人教A版(2019)高中数学必修第一、二册+选择性必修第一、二、三册知识点复习提纲汇编(实用,必备!)

人教A版(2019)高中数学必修第一、二册+选择性必修第一、二、三册知识点复习提纲汇编(实用,必备!)

ID:83521749

大小:3.39 MB

页数:234页

时间:2023-07-13

上传者:道法自然
人教A版(2019)高中数学必修第一、二册+选择性必修第一、二、三册知识点复习提纲汇编(实用,必备!)_第1页
人教A版(2019)高中数学必修第一、二册+选择性必修第一、二、三册知识点复习提纲汇编(实用,必备!)_第2页
人教A版(2019)高中数学必修第一、二册+选择性必修第一、二、三册知识点复习提纲汇编(实用,必备!)_第3页
人教A版(2019)高中数学必修第一、二册+选择性必修第一、二、三册知识点复习提纲汇编(实用,必备!)_第4页
人教A版(2019)高中数学必修第一、二册+选择性必修第一、二、三册知识点复习提纲汇编(实用,必备!)_第5页
人教A版(2019)高中数学必修第一、二册+选择性必修第一、二、三册知识点复习提纲汇编(实用,必备!)_第6页
人教A版(2019)高中数学必修第一、二册+选择性必修第一、二、三册知识点复习提纲汇编(实用,必备!)_第7页
人教A版(2019)高中数学必修第一、二册+选择性必修第一、二、三册知识点复习提纲汇编(实用,必备!)_第8页
人教A版(2019)高中数学必修第一、二册+选择性必修第一、二、三册知识点复习提纲汇编(实用,必备!)_第9页
人教A版(2019)高中数学必修第一、二册+选择性必修第一、二、三册知识点复习提纲汇编(实用,必备!)_第10页
资源描述:

《人教A版(2019)高中数学必修第一、二册+选择性必修第一、二、三册知识点复习提纲汇编(实用,必备!)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库

人教A版(2019)高中数学必修第一、二册+选择性必修第一、二、三册知识点复习提纲汇编必修第一册知识点复习提纲第一章 集合与常用逻辑用语1.1集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3 集合的基本运算1.4充分条件与必要条件1.5全称量词与存在量词第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质2.2 基本不等式第69页共234页

12.3 二次函数与一元二次方程、不等式第三章 函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示3.2 函数的基本性质3.3幂函数3.4函数的应用(一)第69页共234页

2第四章 指数函数与对数函数4.1 指数4.2 指数函数4.3对数4.4对数函数4.5函数的应用(二)第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制5.2 三角函数的概念5.3诱导公式5.4三角函数的图像与性质5.5三角恒等变换第69页共234页

35.6函数y=Asinωx+φ5.7三角函数的应用第69页共234页

4第一章 集合与常用逻辑用语1.1集合的概念一、集合的概念1.定义:一般地,研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,也简称集。2.集合元素的特征:确定性、互异性、无序性3.集合1=集合2:构成集合的元素完全一样4.元素与集合的关系:∈和∉(1)a属于集合A:a∈A(2)a不属于集合A:a∉A5.常用数集及其记法(1)N={全体非负整数}={全体自然数}={0,1,2,……}(2)N+/N*={全体正整数}={1,2,3,……}(3)Z={全体整数}={…,-2,-1,0,1,2,…}(4)Q={全体有理数}(5)R={全体实数}6.集合的分类:有限集,无限集,空集(∅)7.集合的表示方法:列举法、描述法第69页共234页

5(1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,如{1,2,3,4}(2)描述法:把集合中对的元素的公共属性描述出来,如{x|x-3>2,x∈N}8.奇数集A={x|x=2k+1,k∈Z}偶数集B={x|x=2k,k∈Z}第69页共234页

61.2 集合间的基本关系一、集合间的基本关系1.子集:集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,若任意x∈A,都有x∈B,称A为B的子集。记作:A含于B(A⊆B),B包含于A(B⊇A)2.不包含:当集合A不包含于集合B时,记作A⊈B3.注意:(1)A不包含于B,记作A⊈B(2)任意一个集合都是它本身的子集A⊆A(3)规定空集是任意集合的子集(4)若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C4.Venn图(韦恩图)5.集合相等:两个集合中全部元素相同A=B满足A⊆B,B⊆A,即A=B6.真子集:若集合A⊆B,存在元素x∈B且x∉A,则称集合A是集合B的真子集。记作:A⫋B,读作:A真包含于B7.注意:(1)A⫋B且B⫋C,则A⫋C(2)∅是任意非空集合的真子集,任何一个集合是它本身的子集(3){a,b}的子集有:{a},{b},{a,b},∅8.空集:不含有任何元素的集合成为空集,记作:∅第69页共234页

79.(1)若A⫋B,则A⊆B且A≠B(2)若A⊆B,则A=B或A⫋B10.区分:(1)∈(∉)是指集合与元素之间的关系(2)⊆(⫋)是表示集合与集合之间的关系(3){0}与∅区别:{0}是含有一个元素的集合,而∅是不包含任何元素的集合,因此,∅⊆{0},但不能写成∅∈{0}11.若一个集合含有n个元素,则(1)子集个数为2n个(2)非空真子集个数为(2n-2)个(3)非空子集个数为(2n-1)个第69页共234页

81.3 集合的基本运算一、集合的基本运算1.并集:由所有属于集合A,或属于集合B的元素组成的集合,成为A与B的并集,记作A∪B。读作:“A并B”。即A∪B={x|x∈A,或x∈B}(1)并集的性质:A∪A=A、A∪∅=A、A∪B=A则B⊆A(2)并集的性质:A⊆(A∪B)、B⊆(A∪B)、(A∩B)⊆(A∪B)2.交集:由属于集合A,且属于集合B的元素组成的集合,成为A与B的交集,记作A∩B。读作:“A交B”。即A∩B={x|x∈A,且x∈B}(1)交集的性质:A∩B=A、A∩∅=∅、A∩B=A则A⊆B(2)交集的性质:A∩B⊆A、A∩B⊆B3.全集:如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U。4.补集:对于全集U的一个子集A,由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合成为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集。记作:CUA。即:CUA={x|x∈U且x∉A}(1)补集的概念必须要有全集的限制(2)补集的性质:CU∅=U、CUU=∅、CU(CUA)=A第69页共234页

9(3)补集的性质:A∩(CUA)=∅、A∪(CUA)=U第69页共234页

101.4充分条件与必要条件一、充分条件和必要条件1.定义:一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q。这时,我们就说,由p可推出q,记作:p⇒q。①p是q的充分条件;②q是p的必要条件。2从集合角度理解:p⇒q相当于p⊆qpqp,q或二、充要条件1.充要条件:一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作:p⇔q。此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件。必要pq充分①显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件。概括的说,如果p⇔q,那么p与q互为充要条件。2.从逻辑关系上看:第69页共234页

11条件p与结论q的关系结论p⇒q但q⇏pP是q成立的充分不必要条件p⇐q但p⇏qP是q成立的必要不充分条件p⇒q但q⇒pP是q成立的充要条件p⇏q但q⇏pP是q成立的既不充分也不必要条件第69页共234页

121.5全称量词与存在量词一、全称量词1.全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示。2.全称命题:含有全称量词的命题,叫做全称命题。3.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x),读作“对于任意x属于M,有p(x)成立”。注意:①全称量词可以省略;②全称命题为真,意味着对限定集合中的每一个元素都具有某种性质。二、存在量词1.存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示。2.特称命题:含有存在量词的命题,叫做特称命题3.特称命题“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M,p(x0),读作“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”。第69页共234页

13三、含有一个量词的命题的否定1.全称命题:∀x∈M,p(x)特称命题:∃x0∈M,p(x0)否定否定2.全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题∀x∈M,p(x)∃x0∈M,p(x0)四、真假判断1.全称命题:“∀x∈M,p(x)”①真命题:对集合M中每个元素x,证明p(x)成立。②假命题:集合M中找到一个元素x0,使p(x0)不成立。2.特称命题:“∃x0∈M,p(x)”①真命题:集合M中找到一个元素x,使p(x)成立。②假命题:集合M中使p(x)成立的元素不存在。第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质一、不等关系与不等式第69页共234页

