安徽省安庆市铜陵市池州市2022-2023学年高二下学期联合期末检测数学Word版含解析.docx

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安徽省安庆、池州、铜陵三市2022-2023学年高二下学期联合期末检测数学试题一、单选题1．数列，，，，的第11项是（）A．B．C．D．2．下列运算正确的是（）A．()൅B．()C．()D．()3．已知变量，之间具有线性相关关系，根据15对样本数据求得经验回归方程为，若，则（）A．12B．19C．31D．464．随机变量(，)，若().，().，则()（）A．0.5B．0.4C．0.3D．0.25．如图，在正四棱台体体中，体，体，则与平面体体所成角的大小为（）A．B．C．D．6．甲乙两个盒子里各装有4个大小形状都相同的小球，其中甲盒中有2个红球2个黑球，乙盒中有1个红球3个白球，从甲盒中取出2个小球放入乙盒，再从乙盒中随机地取出1个小球，则取出的小球是红球的概率是（）A．B．C．D．7．2023年第19届亚运会将在杭州举行，某大学5名大学生为志愿者，现有语言翻译、医疗卫生、物品分发三项工作可供安排，每项工作至少分配一名志愿者，这5名大学生每人安排一项工作．若学生甲和学生乙不安排同一项工作，则不同的安排方案有（）A．162种B．150种C．120种D．114种 8．已知.，൅.，൅，则，，൅的大小关系为（）൅.A．൅B．൅C．൅D．൅二、多选题9．已知圆：，下列说法正确的是（）A．圆心为(，)B．半径为2C．圆与直线相离D．圆被直线所截弦长为10．关于(的展开式，下列结论正确的是（）)A．二项式系数和为1028B．所有项的系数之和为C．第6项的二项式系数最大D．项的系数为36011．素描几何体是素描初学者学习绘画的必学课程，是复杂形体最基本的组成和表现方式，因此几何体是美术人门最重要的一步．素描几何体包括：柱体、椎体、球体以及它们的组合体和穿插体．十字穿插体，是由两个相同的长方体相互从中部贯穿而形成的几何体，也可以看作四个相同的几何体（记为)拼接而成，体现了数学的对称美．已知在如下图的十字穿插体中，体体，，下列说法正确的是（）A．平面香B．与体所成角的余弦值为C．平面香截该十字穿插体的外接球的截面面积为D．几何体的体积为12．形如()(t，t)的函数是我们在中学阶段最常见的一个函数模型，因其形状像极了老师给我们批阅作业所用的“√”，所以也称为“对勾函数”．研究证明，对勾函数可以看作是焦点 在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数是双曲线．已知为坐标原点，下列关于函数()的说法正确的是（）A．渐近线方程为和B．()的对称轴方程为()和()C．香，是函数()图象上两动点，为香的中点，则直线香，的斜率之积为定值D．是函数()图象上任意一点，过点作切线，交渐近线于，体两点，则体的面积为定值三、填空题13．已知随机变量的分布列如表，则的均值()．－10120.10.3m2m14．已知抛物线䁖(䁖t)的焦点为，过的动直线与抛物线交于，体两点，满足AB的直线有且仅有一条，则䁖．15．已知数列满足，，，且，若（其中表示不超过的最大整数），则；数列前2023项和．16．已知函数()，若()恒成立，则实数的取值范围为．四、解答题17．在①()，②()这两个条件中选择一个，补充在下面的横线上，并解答问题．已知向量(sincos，cossin)，(sincos，sincos)，且满足____．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．（1）求函数()的最小正周期；（2）在体中，角，体，所对的边分别为，，൅，若()，，，求体的面积．18．记为数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，证明：．19．如图1，已知正三棱锥体，体，香，分别为体，体的中点，将其展开得到如图 2的平面展开图（点的展开点分别为，，点体的展开点分别为体，体），其中香的面积为．在三棱锥体中，（1）求证：体平面香；（2）求平面与平面香夹角的余弦值．20．为了研究数学成绩是否与物理成绩有关联．某中学利用简单随机抽样获得了容量为100的样本，将所得数学和物理的考试成绩进行整理如下列联表：物理成绩数学成绩合计优秀不优秀优秀2020不优秀1050合计(൅)参考公式：，其中൅．