北京市东城区2023届高三上学期期末考试数学 Word版无答案.docx

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东城区2022—2023学年度高三第一学期期末统一检测数学试卷本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.在下列函数中，为偶函数的是（）A.B.C.D.3.在的展开式中，若第3项的系数为10，则（）A.4B.5C.6D.74.等比数列中，，，则（）A8B.16C.32D.645.北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一.其中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存.某同学欲从这11个重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有故宫的概率为（）A.B.C.D. 6.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边位于第一象限，且与单位圆交于点，轴，垂足为.若的面积为，则（）A.B.C.D.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，其渐近线方程为，是上一点，且.若的面积为4，则的焦距为（）A.B.C.D.8.在中，“对于任意，”是“为直角三角形”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.在平面直角坐标系中，若点在直线上，则当，变化时，直线的斜率的取值范围是（）A.B.C.D.10.如图，在正方体中，点是棱上的动点，下列说法中正确的是（）①存在点，使得；②存在点，使得；③对于任意点，到的距离为定值；④对于任意点，都不是锐角三角形. A.①③B.②③C.②④D.③④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若复数满足，则______.12.已知函数，则______；若将的图象向左平行移动个单位长度得到的图象，则的一个对称中心为______.13.经过抛物线焦点直线与抛物线交于不同的两点，，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，则点的纵坐标与点的纵坐标的大小关系为______.（填“＞”“＜”或“＝”）14.设函数，当时，的值域为______；若的最小值为1，则的取值范围是______.15.对于数列，令，给出下列四个结论：①若，则；②若，则；③存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立；④若对任意的，都有，则有.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.如图，在锐角中，，，，点在边的延长线上，且.（1）求；（2）求的周长.17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为 的中点，为上一点，平面.（1）求证：为的中点；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.18.“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间，，，，，，用频率分布直方图表示如下，假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立.（1）估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间的概率；（2）从全校学生中随机选取3人，记表示这3人一周参加课后活动的时间在区间的人数，求的分布列和数学期望；（3）设全校学生一周参加课后活动的时间的众数、中位数、平均数的估计值分别为，，，请直接写出这三个数的大小关系.（样本中同组数据用区间的中点值替代）19.已知椭圆：（）的离心率为，长轴长与短轴长的和为6，， 分别为椭圆的左、右焦点.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，.若，，成等差数列，求实数的范围.20.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的极值；（3）证明：当时，曲线：与曲线：至多存一个交点.21.已知数列：，，…，满足：（，2，…，，），从中选取第项、第项、…、第项（，）称数列，，…，为的长度为的子列.记为所有子列的个数.例如：0，0，1，其.（1）设数列：1，1，0，0，写出的长度为3的全部子列，并求；（2）设数列：，，…，，：，，…，，：，，…，，判断，，大小，并说明理由；（3）对于给定的正整数，（），若数列：，，…，满足：，求的最小值.