141.比较实数(代数式)大小的方法(1)作差比较法关于实数a,b大小的比较,有以下的事实:如果a-b是正数,那么a>b;如果a-b等于零,那么a=b;如果a-b是负数,那么a0a>ba-b=0a=ba-b<0a0,b>0且ab>1a>ba>0,b>0且ab<1abbb,b>ca>c传递性(3)性质3:a+b>ca+b+(-b)>c+(-b)a>c-b可加性(4)性质4:如果a>b,c>0,那么ac>bc.如果a>b,c<0,那么acb,c>d,那么a+c>b+d.同向加法法则(6)性质6:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.同向乘法法则第69页共234页

15(7)性质7:如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2)乘方法则(8)性质8:如果a>b>0,那么na>nb(n∈N,n≥2)开方法则第69页共234页

162.2 基本不等式一、基本不等式1.两个重要不等式(1)a2+b2≥2ab(a,b为任意实数):当且仅当a=b时,等号成立。(2)ab≤a+b2(a,b为正数):当且仅当a=b时,等号成立。2.基本不等式与最值(积定和最小,和定积最大)(1)已知x,y是正数,如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值,为2P(2)已知x,y是正数,如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值,为S243.基本不等式链(1)设a>0,b>0,则有21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22(当且仅当a=b时取等号)4.利用基本不等式求最值必须满足的条件(“一正,二定,三相等”)(1)“一正”:各项必须都是正值(2)“二定”:各项之和或各项之积为定值(3)“三相等”:必须验证取等号时条件是否成立第69页共234页

17第69页共234页

182.3 二次函数与一元二次方程、不等式一、“三个二次”的关系1.一元二次不等式:我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式。2.二次函数:函数不等式方程数△=b2-4ac△>0△=0△<0Y=ax2+bx+c(a>0)的图像yx1ox2xyox1=x2xyoxax2+bx+c=0(a>0)的根两个不相等的实数根两个相等的实数根没有实数根第69页共234页

19ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|xx2}{x|x≠-b2a}Rax2+bx+c<0(a>0)的解集(x1,x2)∅∅3.解法:(1)判断该一元二次函数是否存在实数根(2)解实数根(3)判断函数图像(开口向上/开口向下)(4)解出答案例:求不等式4x2-4x+1>0的解集解:在函数y=4x2-4x+1中,∵△=b2-4ac=0∴4x2-4x+1=0有两个相等的实数根为12又∵y=4x2-4x+1图像开口向上∴4x2-4x+1>0的解集为{x|x≠12}二、分式不等式第69页共234页

20f(x)g(x)>0f(x)·g(x)>0f(x)g(x)<0f(x)·g(x)<0f(x)g(x)≥0f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0f(x)g(x)≤0f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0例1:解不等式x+1x−3≥0解:x+1x−3≥0可化为(x+1)(x-3)≥0,且x-3≠0所以x−1x−3≥0的解集为{x|x≤-1,或x>3}例2:解不等式5x+1x+1<3解:5x+1x+1<3可化为2x−2x+1<0,即(x-1)(x+1)x<0所以5x+1x+1<3的解集为{x|-1

21(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)>0利用穿根法画图:131212所以解集为{x|x<13,或122}第69页共234页

22第三章 函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示一、函数的概念1.函数:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为集合A到集合B的一个函数。记作:y=f(x),x∈A.2.自变量:其中,x叫做自变量3.定义域:x的取值范围A叫做函数的定义域4.函数值:与x的值相对应的y值叫做函数值5.值域:函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域6.注意:(1)“y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”(2)函数符号”y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值,一个数。7.构成函数的三要素:定义域、对应关系、值域8.区间的概念:(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间(3)区间的数轴表示第69页共234页

239.求值域:即y的取值范围例①:y=2x+1,{x|-2≤x≤1}值域{y|-3≤y≤3}例②:y=2x+1,{x|-2≤x≤1,且x∈Z}值域{-3,-1,1,3}(画图结合定义域求值域)(1)数形结合法第69页共234页

24(2)观察法例①:y=x2+2解:∵x2≥0,∴x2+2≥2,∴x2+2≥2∴y=x2+2的值域为[2,+∞)例②:y=1x2+1解:∵x2≥0,∴x2+1≥1(分母比分子大)∴1x2+1≤1,∴y=1x2+1的值域为(0,1](3)配方法例③:y=x2+2x+3在[-4,-3]区间对的值域解:y=x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2∴对称轴为x=-1∴当x=-3时,ymin==6X=-4时,ymax=11,∴y=x2+2x+3在[-4,-3]的值域为[6,11]第69页共234页

25(4)换元法(y=ax+b±cx+d)例①:y=x-x−1解:设t=x−1(x≥1),则x=t2+1(t≥0)∴y=t2+1-t(t≥0),即y=(t-12)2+34(t≥0)∵对称轴t=12,∴ymin=34∴y=x-x−1的值域为[34,+∞)第69页共234页

26(5)分离常数法(y=cx+dax+b)例①:y=3x+22x+1解:y=3x+22x+1=322x+1−32+22x+1=32+122x+1∵122x+1≠0,∴y≠32∴y=3x+22x+1的值域为{y|y≠32}(6)反解x(反函数法)例②:y=3x+22x+1解:由已知得2xy+y-3x-2=0,∴(2y-3)x=2-y∴x=2−y2y−3,∵2y-3≠0,∴y≠32∴y=3x+22x+1的值域为{y|y≠32}第69页共234页

27(7)辨别式法求值域例①:y=x2−xx2−x+1解:由已知得yx2-yx+y=x2-x,∴(y-1)x2-(y-1)x+y=0(y≠1)又∵△≥0,得-13≤y<1∴y=x2−xx2−x+1的值域为[-13,1)解:由已知得y=1−1x2−x+1,∵x2-x+1=(x−12)2+34≥34∴0<1x2−x+1<43∴−13≤1−1x2−x+1<110.求定义域:即当y=f(x)有意义时x的取值范围(定义域是一个集合)(1)f(x)是整式(单项式和多项式)定义域为R(2)f(x)的分母中含有字母,定义域为使得分母不为0的x值的集合(3)f(x)含偶次数方根,定义域是根号里的式子大于或等于0的x值的集合第69页共234页

28(4)对数函数,使其真数大于0的x的取值范围(5)由实际问题确定的函数,使其有意义的x的取值范围为其定义域11.区间的表示:(1)R=(-∞,+∞)(2){x|x≥a}=[a,+∞)(3){x|x≤a}=(-∞,a](4){x|x>a}=(a,+∞)(5){x|x0:[4ac−b24a,+∞),a<0:(-∞,4ac−b24a](3)y=kx(k≠0)定义域{x|x≠0}值域{y|y≠0}二、映射第69页共234页

291.映射:设A、B是两个非空的集合,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中对的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射(“一对一”和“多对一”)b1b2b3b4a1a2a3a4b1b2b3b4a1a2a3a42.映射非映射第69页共234页

30三、函数的表示法1.函数的三种表示法:解析法、图像法、列表法2.表示函数y=|x|。(1)解析法:y=x,x≥0分段函数(必须注明函数的定义域)-x,x<0X-2-1012Y21012(2)列表法:(选取的自变量要有代表性)0X12-1-212y(3)图像法:(注意是否连实线)3.分段函数:也是一个函数4.求解析式:(1)代入法:例①:f(x)=2x+1,求f(x2+x)第69页共234页

31解:当f(x)=2x+1中的x变换为x2+x时,如下:f(x2+x)=2(x2+x)+1=2x2+2x+1(2)配凑法:例①:f(x+1)=x+2x,求f(x)解:f(x+1)=x+2x=(x)2+2x+1-1=(x+1)2-1∴f(x)=x2-1(x≥1)(3)换元法:例①:f(x+1)=x+2x,求f(x)解:令t=x+1(x≥0),则x=(t-1)2(t≥1)∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1)∴f(x)=x2-1(x≥1)第69页共234页