()(൅)(൅)()参考数据：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（1）完成列联表，试根据小概率值.的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联；（2）用样本频率估计概率，从该学校中随机抽取12个学生，问这12个学生中数学成绩优秀的人数最有可能是多少?21．已知椭圆：(tt)的一个焦点为，椭圆上的点到的最大距离为3，最小距离为1．（1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆左右顶点为，体，在上有一动点，连接，体分别和椭圆交于，两点，体与的面积分别为，．是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．22．已知函数()．（1）当时，求函数()的图象在处的切线方程；（2）已知时，讨论函数()()的零点个数． 答案解析部分1．【答案】A【知识点】数列的概念及简单表示法【解析】【解答】设该数列的第n项为，由已知，，，，()，()，()，()变形可得，所以数列的一个通项公式可以是()，可得()．故答案为：A.【分析】由所给数列的前几项归纳数列的通项公式，确定数列的第11项.2．【答案】C【知识点】导数的加法与减法法则；简单复合函数求导法则【解析】【解答】对A：(sin)cos，故A错误；对B：()̵ln，故B错误；对C：(ln)(lnln)，故C正确；̵对D：()，故D错误．故答案为：C.【分析】根据求导运算逐项分析判断即可.3．【答案】B【知识点】众数、中位数、平均数；线性回归方程【解析】【解答】因为，所以，又因为过点，，所以，解得，则．故答案为：B.【分析】根据题意，求得，结合回归直线方程过样本中心点，，代入求得，即可求解. 4．【答案】D【知识点】正态密度曲线的特点【解析】【解答】由().，().，可得(t)()().()，由对称性可得，由().，所以()().．故答案为：D.【分析】根据正态曲线的对称性得到，再结合().计算可得.5．【答案】B【知识点】棱台的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质【解析】【解答】将该正四棱台补成正四棱锥体，设ABCD的中心为O，如图：连接PO，设体，因为体，体，则体体，体体，所以体体，体体又因为体体体体，所以体，由正棱锥的性质可知底面ABCD，底面ABCD，所以，因为四边形ABCD是正方形，所以体，而体，，体平面PDB，所以平面PDB，则与平面体体所成角为，因为体，，则在直角三角形PAO中，sin，且，所以.故答案为：B【分析】将该正四棱台补成正四棱锥，根据线面角定义法分析可得与平面体体所成角为，在直角三角形中求解即可. 6．【答案】C【知识点】全概率公式【解析】【解答】从甲盒中取出2个红球的概率为，从甲盒中取出2个黑球的概率为，从甲盒中取出1个红球1个黑球的概率为，由全概率公式，从乙盒中随机地取出1个红球的概率．故答案为：C.【分析】根据题意分别求出从甲盒中取出2个红球的概率，取出2个黑球的概率和取出1个红球1个黑球的概率，然后利用全概率公式可求得结果.7．【答案】D【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式；简单计数与排列组合【解析】【解答】将5人分成三组的分法有种，其中甲乙同组的分法有种，种，因此符合要求的分组有种，再把所分组安排工作，共有所以不同的安排方案有114种．故答案为：D.【分析】把5人按照甲乙不在同一组分成3组，再作全排列并计算作答.8．【答案】A【知识点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】因为.，cos.，所以cos..cos.(.)，设()cos，(，)，则()sincossin设()sin，则()cost，则()在(，)单调递增，()t()，即()t，所以()在(，)单调递增，()t()，所以(.)cos..t，即t． 因为cos，所以൅.，൅cos.，cos.cos.设()，(，)，设()，()()，则()在(，)单调递减，()t()，则()t，记cos.可得(.)t，所以൅cos.t，cos.所以൅．因此有൅．故答案为：A.【分析】因为cos..cos.(.)，故构建()cos，(，)，利用导数研究其单调性，由此比较，的大小；因为൅cos.，故构建cos.()，(，)，利用导数研究函数()的单调性，由此比较，൅的大小，由此确定结论.9．