方法，故选：B．12.已知，若在上存在x使得不等式成立，则的最小值为（）A.B.1C.2D.【答案】D【解析】【分析】先利用将不等式转化为，借助单调性得到，参变分离后构造函数，结合单调性求出最小值即可.【详解】∵，∴不等式即为：由且，∴，设，则，故在上是增函数，∴，即，即存在，使，∴，设，则；；∴在上递减，在上递增，∴，∴．故选：D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.从集合中任取两个不同元素分别作为直线方程中的系数，，则所得直线有______条． 【答案】30【解析】【分析】根据题意利用排列原理求解即可.【详解】从集合中任取2个数作为，两数顺序不同，表示的直线也不同，所以所得直线有条.故答案为：30.14.若,则的值是______.（用数字作答）【答案】【解析】【分析】先根据求出的值,再利用和逐个相加求解即可.【详解】因为,且,根据,得,解得,又,,则.故答案为:.15.若函数在区间内是减函数，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】【详解】试题分析：时，是减函数，又，∴由得在上恒成立，．考点：1.三角函数的单调性；2.导数的应用． 16.已知函数是上的奇函数，，对，成立，则的解集为______.【答案】【解析】分析】根据给定条件，构造函数，利用导数判断单调性，利用函数性质求解不等式作答.【详解】依题意，构造函数，则，因为对，成立，所以在单调递增，又函数是上的奇函数，所以，所以函数是上的偶函数，所以函数在单调递减，因为，所以，又，所以当时，，，；当时，，，；当时，，，；当时，，，；当和时，；综上，当和时，，即解集为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解决抽象不等式，往往利用函数值的符号分类讨论（或者画图象），本题的关键是根据导数式结构选择恰当的函数，然后利用导数判断函数的单调性，从而判断函数值的符号解抽象函数不等式.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.已知函数．（1）求函数的极值点；（2）若函数有且只有两个零点，求实数的值． 【答案】（1）的极小值点是，极大值点是1（2）或【解析】【分析】（1）对求导，讨论与0的大小，即可得出的单调性，可求得函数的极值点；（2）函数有且只有两个零点，即与的图象有两个交点，画出的图象，数形结合即可得出答案.【小问1详解】因为，所以，令，解得：，令，解得：或，所以在，上单调递减，在上单调递增，所以的极小值点是，极大值点是1.【小问2详解】函数有且只有两个零点，令，即，即与的图象有两个交点，由（1）知，在，上单调递减，在上单调递增，的图象如下图， 要使函数有且只有两个零点，即或，解得：或18.已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是．（1）求二项展开式中各项二项式系数和；（2）求二项展开式中系数最大的项．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根据题目条件得到方程，求出，从而得到各项二项式系数和；（2）求出展开式的通项公式，从而得到不等式组，求出，得到系数最大的项.【小问1详解】由题意得，即，解得或0（舍去）；故二项展开式中各项二项式系数和为，【小问2详解】展开式的通项公式为，设展开式中系数的绝对值最大的项为，则，解得，又，∴，∴展开式中系数的最大的项为．19.（1）由0，1，2，3，4，5这6个数字组成没有重复数字的四位偶数有多少个？（2）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？ 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用分类加法原理与排列数的定义计算即可；（2）利用分类加法原理与组合数的定义计算即可.【详解】（1）若个位是0，则有种，若个位不是0，先从2、4中选一个，再从刚选的数字和0之外的4个中选1个放在首位，中间两位从剩余4个中选2个排上即可，共有种，故0、1、2、3、4、5这6个数字组成没有重复数字的四位偶数共个；（2）分类计数：若1个会双语的导游都不选，则有种，若恰选1个会双语的导游，则有种，若恰选2个会双语的导游，则有种，故不同的选择方法有种.20.如图所示，一座海岛距离海岸线上最近点的距离是，在点沿海岸正东处有一个城镇A，现急需从城镇A处派送一批药品到海岛.已知A和之间有一条公路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车速度为，快艇速度为.设快艇出发点与点之间距离为.（1）写出运输时间（小时）关于的函数；（2）当为何值时运输时间最短？【答案】（1）；（2）时运输时间最短.【解析】【分析】（1）由题意知，，根据汽车和快艇的速度，即可求得的表达式.（2）求导可得的表达式，令，即可求得，分别讨论和时， 的正负，可得的单调性和最值，即可得答案.【详解】解：（1）由题意知，，∴.（2），令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增；即时取最小值，所以当时运输时间最短.21.已知函数，的图象在点处的切线方程为，又函数与函数的图象在原点处有相同的切线，其中为自然对数的底数.（1）求函数的解析式及的值；（2）若对于任意恒成立，求整数的最大值.参考数据：，【答案】（1），（2）2【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义及切线方程求出，即可求出函数解析式，再根据导数的几何意义求出斜率，利用斜率相等建立方程求；（2）将原问题转化为恒成立，利用导数求函数最值即可求解.【小问1详解】因为，且的图象在点处的切线方程为，所以当时，，且切线斜率， 则，①，②，联立解得，，即，因为函数，所以，所以函数在原点处的切线斜率为1，因为，所以.【小问2详解】若对于任意恒成立，即恒成立，则只需要求出在上的最小值即可，设，则，记，则，则当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，，，所以，必有一个实根，且，使得即，当时，，当时，，所以的最小值为，当时，有，即，故整数的最大值为2.22.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析； （2）【解析】【分析】（1），进而分，，三种情况讨论求解；（2）结合（1）得，进而，再令，根据和得，进而令，，求函数最小值即可得答案.【小问1详解】函数的定义域为，且，所以当，即，成立，故函数在上单调递增；当，即或时，当时，在上恒成立，故函数在上单调递增；当时，由得且，所以的解集为，的解集为，所以函数在和上单调递增，在上单调递减.综上，当时，函数在上单调递增，无减区间；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】 由（1）得是方程的两个实数根，所以，所以，令，由于，所以，又因，所以，即，解得或，所以，令，，所以，所以函数在上单调递减，所以，所以的最小值为，所以实数的取值范围为，即的最大值为.