32(4)待定系数法例①:f(x)为一次函数,且f[f(x)]=25x+12,求f(x)解:设f(x)=kx+b(k≠0)f[f(x)]=kf(x)+b=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=25x+12∴k2=25、kb+b=12∴k=5,b=2或k=-5,b=-3∴f(x)=5x+2或f(x)=-5x-3(5)方程组法例①:若f(x)-12f(-x)=2x①(x∈R),求f(x)接:令x=-x,∴f(-x)-12f(x)=-2x②①×2:2f(x)-f(-x)=4x③第69页共234页

33②+③:32f(x)=2x∴f(x)=43x(6)特殊值法例①:f(x)为二次函数,且f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)解:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)由f(0)=1,得c=1令x=0,∴f(1)-f(0)=0,∴f(1)=1∴a+b+1=1①令x=-1,∴f(0)-f(-1)=-2,∴f(-1)=3∴a-b+1=3②由①、②得a=1,b=-1,∴f(x)=x2-x+1解:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)由f(0)=1,得c=1f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=ax2+2ax+a+bx+b+c-ax2-bx-c=2ax+a+b∵f(x+1)-f(x)=2x,∴2ax+a+b=2x∴a=1,b=-1,∴f(x)=x2-x+1第69页共234页

34第69页共234页

353.2 函数的基本性质一、函数的单调性1.增函数:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数。(1)注意:①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1<x2总有f(x1)<f(x2)2.减函数3.单调区间:如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间4.判断函数单调性的方法步骤:(1)利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:①任取x1、x2∈D,且x1<x2②作差f(x1)-f(x2)③变形(通常是因式分解和配方)④定号(判断差f(x1)-f(x2)的正负)⑤下结论例①:判断f(x)=x−1x在(0,+∞)上的单调性第69页共234页

36解:任取x1、x2∈(0,+∞),且x1<x2则f(x1)-f(x2)=x1−1x1-x2−1x2=x1−x2x1·x2∵x1<x2,∴x1-x2<0又x1.x2∈(0,+∞),∴x1·x2>0∴f(x1)-f(x2)=x1−x2x1·x2<0即f(x1)<f(x2)∴f(x)=x−1x在(0,+∞)上为增函数5.常见函数的单调性(1)f(x)=x:在定义域R上单调递增(2)f(x)=x2:在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增(3)f(x)=(x-1)2:在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增(4)f(x)=1x(x≠0):在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增6.常见变式(判断变式的)①f(x1)−f(x2)x1−x2②(x1−x2)·[f(x1)−f(x2)]7.最值:(1)最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:1.对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;2.存在x0∈I,都有f(x0)=M。那么,称M是函数y=f(x)的最大值。(2)最小值第69页共234页

378.求最值的方法:(1)利用二次函数的性质(配方法)求函数的最值(2)利用图像求函数的最值(3)利用函数的单调性判断函数的最值二、函数的奇偶性1.偶函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数。2.奇函数:一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函数。3.几何意义:(1)偶函数的图像关于y轴对称(2)奇函数的图像关于原点对称4.注意:(1)函数满足奇偶函数的条件:定义域关于原点对称,f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)(2)函数的奇偶性是函数的整体性质5.利用定义判断函数奇偶性的步骤①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称②确定f(-x)与f(x)的关系:f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)③下结论第69页共234页

38例①:判断函数f(x)=x(1-x),x<0的奇偶性x(1+x),x>0解:y=f(x)的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称当x<0时,-x>0,f(-x)=-x(1-x)=-f(x)当x>0时,-x<0,f(-x)=-x(1+x)=-f(x)综上函数f(x)=x(1-x)x<0为奇函数x(1+x)x>06.规律(1)偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致7.判断函数奇偶性的依据①函数图像关于什么对称②函数定义域是否关于原点对称(不对称:非奇非偶函数)③f(-x)与f(x)的关系④函数在关于原点对称的区间上的单调性是否一致8.既奇又偶函数:既是奇函数又是偶函数(函数f(x)=0)9.非奇非偶函数:既不是奇函数又不是偶函数第69页共234页

3910.周期性:f(x+T)=f(x),周期为T11.复合函数(同增异减)同为增函数则复合函数为增函数3.3幂函数一、幂函数1.幂函数:一般地,形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中α为常数·y=x3y=x2y=xy=x-1yx0(1,1)2.常见的幂函数第69页共234页

403.幂函数的性质(1)所有幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图像都过点(1,1)(2)a>0时,幂函数的图像通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数。特别地,当a>1时,幂函数的图像下凸;0<a<1时,幂函数的图像上凸。(3)a<0时,幂函数的图像在区间[0,+∞]上是减函数。在第一象限内,当s从右边趋向原点时,图像在y轴右方无线限逼近y轴正半轴,当x趋于+∞时,图像在x轴上方无鲜地逼近x轴的正半轴。3.4函数的应用(一)一、常见函数模型1.一次函数模型:y=kx+b(k≠0)2.反比例函数模型:y=kx(k≠0)3.二次函数模型:y=ax2+bx+c(a≠0)第69页共234页

41第四章 指数函数与对数函数4.1 指数一、指数与指数幂的运算1.根式:一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*①当n是偶数时,正数的n次方根有两个(互为相反数)②当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数;负数的偶次方根是一个负数(1)根式:式子na叫做根式(2)根指数:式子na中的n叫做根指数(3)被开方数:式子na中的a叫做被开方数2.负数没有偶次方根3.零的任何次方根都是零(记作:n0=0)a(a≥0)-a(-a<0)5.根式结论:当n是奇数时,nan=a当n是偶数时,nan=|a|=6.正数的分数指数幂的意义规定:第69页共234页

42amn=nam(a>0,m,n∈N*,n>1)a−mn=1amn=1nam(a>0,m,n∈N*,n>1)7.0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义8.有理指数幂的运算性质(1)ar·as=ar+sa>0,r,s∈Q(2)(ar)s=arsa>0,r,s∈Q(3)(ab)r=arbra>0,b>0,r,∈Q9.无理指数幂:一般地,无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数,有理数指数幂的运算性质同样适应于无理数指数幂第69页共234页

434.2 指数函数二、指数函数及其性质1.指数函数:一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R2.满足指数函数的要求:①a>0,且a≠1②系数为1③指数x为自变量3.一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图像和性质如下表所示:a>10<a<1图像yy=ax(a>1)(0,1)0xyy=ax(0<a<1)(0,1)0x定义域R值域(0,+∞)性质过定点(0,1),即x=0,y=1第69页共234页

44非奇非偶函数在R上为增函数在R上为减函数5.在第一象限内:底数越大,图像越靠近y轴y=3xy=2xy=axy=bxy=(12)xy=(13)xy=dxy=cx底大图高a>b>1>c>d>0第69页共234页

454.3对数一.对数与对数的运算1.对数:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作:x=logaN(1)底数:a叫做对数的底数(2)真数:N叫做真数2.常用对数:以10为底的对数,log10N=lgN3.自然对数:在科学技术中常用以无理数e=2.71828……为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数,logeN=lnN4.对数与指数间的关系:当a>0,且a≠1时,ax=Nx=logaN5.对数的性质:①负数和零没有对数②logaa=1③loga1=0④alogaN=N6.对数的运算性质①logaM·N=logaM+logaN②logaMN=logaM-logaN③logaMn=nlogaM第69页共234页

46④logamMn=nmlogaM⑤logab=logcblogca⑥loga−bX=-1blogaX⑦logab·logba=1⑧1log2m=logm2⑨lg2·lg5=17.运算性质的推导:①设am=M,an=N,则logaM=m,logaN=n∴am·an=am+n=M·N,∴logaM·N=m+n=logaM+logaN②设am=M,an=N,则logaM=m,logaN=n∴aman=am-n=MN,∴logaMN=m-n=logaM-logaN第69页共234页