【答案】B,D【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆的位置关系；相交弦所在直线的方程【解析】【解答】将圆：，化为标准方程得()()，可知圆心(，)，半径，故A错误，B正确；由圆心(，)到直线的距离，即，直线与圆相切，故C错误；圆心(，)到直线的距离为，所以所截弦长为，故D正确.故答案为：BD.【分析】把方程化为圆的标准方程，求得圆心坐标和半径，可判定A错误，B正确；由点到直线的距离公式，可判定C错误；根据圆的弦长公式，可判定D正确.10．【答案】B,C【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用【解析】【解答】对A：(的的展开式二项式系数和为，故A错误；) 对B：令，可得()中所有项的系数之和为，故B正确；对C：因为10为偶数，所以(的展开式中第)项的二项式系数最大，故C正确；对D：()的展开式的通项为，，，，，令得，此时，所以项的系数为180，故D错误．故答案为：BC.【分析】对A：由题意得二项式系数和公式求解进行判断，对B：令可求得结果，对C：由二项式系数的性质进行判断，对D：求出二项式展开式的通项公式，令x的次数为，求出k，然后代入通项公式可求得结果.11．【答案】A,C,D【知识点】组合几何体的面积、体积问题；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定【解析】【解答】对A：连接体，，，由体体，，可知，，香，均为棱上的四等分点，E，F为棱上的中点，因为体体，，所以体，体，，所以，，，所以，故，同理可得香，又香，，香平面EMN，所以平面EMN，故A正确；对B：连接EF，则PE与体所成角即为PE与EF所成角，在中，，，所以PE与EF所成角的余弦值为，故B错误； 对C：该十字穿插体的外接球球心即为长方体体体的中心O，半径()，球心O到平面EMN的距离d，即为球心O到长方体侧面的距离，所以d=1，所以截面圆的半径，所以截面面积为π，故C正确；对D：几何体可取为体，设其体积为x，，则体体，所以，故D正确．故答案为：ACD.【分析】对A：连接体，，，利用已知的数据结合勾股定理逆定理可得，香，然后利用线面垂直的判定可得结论；对B：PE与体所成角即为PE与EF所成角，在中求解即可；对C：求出球心O到平面EMN的距离，从而可求出截面圆的半径，进而可求出面积；对D：几何体可取为体，设其体积为x，然后利用体体可求得结果.12．【答案】A,B,D【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则；两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式；直线的斜率；双曲线的简单性质【解析】【解答】对A：因为()是双曲线，由图象可知：函数()图象无限接近和，但不相交， 故渐近线为和，故A正确；对B：因为()是双曲线，由双曲线的性质可得，对称轴为渐近线的角分线，且互相垂直，一条直线的倾斜角为.，tan.由二倍角公式可得tan，(tan.)整理得(tan.)tan.，解得tan.或tan.（舍去），tan.故tan.tan(.)，tan.另一条直线的斜率为，所以()的对称轴方程为()和()，故B正确；对C：设香(，)，(，)，所以香，，故，故C错误；香对D：因为()，设(，)，则Q处切线的斜率()，所以切线方程为()()，令，可得()，即(，)，则；令()()，可得，即体(，)，则体；故体面积为体（定值），故D正确． 故答案为：ABD.【分析】对于A：根据题意结合图象分析判断；对于B：根据题意结合倍角公式以及垂直关系分析运算；对于C：根据题意结合斜率公式运算求解；对于D：根据导数的几何意义求切线方程，进而可求结果.13．【答案】0.9【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】由离散型分布列的性质，可得..，解得.，则().....．故答案为：0.9.【分析】根据分布列的性质，求得.，结合期望的计算公式，即可求解.14．【答案】2【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题䁖䁖【解析】【解答】设交点坐标为(，)，体(，)，过，的直线为，与抛物线联立可得，䁖䁖，故䁖．䁖䁖则体体䁖䁖()䁖䁖䁖䁖，故当体䁖时，动直线有且仅有一条，即䁖，故䁖．