474.4对数函数一、对数函数及其性质1.一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域为(0,+∞).2.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像和性质0<a<1a>1图像y=logax(0<a<1)(1,0)y=logax(a>1)(1,0)定义域(0,+∞)值域R性质1.过定点(1,0),即x=1时,y=02.在(0,+∞)上是减函数在(0,+∞)上是增函数3非奇非偶函数函数(1)y=logax与y=log1ax的图像关于x轴对称第69页共234页

48(2)在第一象限内:底数越小,越靠近y轴(3)比较两个对数之间的大小:找中间量“0”、“1”进行比较(4)求对数函数的定义域:底数>0,且底数≠1,且真数>0第69页共234页

49二、反函数1.反函数:一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换。2.原函数3.互为反函数:函数f(x)与反函数f−1(x)互为反函数yy=2xy=log2xy=xx4.性质:(1)函数f(x)与它的反函数f−1(x)图像关于直线y=x对称(2)函数存在反函数的充要条件是:函数的定义域与值域是一一映射(3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致,奇偶性一致(4)原函数图像经过(a,b),则反函数图像经过(b,a)5.求反函数的步骤:①由f(x)求出x②x和y互换位置③求出f−1(x)的定义域6.y=2x与y=log2x互为反函数第69页共234页

50三、复合函数1.复合函数(同增异减)同为增函数则复合函数为增函数4.5函数的应用(二)一、函数的零点1.函数零点的概念:对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。2.函数零点的意义:函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根,亦即函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标即:方程f(x)=0有实根→函数y=f(x)的图像与x轴有交点→函数y=f(x)有零点3.函数零点的求法:(1)代数法:求方程f(x)=0的实数根(2)几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来,并利用函数的性质找出零点。(3)二分法:对于y=f(x)的函数,若f(x0)<0,f(x1)>0,则零点在(x0,x1)内第69页共234页

514.二次函数的零点ax2+bx+c=0(a≠0)的根y=ax2+bx+c=0(a≠0)图像与x轴的交点f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的零点△>0x1,x2(x1≠x2)(x1,0)、(x2,0)x1和x2△=0x1=x2(x1,0)x1△<0无实根无交点无零点5.函数零点存在性的判定:(1)在区间[a,b]上图像是连续不断的一条曲线(2)f(a)·f(b)<0(3)在区间(a,b)内有零点二、用二分法求方程的近似解1.二分法:对于在区间[a,b]上连续不断,且满足f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.2.给定精度ε,用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤:(1)确定区间[a,b]。验证f(a)·f(b)<0,给定精度ε第69页共234页

52(2)求区间(a,b)的中点x1(3)计算f(x1)3.零点的存在:(1)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点(2)若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1,(此时零点x0∈(a,x1)(3)若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1,(此时零点x0∈(x1,b)4.判断是否达到精度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点。零点值a(或b)5.注意:(1)第一步确定零点所在的大致区间(a,b)可利用函数性质,也可借助计算机或计算器,但尽量去端点为正数的区间,尽量缩短区间长度,通常可确定一个长度为1的区间;(2)建议列表样式如下:零点所在区间中点函数值区间长度[1,2]f(1.5)>01[1,1.5]f(1.25)<00.5[1.25,1.5]f(1.375)<00.25第69页共234页

53第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制一、任意角1.任意角:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。(角的顶点)(始边)αOBA(终边)2.角的分类:(1)正角:按逆时针方向旋转所成的角。(2)负角:按顺时针方向旋转所成的角。(3)零角:一条射线没有作任何旋转所成的角。3.象限角:当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合时,那么角的终边在第几象限(终边的端点除外),就说这个角是第几象限角。(1)第一象限角:0°+k·360°<α<90°+k·360°k∈Z(2)第二象限角:90°+k·360°<α<180°+k·360°k∈Z(3)第三象限角:180°+k·360°<α<270°+k·360°k∈Z(4)第四象限角:270°+k·360°<α<360°+k·360°k∈Z4.轴线角:当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合时,终边落在第69页共234页

54坐标轴上的角叫做轴线角。(1)x轴正半轴:α=0°+k·360°k∈Z(5)x轴:α=k·180°k∈Z(2)x轴负半轴:α=180°+k·360°k∈Z(6)y轴:α=90°+k·180°k∈Z(3)y轴正半轴:α=90°+k·360°k∈Z(4)y轴负半轴:α=270°+k·360°k∈Z5.终边相等角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和。第69页共234页

55二、弧度制1.角度制定义:规定周角的1360为一度的角,记作1°。这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制,角度制为60进制。O2.弧度制定义:长度等于半径的弧度所对的圆心角叫做1弧度的角。用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。1弧度记作1rad。1radrr(1)半径:r(2)弧长:ll(3)圆心角:α3.弧度数:(1)正角的弧度数是一个正数;负角的弧度数是一个负数;零角的弧度数是0。(2)如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为1,那么,角α的弧度数的绝对值是|α|=lr。(3)符号:rad,读作:弧度。(4)|α|=lr(单位:rad)|圆的圆心角α|=弧长l半径r(单位:rad)。(5)弧度制下:角的集合与实数R之间一一对应。180°=πrad1°=π180°rad1rad=(180°π)≈57.30°=57°18′度0°30°45°60°90°1213515182736第69页共234页

560°°0°0°0°0°弧度0π6π4π3π22π33π45π6π3π22π4.在角度制下公式(1)弧长公式:l=nπR180°(2)扇形面积公式:S=nπR2360°5.在弧度制下公式(1)弧长公式:l=α·R(2)扇形面积公式:S=12lR第69页共234页

575.2 三角函数的概念一、任意角的三角函数rMP(x,y)OAyxT1.设α是一个任意大小的角,α的终边上任意点P(x,y),它与原点的距离为r(r=x2+y2>0),那么(1)正弦:sinα=yr(4)余切:cotα=xy(2)余弦:cosα=xr(5)正割:secα=rx(3)正切:tanα=yx(4)余割:cscα=ry2.三角函数线:正弦线MP、余弦线OM、正切线AT。3.单位圆:在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆。sinα=sin(α+k·2π)cosα=cos(α+k·2π)tanα=tan(α+k·2π),其中k∈Z4.终边相同的角的同一个三角函数的值相等。(1)公式一:求任意角的三角函数值:转化为求0~2π角的三角函数值。5.三角函数值角α定义域0°90°180°270°360°角α的弧度数0π2π3π22πsinαR010-10第69页共234页

58cosαR10-101tanαα≠π2+2kπ0无意义0无意义0++--++--++--6.三种函数的值在各象限的符号yyyxxxsinαycosαxtanαyx二、同角三角函数的基本关系1.公式:(1)sin2α+cos2α=1(2)tanα=sinαcosα2.深化公式:(1)1+2·sinα·cosα=sin2α+2·sinα·cosα+cos2α=(sinα+cosα)2(2)1−2·sinα·cosα=(sinα−cosα)2=|sinα−cosα|5.3诱导公式sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanα一、正弦、余弦的诱导公式1.(1)公式二:sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanα(2)公式三:第69页共234页

59sin(π-α)=-sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanα(3)公式四:sin(π2-α)=cosαcos(π2-α)=sinα总结:α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。(4)公式五:sin(π2+α)=cosαcos(π2+α)=-sinα(5)公式六:总结:π2±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加第69页共234页

60上一个把α看成锐角时原函数值的符号。奇变偶不变,符号看象限第69页共234页

615.4三角函数的图像与性质一、正弦函数、余弦函数的图像和性质1.正弦、余弦函数图像画法:(1)几何法(2)五点法:0、π2、π、3π2、2πy=sinx2.曲线:正弦曲线:y=sinx,x∈R,余弦曲线:y=cosx,x∈R13.性质:−3π−5π2−2π−3π2−π−π20π2π3π22π5π23πy=cosx1-1−3π−5π2−2π−3π2−π−π20π2π3π22π5π23π-1函数y=sinxy=cosx定义域RR值域[-1,1][-1,1]周期T=2kπ(k∈Z)T=2kπ(k∈Z)最小正周期2π2π奇偶性奇函数偶函数对称轴x=π2+kπ,k∈Zx=kπ,k∈Z第69页共234页

62对称中心(kπ,0),k∈Z(π2+kπ,0),k∈Z单调性递增[-π2+2kπ,π2+2kπ]k∈Z递增[-π+2kπ,2kπ]k∈Z递减[π2+2kπ,3π2+2kπ]k∈Z递减[2kπ,π+2kπ]k∈Zyminx=-π2+2kπ,k∈Zx=π+2kπ,k∈Zymaxx=π2+2kπ,k∈Zx=2kπ,k∈Z第69页共234页

63(1)周期函数:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。(2)最小正周期:在周期函数f(x)的所有周期中存在的一个最小正数。(3)函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期:T=2π|ω|(4)奇偶性:对于函数f(x)的定义域的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数。对于函数f(x)的定义域的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数。(5)对称性:奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称。(6)单调性:单调递增、单调递减二、正切函数的图像和性质1.正切函数画法:“三点二线”(1)三点:(-π4,-1)(0,0)(π4,1)(2)二线:x=−π2,x=π22.正切曲线:y=tanx,x≠π2+kπ(k∈Z)3.性质:定义域x≠π2+kπ(k∈Z)渐近线y=tanx−3π2−5π43π4π2π40−π41-1−π2π值域R周期T=kπ(k≠0,k∈Z最小正周期π奇偶性奇函数第69页共234页

64对称轴关于原点(0,0)对称对称中心(kπ2,0)k∈Z单调性(−π2+kπ,π2+kπ)单调递增k∈Z渐进线x=π2+kπk∈Zy=Atan(ωx+φ)的周期T=π|ω|第69页共234页

655.5三角恒等变换一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.差角的余弦公式(记作C(α-β)):对于任意角α,β都有cosα−β=cosαcosβ+sinαsinβ2.两角和的余弦公式(记作C(α+β)):cosα+β=cosαcosβ−sinαsinβ3.诱导公式(1)sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ(2)sinα−β=sinαcosβ−cosαsinβ(3)tanα+β=tanα+tanβ1−tanαtanβ(4)tanα−β=tanα−tanβ1+tanαtanβ4.拓展公式:asinx+bcosx=a2+b2(aa2+b2sinx+ba2+b2cosx)三、二倍角的正弦、余弦、正切公式1.诱导公式(1)sin2α=2sinαcosα第69页共234页

66(2)cos2α=cosα2–sinα2=1-2sin2α=2cos2α-1(3)tan2α=2tanα1−tan2α(4)sinα=2sinα2cosα2(5)sinα4=2sinα8cosα8(6)sin4α=2sin2αcos2α第69页共234页

67二、简单的三角恒等变换cosα+β=cosαcosβ−sinαsinβsinα+β=sinαcosβ+cosαsinβtanα+β=tanα+tanβ1−tanαtanβcos2α=cosα2–sinα2=1-2sin2α=2cos2α-1sin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα1−tan2α开次:cosα=2cos2α2–1=1-2sin2α2降次:cos2α=1+cos2α2、sin2α=1−cos2α2sin2α2=1−cosα2cos2α2=1+cosα2、tan2α2=1−cosα1+cosαsinθ+sinφ=2sinθ+φ2cosθ−φ2sinθ-sinφ=2cosθ+φ2sinθ−φ2cosθ+cosφ=2cosθ+φ2cosθ−φ2第69页共234页

68cosθ-cosφ=-2cosθ+φ2cosθ−φ2第69页共234页

695.6函数y=Asinωx+φ一、φ对y=Asin(ωx+φ)的图像的影响平移1.平移(左加右减,上加下减)(1)y=sinx所有点向左平移π3个单位y=sin(x+π3)(2)y=sin2x所有点向右平移π12个单位y=sin2(x-π12)=sin(2x-π6)(3)y=sinx所有点向上平移π3个单位y=sinx+1二、ω对y=Asin(ωx+φ)的图像的影响伸缩1.伸缩(φ>1时:横坐标缩短为原来的1ω倍,0<φ<1时:横坐标伸长为原来的1ω倍)(1)y=sinx横坐标缩短为原来的12倍y=sin2x(2)y=sin(x-π3)横坐标伸长为原来的2倍y=sin(12x-π3)(3)y=sin2x横坐标伸长为原来的2倍y=sin2·12x=sinx5.7三角函数的应用一、简谐运动的图像1.y=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0)x∈[0,+∞)(1)振幅:即A,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离。(2)周期:T=2π|ω|,这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间。(3)频率:f=1T=|ω|2π,是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数。(4)相位:ωx+φ叫做相位。第127页共234页

70(5)初相:x=0,时的相位φ。必修第二册知识点复习提纲第127页共234页第六章平面向量及其应用 6.1平面向量的概念第127页共234页

716.2 平面向量的运算6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.4平面向量的应用第七章 复数7.1 复数的概念7.2复数的四则运算7.3 复数的三角表示第八章 立体几何初步8.1 基本立体图形8.2 立体图形的直观图8.3简单几何体的表面积与体积第127页共234页

728.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.5空间直线、平面的平行8.6空间直线、平面的垂直第127页共234页

73第九章 统计9.1 随机抽样9.2 用样本估计总体第十章 概率10.1 随机事件与概率10.2 事件的相互独立性10.3频率与概率第127页共234页

74第127页共234页第六章 平面向量及其应用6.1平面向量的概念一、向量的定义1.向量:既有大小,又有方向的量叫做向量。(两个要素:大小、方向)2.数量:只有大小,没有方向的量叫做数量。二、向量的几何表示1.向量用有向线段表示:(1)有向线段:带有方向的线段叫做有向线段。(2)以A为起点,B为终点的有向线段记作:AB。(3)有向线段包含三个要素:起点、方向、长度。(4)向量的模(向量的长度):AB的大小,记作|AB|。(5)零向量:长度为0的向量,记作0。(若|a|=0,则a为零向量)第127页共234页

75(6)单位向量:长度等于1个单位的向量。(7)平行向量:方向相同或相反的非零向量,记作a∥b。注:零向量与任一向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a。三、相等向量与共线向量1.相等向量:长度相等且方向相同的向量,记作a=b。2.共线向量:任一组平行向量都可以移动到同一直线上的向量。注:a∥b且b∥c,则a∥c是错误的。第127页共234页

766.2 平面向量的运算一、向量加法运算及其几何意义1.向量的加法(1)定义:设AB=a,BC=b,则向量AC叫做a与b的和,记作:a+b,即a+b=AB+BC=AC。求两个向量和的运算,叫做向量的加法。CC(2)向量加法的三角形法则:根据向量加法的定义求向量和的方法,叫向量加法的三角形法则。(首尾相连,起点指向终点)DABBA平行四边形法则AB+AC=AD三角形法则AB+BC=AC(3)向量加法的平行四边形法则:起点平移到同一点,以这两个向量为邻边作平行四边形,这两邻边所夹的对角线就是这两个已知向量的和。(4)对于零向量与任一向量a,我们规定:a+0=0+a=a(5)当a,b不共线时,|a+b|≤|a|+|b|<|a-b|(6)向量的加法交换律:a+b=b+a第127页共234页

77(7)向量的加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)第127页共234页

78二、向量减法运算及其几何意义1.向量的减法(1)相反向量:我们规定与a长度相等,方向相反的向量叫做a的相反向量,记作-a。AB的反向量为BA(或-AB)AB+BA=0。(2)我们规定:零向量的相反向量仍是零向量,即1.a+(-a)=(a)+a=02.a=-b,b=-a,a+b=03.a-b=a+(-b)4.-0=05.-(-a)=a2.向量减法的几何意义:已知a、b,在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则BA=a-b。即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。OaAabba-bB第127页共234页