故答案为：2.【分析】根据抛物线定义表示焦点弦，结合通径公式，即可求解.15．【答案】；1685【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和；数列的递推公式【解析】【解答】由，得，两式相减得()()，因为，所以，则数列的周期为6，则数列的周期也为6，由题意得，，则，，，，所以().故答案为：，1685.【分析】由，得到，两式相减得到()( )，进而得到数列的周期为6，数列的周期也为6求解.16．【答案】，)【知识点】导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【解答】由已知不等式()，可化为ln，两边同时除以x得ln．令，(，)，则，当时，，函数在(，)上单调递减，当t时，t，函数在(，)上单调递增，所以当时，函数取最小值，最小值为e，当时，，当时，，所以的范围是，)，即．所以不等式ln可化为ln，其中，ln所以在，)上恒成立，ln构造函数()，，ln则()，令()，可得，当时，()t，函数()在，)上单调递增，当t时，()，函数()在(，)上单调递减，所以时，()取最大值，最大值为，所以，即a的取值范围为，).故答案为：，).ln【分析】不等式可化为ln，令，(，)，可得恒成立，其中，ln构造函数()，，利用导数求其最大值可得a的取值范围.17．【答案】（1）解：若选条件①：由向量(sincos，cossin)，(sincos，sincos)， 可得()(sincos)cossinsincossin()，所以函数()的最小正周期为.若选条件②：由向量(sincos，cossin)，(sincos，sincos)，可得(sincos)(sincos)sin，(sincos)(cossin)，所以()sin，所以函数()的最小正周期为.（2）解：选条件①：由（1）得()()，则()，因为(，)，所以(，)，所以，即，在体中，由余弦定理൅൅൅，整理得൅൅，解得൅或൅，当൅时，൅，当൅时，൅，所以体的面积为或．若选条件②：由（1）得()，则，因为(，)，所以(，)，所以，即，在体中，由余弦定理൅൅൅，整理得൅൅，解得൅或൅，当൅时，൅，当൅时，൅，所以体的面积为或．【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积坐标表示的应用；简单的三角恒等变换；余弦定理；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质【解析】【分析】(1)若选条件①：根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换可得sin()，进而可求周期；若选条件②：根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换可得sin，进而可求周期； (2)对于条件①②：由()可得，利用余弦定理可得൅或൅，进而可求面积.18．【答案】（1）解：解法一：∵，()()，两式相减可得，()()，可得()，又∵，∴也符合．∴，，∴，故；解法二：，时，()，两式相减得()，∴，()，又∵，，∴，，∴为常数列，，∴（2）证明：()．()前项和()()，()∵，∴t，()∴()，∴.【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和；数列的递推公式【解析】【分析】(1)解法一：根据与之间的关系可得，利用累积法运算求解；解法二：根据与之间的关系可得，结合常数列运算求解；(2)整理可得()，利用裂项相消法分析证明.19．【答案】（1）证明：因为三棱锥体为正三棱锥，香为体的中点，所以体香，体香， 又因为香香香，香、香平面香，所以体平面香；（2）解：如图1，在平面展开图中过作直线香的垂线，垂足为，垂线交于点，所以香，因为香，分别为体，体的中点，所以香，所以，得，在正三角形体中，因为体，所以，所以，在中，()．解法一：如图2，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则(，，)，体(，，)，(，，)，香(，，)，(，，)，(，，)．设(，，)为平面的一个法向量，因为(，，)，(，，)，所以，即，令，可得(，，)．设(，，)为平面香的一个法向量，因为香(，，)，香(，，)，香所以，即，令，可得(，，)．香设平面与平面香夹角为，cos，所以平面与平面香夹角的余弦值为． 