79第127页共234页

80三、向量数乘运算及其几何意义1.向量的数乘:一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘。记作:λa(1)规定:|λa|=|λ||a|(2)规定:当λ>0时,λa的方向与a的方向相同,当λ<0时,λa的方向与a的方向相反,当λ=0时,λa=02.运算律(设λ、μ为实数)结合律λ(μa)=(λμ)a第一分配律(λ+μ)a=λa+μa第二分配律λ(a+b)=λa+λb(1)特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a)λ(a+b)=λa+λb3.向量共线定理(1)若向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,时b=λa第127页共234页

81(2)若a=0,则0=λ0,此时与λ无关,λ不是唯一一个。(3)向量共线符号特点:a∥bb=λa4.三点共线:一般地,要判断A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得AB=λAC(或BC=λAB等)第127页共234页

82四、向量的数量积B1.向量的夹角:已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,做OA=a,OB=b,则θ∠AOB(0≤θ≤π)叫做a与b的夹角。bOaA(1)向量的平行:当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向(2)向量的垂直:当θ=π2时,a⊥b2.平面向量的数量积(内积):已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cosθ叫做a和b的数量积(或内积)(1)数量积记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ(2)θ是a和b的夹角(3)|a|cosθ(或|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(或b在a方向上)的投影。(4)我们规定,零向量与任一向量的数量积为0。3.向量数量积的性质:(1)a与b同向:a·b=|a||b|cosθ=|a||b|(2)a与b反向:a·b=|a||b|cosθ=-|a||b|(3)a与b垂直:a·b=0第127页共234页

83(4)a·a=|a||a|cos0°=|a|2(5)|a|=a·a(6)|a||b|=||a||b|cosθ|=|a·b|·|cosθ|≤|a||b|(7)(a+b)2=a2+2a·b+b2(8)(a+b)·(a-b)=a2-b2第127页共234页

844.a·b的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积。5.运算律(1)a·b=b·a(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(3)(a+b)·c=a·c+b·c6.3 平面向量基本定理及坐标表示一、平面向量基本定理1.定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2。(1)基底:把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。(2)夹角:已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a和b的夹角。1.当θ=0°时,a和b同向,记作a∥b(即共线)。2.当θ=180°时,a和b反向,记作a∥b(即共线)。3.当θ=90°时,a和b垂直,记作a⊥b。第127页共234页

85二、平面向量的正交分解及坐标表示1.正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解。2.向量的坐标表示:a=(x,y)(1)在平面直角坐标系中,分别取x轴,y轴。方向相同的两个单位向量(即模为1),i、j作为基底。对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y使得a=xi+yj。(2)a=(x,y)i=(1,0)j=(0,1)0=(0,0)yaj1iO1X三、平面向量的坐标运算1.两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)。a+b=(x1+x2,y1+y2)a-b=(x1-x2,y1-y2)2.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。λa=(λx1+λy2)3.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。第127页共234页

86四、平面向量共线的坐标表示1.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0。若a、b共线,当且仅当存在实数λ,使a=λb,坐标表示为(x1,y1)=(λx2,λy2)。得x1=λx2,y1=λy2,消去λ后得x1y2-x2y1=0。结论:当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a、b(b≠0)共线。2.证明共线:(1)a=λb(2)x1y2-x2y1=03.向量的中点坐标公式:P1(x1,y1)、P2(x2,y2),则中点坐标为(x1+x22,y1+y22)五、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1.坐标表示(a=(x1,y1),b=(x2,y2))(1)a·b=x1x2+y1y22.模【a=(x,y),A(x1,y1)、B(x2,y2)】(1)|a|=a·a=x2+y2(2)a2=x2+y2(3)AB=(x2-x1,y2-y1)、|AB|=(x2−x1)2+(y2−y1)2a·ba·b(4)a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=03.夹角(1)cosθ=a·b|a||b|=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22第127页共234页

876.4平面向量的应用一、余弦定理a2=b2+c2−2bc·cosAcosA=b2+c2−a22bcb2=a2+c2−2ac·cosBcosB=a2+c2−b22acc2=a2+b2−2ab·cosCcosC=a2+b2−c22ab二、正弦定理在三角形ABC中,若△ABC的外接圆的半径为R,则有如下公式:(注:作△三边的中垂线,焦点为圆心,圆心到顶点的距离为半径)asinA=bsinB=csinC=2R变形①:a=bsinAsinB=csinAsinC变形②:a=2R·sinAb=asinBsinA=csinBsinCb=2R·sinBc=asinCsinA=csinCsinBc=2R·sinC变形③:sinA=a2RsinB=b2RsinC=c2R第127页共234页

88变形④:a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC三、三角形的面积S△ABC=12ac·sinB=12ab·sinC=12bc·sinA第七章 复数7.1 复数的概念一、数系的扩充和复数的概念1.复数:我们把集合C={a+bi|a,b∈R}中的数,即形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数。①虚数单位:i②复数集:全体复数所成的集合C叫做复数集。(1)表示:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式。①a:复数z的实部②b:复数z的虚部(2)在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),(3)复数相等:我们规定:a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d。2.复数分类:(1)实数:①对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数;②当且仅当a=b=0时,它是实数0.第127页共234页

89(2)虚数:当b≠0时,叫做虚数①当a=0且b≠0时,叫做纯虚数;②当a≠0且b≠0时,叫做非纯虚数。二、复数的几何意义1.复数的几何意义:根据复数相等的定义,任何一个复数z=a+bi,都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定。因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。bZ:a+bioayx(1)若点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi,可用点Z(a,b)表示,①这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。②x轴叫做实轴③y轴叫做虚轴。显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数。(2)复数的集合意义:一一对应①每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应;反之复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应。即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)一一对应②复平面内的点Z表示复数z=a+bi,连结OZ,显然向量OZ由点Z唯一确定;反之,点Z也可以由向量OZ唯一确定。即复数z=a+bi平面向量OZ第127页共234页

902.复数的模:(1)向量OZ的模r叫做复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|,如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a,它的模等于|a|。由模的定义可知:|z|=|a+bi|=r=a2+b2(r≥0,r∈R)(2)复平面内任意两点间的距离:设复平面内任意两点P、Q所对应的复数分别为Z1、Z2,则|PQ|=|Z2-Z1|,Z1Z2=x2−x1,y2−y13.共轭复数(1)共轭复数:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数(复数z的共轭复数为z)。①虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。(2)性质:z=a+bi①z=a−bi,|z|=a2+b2,|z|=a2+(−b)2=a2+b2②在复平面内表示复数z及其共轭复数z的点关于虚轴对称,并且到坐标原点的距离下相等。③z+z=2a,z−z=2bi④z·z=a2+b2故z·z=|z|2=|z|27.2复数的四则运算一、复数的加减运算及其几何意义1.复数的加法法则:设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,那么第127页共234页

91(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i2.复数加法的运算律:对任意z1,z2,z3∈C,有:(1)交换律:z1+z2=z2+z1(2)结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)3.复数加法的几何意义:OZ1=a,bOZ2=c,dOZ1+OZ2=(a+c,b+d)二、复数的乘除运算1.复数的乘法法则:设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,那么它们的积:(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i可以看出,两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可。连个复数的积是一个确定的复数。2.复数的乘法运算律:对任意z1,z2,z3∈C,有:(1)z1·z2=z2·z1(2)(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)(3)z1·(z2+z3)=z1·z2+z1·z3三、复数的除法法则第127页共234页

921.复数的除法法则:(a+bi)÷(c+di)=ac+bdc2+d2+bc−adc2+d2i(c+di≠0)由此可见,两个复数相除(除数不为0),所得的商是一个确定的复数。(1)分母实数化:复数除法就是分子、分母同时乘以分母的共轭复数,从而使分母实数化,最后写成a+bi(a,b∈R)的形式。7.3 复数的三角表示一、复数的三角表示式1.一般地,任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式。(1)r是复数z的模(2)θ是以x轴的非负半轴为始边,向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角,叫做复数z=a+bi的辐角。(3)r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式,简称三角形式。2.规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值,通常记作argz,即0≤argz<2π。3.复数乘除运算的三角表示(1)两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和。(2)两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。第127页共234页

93设z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)z1z2=r1cosθ1+isinθ1·r2cosθ2+isinθ2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]z1z2=r1cosθ1+isinθ1r2cosθ2+isinθ2=r1r2cosθ1−θ2+isinθ1−θ2(z2≠0)第八章 立体几何初步8.1 基本立体图形一、空间几何体:占据着空间的一部分,只考虑这些物体的形状和大小,那么由这些物体抽象出来的空间图形叫空间几何体。1.多面体:一般地,我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。(1)面:围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。(2)棱:相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。(3)顶点:棱与棱的公共顶点叫做多面体的顶点。2.旋转体:由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何,叫做旋转体。第127页共234页

94(1)轴:这条定直线叫做旋转体的轴。轴顶点棱面侧棱侧面顶点底面3.棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。(1)底面:两个互相平行的面叫做棱柱的底面(简称底)。(2)侧面:其余各面叫做棱柱的侧面。(3)侧棱:相邻侧面的公共边。(4)顶点:侧面与底面的公共顶点。第127页共234页

95{(5)简单性质:1.侧棱都相等,侧面都是平行四边形。2.两个底面与平行于底面的截面是全等的。3.各不相邻的侧棱所形成的斜面是平行四边形。{(6)棱柱的分类:1.按底面边多少分:n棱柱(n≥3)2.按侧棱与底面的关系分:垂直:直棱柱、正棱柱(底面为正多边形)三棱柱四棱柱不垂直:斜棱柱1.底面为直角三角形1.直平行六面体2.底面为等边三角形2.正四棱柱3.底面为等腰直角三角形3.正方体(非棱柱)4.棱锥:有一个面是多边形,其余各面都是有一公共点的三角形。(1)底面:多边形面。(3)顶点:各侧面的公共顶点。(2)侧面:有公共顶点的各个三角形。(4)侧棱:相邻侧面的公共边。(5)简单性质:1.侧面、对角面都是三角形。2.平行于底面的截面与底面相似。3.其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方(6)棱锥的分类:按底面多边形变数分:三棱锥、四棱锥、五棱锥……第127页共234页

961.正三棱锥:1.正四棱锥:1.正六棱锥:底面是正三角形,侧棱都相等底面都为正方形,侧棱都相等正棱锥:底面是正多2.正四面体:边形,顶点在底面上的所有面都是正三角形,各棱长都相等正投影是底面的中心。第127页共234页

975.棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分。(1)下底面:原棱锥的底面。(2)上底面:原棱锥的截面。上底面(3)特点:两底面一定相似,延长线必交于一点。下底面6.圆柱:以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。(1)轴:旋转轴。母线轴展开(2)底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面。(3)侧面:平行于轴的边旋转而成的曲面。长方形(4)母线:不垂直于轴的边。侧面(5)正圆柱:轴截面为正方形(母线=圆直径)底面7.圆锥:以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体。(1)正圆锥:轴截面为正三角形球心半径第127页共234页

988.圆台:用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分。9.球体:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体。(1)球心:半圆的圆心。(2)半径:半圆的半径。(3)直径:半圆的直径。第127页共234页

998.2 立体图形的直观图一、空间几何体的直观图1.空间几何体的直观图:通常是平行投影下画出的空间图形。2.画平面图形的直观图(斜二测画法)步骤:(1)在原图中建立适当的直角坐标系。(2)在平面内作一个坐标系x’o’y’,且满足o’x’为x’轴,o’y’为y’轴,且x’o’y’=45°(135°)(3)在原图中与x轴平行的线段不变,与y轴平行的线段减半AA’’h1hBODCa第127页共234页

100面积:S原图与S直观图之间的关系:S直观图S原图=24(三角形,四边形,多边形等均成立)推导:BC=a,A’D=h,A’O=h1,AO=2A’O=2h1∵Sin45°=hℎ1,∴h1=hsin45°S直观图=12ah,S原图=12·a·AO=12·a·2h1=a·h1∴S直观图S原图=24第127页共234页

1018.3简单几何体的表面积与体积一、多面体的表面积1.柱体:(1)圆柱(表面积):S表=2πr(r+l)(2)棱柱(表面积):S表=S侧+S底O2πrS侧=πrlllS侧=2πrl2πrrro2.锥体:(1)圆锥(表面积):S表=πr(r+l)(2)棱锥(表面积):S表=S侧+S底3.台体:(1)圆台:S表=π(r2+r’2+rl+r’l)(2)棱台:S表=S侧+S底二、空间几何体的体积1.柱体:V柱=S·h(棱柱与圆柱)2.锥体:V锥=13S·h(棱锥与圆锥)3.台体:V台=13(S’+S'S+S)·h(棱台与圆台)4.球:V球=43πR3S球=4πR2第127页共234页

102(1)球的截面:小圆1.大圆:球面被经过球心的平面截得的圆2.小圆:球面被不经过球心的截面截得的圆大圆(2)与球有关的组合体:1.内切2.外接(3)球面距离:球面两点与圆心所组成的弧线1.优弧:大于半圆的弧2.劣弧:小于半圆的弧第127页共234页

1038.4空间点、直线、平面之间的位置关系一、平面:几何里平面是无线延展的。平面内有无数个点,平面可以看成点集合。1.点线面位置关系的表示:(1)点、线:∈、∉(2)线面:⊆、⫋(3)面、面:∩2.确定平面的方法:(1)不共线的三点确定一个平面(2)两条平行直线确定一个平面(3)两条相交直线确定一个平面(4)一条直线与线外一点确定一个平面3.性质(三个公理)(1)如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线在此平面内(2)过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面(3)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么他们有且只有一条过该点的公共直线。AβAlBBCPαααl公理1公理2公理3A∈l,B∈l,A∈αl∈αP∈α,且P∈βα∩β=l且P∈l二、空间中直线与直线之间的位置关系第127页共234页

1041.空间两条直线的位置关系:(1)异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。(2)共面直线:1.相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点。2.平行直线:同一平面内,没有公共点。第127页共234页

1052.平行直线的公理及定理(公理4)(1)公理4:平行于同一条直线的两条直线的两条直线互相平行。a∥b,b∥ca∥c性质:空间平行线的传递性(2)定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。AB∥CD,∠B+∠C=π或∠B=∠Ca三、空间中直线与平面之间的位置关系a1.直线在平面内αaαAα2.直线在平面外:相交、平行四、平面与平面之间的位置关系β1.两个平面平行αl2.两个平面相交βα第127页共234页

1068.5空间直线、平面的平行一、直线与平面平行的判定1.定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行a⊂α,b⊂α,且a∥ba∥αa2.方法:(1)定义法:直线与平面没有公共点则线面平行αb(2)判定定理:线线平行线面平行(条件:“内”、“外”、“平行”)二、平面与平面平行的判定1.定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。aa⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥αβ∥αβPb2.方法:(1)定义法:两个平面没有公共点(2)判定方法三、直线与平面平行的性质α1.定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。a∥α,a⊂β,α∩β=ba∥bβab四、平面与平面平行的性质α1.定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。bα∥β,α∩γ=a,β∩γ=ba∥b第127页共234页

107aβγ2.两个平面平行的性质:α(1)如果两个平面平行,那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行。(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。(3)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交,那么它也和另一个平面相交。(4)夹在两平行平面的平行线段相等。第127页共234页

1088.6空间直线、平面的垂直一、直线与平面垂直的判定1.直线L与平面α互相垂直L(1)直线L与平面α内的任意一条直线都垂直。L⊥α(2)平面α的垂线:直线LP(3)直线L的垂面:平面αα(4)垂足:直线与平面垂直时,它们惟一的公共点PL2.判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。αabL⊥a,L⊥b,a⊂α,b⊂α,a∩b=PL⊥α二、直线与平面所成的角P1.平面的斜线:一条直线PA和一个平面α相交,但不和这个平面垂直的直线。OA2.斜足:斜线和平面的交点Aα3.射影:过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫斜线在这个平面上的射影。4.这条直线和这个平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角。第127页共234页