解法二：如图3，设平面与平面香的交线为，因为香∥，所以香∥平面，所以香∥，∥．在等腰三角形中，，在等腰三角形香中，香，所以，，则为平面与平面香的夹角（或其补角）．香，香，则在等腰三角形香中，，在三角形中，，，由余弦定理得൅，所以平面与平面香夹角的余弦值为．【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角【解析】【分析】(1)根据题意可得体香，体香，结合线面垂直的判定定理分析证明；(2)解法一：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求平面香的法向量，利用空间向量求线面夹角；解法二：根据题意分析可知为平面与平面香的夹角（或其补角），结合余弦定理运算求解.20．【答案】（1）解：零假设：数学成绩与物理成绩无关联，补充列联表为物理成绩数学成绩合计优秀不优秀优秀202040不优秀105060合计3070100().t.．根据小概率值.的独立性检验，有充分证据证明推断不成立，故能认为数学成绩与物理成绩有关联，这个推断犯错误的概率不大于0.001；（2）解：由频率估计概率可得，任取一个学生数学成绩优秀的概率为䁖.，设12个学生中数学成绩优秀的人数为，随机变量体(，.)， 人数最有可能是多少即求二项分布下概率最大时随机变量取值．设䁖()..，䁖..()..解法一：，（且）䁖....当.时，䁖t䁖，当t.时，䁖䁖，故时，䁖取得最大值，故数学成绩优秀的最有可能是5个人．䁖䁖，....，解法二：，即䁖䁖，....，解得..，因，则，故时，䁖取得最大值，故数学成绩优秀的最有可能是5个人．【知识点】独立性检验的应用；二项分布【解析】【分析】(1)根据题意完善列联表，求，并与临界值对比分析；(2)根据题意分析可得体(，.)，解法一：利用作商法比较大小，进而可得结果；解法二：直接列不等式，进而可得结果.21．【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为൅，因为椭圆上的点到的最大距离为3，最小距离为1，所以൅，൅，又൅，解得，൅，，故椭圆的标准方程为；（2）解：由（1）可得(，)，体(，)，假设存在点(，)，使得，体体体设体，则， 设，横坐标为，，()体则，所以，()()整理得()()，①设点坐标为(，)()，直线斜率为，体斜率为体，故体，设直线的斜率为，故直线方程为()，直线体方程为()，，将直线和椭圆联立()，可得()，由韦达定理可得，解得，，将直线体和椭圆联立()，可得()，由韦达定理可得，解得，将，横坐标代入①式可得，()()，()整理得，()()化简得()，解得，即，当时，直线的方程为()，代入点(，)可得，即点的坐标为(，)，当时，直线的方程为()，代入点(，)可得，即点的坐标为(，)，故点坐标为(，)或(，)．【知识点】直线的斜率；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题意列式求解，，൅，进而可得结果；(2)设，横坐标为，，根据面积关系分析可得()()，再证明体，设 直线的斜率为，联立方程求，，代入运算求解即可.22．【答案】（1）解：当时，()，()，则切线斜率()，切点为(，)，所以切线方程为()，即.（2）解：函数()的定义域为R，求导得()，，()t，①当时，()t，()在R上单调递增，而()因此函数()有一个零点；②当时，令()，得，当时，()；当t时，()t，则()在(，ln)上单调递减，在(，)上单调递增，()()，令min，ln（min，ln表示，ln中最小值）当(，)时，，函数在(，)上单调递减，函数值集合为(，)，因此函数()在(，ln)上的取值集合为(，)，令()，t，求导得()，令()()，t，则()t，即函数()在(，)上单调递增，()t()t，函数()在(，)上单调递增，()t()t，即有t(t)，t()，当t时，()函数在(，)上单调递增，函数值集合为(，)，而ln，因此函数()在(，)上的取值集合为(，)，设()，，则()，()()，()，当时，()t，()在(，)单调递增， 当时，()，()在(，)单调递减，()()t，即当(，)时，()，则()有两个零点；当时，()，则()有一个零点；当(，时，()t，则()没有零点．所以当(，时，零点个数为0；当(，时，零点个数为1；当(，)时，零点个数为2.【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断