109三、平面与平面垂直的判定1.二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。B(1)半平面:平面内的一条直线把平面分成两部分。QL(2)二面角的棱:这条直线。(3)二面角的面:这两个半平面。A(4)记法:α-AB-β或P-AB-Q或α-L-β。βO(5)二面角的平面角:∠POQαP(6)直二面角:平面角是直角的二面角。第127页共234页

1102.平面与平面垂直的判定β(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。L(2)判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。αL⊥α,L⊂βα⊥β3.二面角的平面角(1).作法:L任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱L的射线2OA和OB,即∠AOB。(2).条件:顶点在棱上,两边分别在二面角的两个面上,两边都要垂直。(3).注意:(1)二面角的大小可用它的平面角来度量。(2)二面角的大小与二面角的位置有关,与棱上的点无关。(3)这个角与确定的平面和棱垂直。(4)二面角的平面角的范围:0°~180°。Lm四、直线与平面垂直的性质1.定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。αL⊥α,m⊥αL∥m五、平面与平面垂直的性质第127页共234页

1111.定理:两个平面互相垂直,则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。αβmLα⊥β,α∩β=m,L⊂β,L⊥mL⊥α第127页共234页

112第九章 统计9.1 随机抽样一、简单随机抽样1.含义:一般地,设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时,总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。2.最常用的两种(总体个数不多时的选择,操作简单易行)(1)抽签法:把总体中的N个个体编号,把号码写在号签上,将号签放在一个容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本。(2)随机数法:利用随机数表,随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽。(随机数表:由数字0,1,2,……,9组成,并且每个数字在表中各个位置出现的机会都一样。)二、系统抽样(容量大时的选择)1.概念:一般地,要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本,可将总体分成均衡的若干部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样的方法叫做系统抽样。(1)例如:首先将这500名学生从1编号,按号码顺序以一定间隔进行抽样,由于50050=10,所以抽取的两个相邻号码之差可定为10,即从1~10号中随机抽取一个号码,例如6号,每次增加10,得6,16,26,……,496。2.步骤:一般地,假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本。(1)先将总体的N个个体编号第127页共234页

113(2)确定分段间隔k,对编号进行分段。当Nn(n是样本容量)是整数时,取k=Nn。(3)在第1段用简单随机抽样确定第1个个体编号l(l≤0)。(4)按照一定的规则抽取样本,通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l+k),再加k得到第3个个体编号(l+2k),依次进行下去,直到获取整个样本。三、分层抽样(等可能性)1.概念:一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样。2.通常,当总体是由差异明显的几个部分组成时,选用的方法。3.抽样比k=样本容量总体容量=nN9.2 用样本估计总体一、总体取值规律的估计1.频率分布表与频率分布直方图的绘制:(1)求极差(最大值-最小值)(2)决定组距与组数:一般容量越大,所分组数越多。常分为5~12组。组数=极差组距(3)将数据分组:各组均为左闭右开(区间),最后一组全闭(区间)。第127页共234页

114(4)列频率分布表分组频数累计(正)频数频率频率=频数样本总量(合计1)(5)画频率分布直方图(小长方形的面积=组距×频率组距=频率)频率组距各小长方形的面积的总和等于10组距(分组)2.频率分布折线图:(1)类似于频数分布折线图,连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图。(2)总体密度曲线:随着样本容量的增加,作图时所分的组数增加,组距减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。(反应了总体在各个范围内取值的百分比,图中阴影面积为该总体在区间(a,b)内取值的百分比。)第127页共234页

1153.茎叶图:顾名思义,茎是指中间的一列数,叶就是从茎的旁边生长出来的数。例1:某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下:甲运动员得分:13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39;乙运动员得分:49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39;用茎叶图表示:甲乙需重复按顺序804631253682543893161679449150第127页共234页

116二、总体百分位数的估计1.把一百个样本数据按从小到大排序,得到第p个和第p+1个数据分别为a,b.可以发现区间(a,b)内的任意一个数,都能把样本数据分成符合要求的两部分。一般地,我们取这两个数的平均数a+b2=c,并称此数为这组数据的第p百分位数,或p%分位数。(1)一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值。三、总体集中趋势的估计1.在频率分布直方图中:(1)众数:最高矩形的中点的横坐标。(2)中位数:左右两边的直方图的面积相等。(3)平均数:等于每个小矩形面积与小矩形底边中点横坐标之积的和。2.标准差(1)考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示。样本数据x1,x2,……,xn.x表示这组数据的平均数标准差公式:s=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+…+(xn−x)2(2)标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小。3.方差第127页共234页

117(1)从数学的角度考虑,人们有时用标准差的平方s2—方差来代替标准差,作为测量样本数据分散程度的工具:方差公式:s2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+…+(xn−x)2(2)显然,在刻画样本数据的分散程度上,方差与标准差是一样的。在解决实际问题时,一般多采用标准差。第127页共234页

1184.极差、方差及标准差的区别于联系(1)数据的离散程度可用方差、标准差、极差来描述。极差:反映了一组数据的变化的最大幅度,对极端值非常敏感。方差:反映了一组数据围绕平均数波动的大小。(2)方差与原始数据单位不同,且平方后夸大了偏差程度,一般采用标准差。变量间的相关关系一、变量之间的相关关系1.相关关系:自变量取一定值时因变量的取值带有一定的随机性。2.函数关系与相关关系的异同点:(1)相同点:均为两个变量之间的关系。(2)不同点:相关关系:非确定,函数关系:确定。二、两个变量的线性相关1.散点图第127页共234页

119(1)这些点大致分布在通过散点图中心(x,y)的一条直线附近。2.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫回归直线。第127页共234页

1203.回归直线方程(回归方程):这条回归直线的方程设x,y是具有线性相关关系的两个变量,几个观测值为(x1,y1),(x2,y2),……,(xn,yn),则所求回归直线方程为:回归方程公式y=bx+a斜率b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2=i=1nxiyi−nx·yi=1nxi2−nx2截距a=y-b·xi=1nxiyi=x1y1+x2y2+…+xnyni=1nxi2=x12+x22+…+xn2x3711y102024例题:求以下的回归直线方程。第127页共234页

121解:x=7,y=18,i=1nxiyi−nx·y=30+140+264-378=56i=1nxi2−nx2=32所以b=5632=74a=18-74×7=234所以回归直线方程为:y=74x+234第127页共234页

122第十章 概率10.1 随机事件与概率一、有限样本空间与随机事件1.必然事件:一般地,我们把在条件S下,一定会发生的事件,叫做相对于条件S的必然事件。2.不可能事件:在条件S下,一定不会发生的事件,叫做相对于条件S的不可能事件。3.确定事件:必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件。必然事件确定事件4.随机事件:在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫做相对于条件S的随机事件。不可能事件事件随机事件(1)确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字母A,B,C……表示。5.频率、频数、概率(1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数,nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=nAn为事件A出现的频率。(2)当试验次数很多时,出现正面的频率值在0.5附近摆动,由频率估计概率,正面朝上的概率为0.5。第127页共234页

123二、事件的关系与运算1.事件的关系与运算(1)显然,如果事件C1发生,则事件H一定发生,这时我们说事件H包含事件C1,记作H⊇C1。(2)包含关系:一般地,对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件包含事件A(或称事件A包含于事件B),记作B⊇A(或A⊆B)注:①:在事件当中∅:读作不可能事件,而不是空集②:∅⊆A:A为任意事件(即任何事件都包含不可能事件)ABABBAA∩B(2)相等关系:如果事件C1发生,那么事件D1一定发生,反过来也对,这时我们说这两个事件相等,记作C1=D1。一般地,若满足B⊆A且A⊆B,那么称事件A与事件B相等,记作:A=B(3)并事件(和事件):若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件),记作A∪B(或A+B)(4)交事件(积事件):若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件),记作A∩B(或AB)(5)互斥事件:若A∩B为不可能事件(A∩B=∅),那么称事件A与事件B互斥。第127页共234页

124其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中不会同事发生。(6)对立事件:若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件。其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。(即:若A∩B=∅且A∪B=Ω,则A与B对立。)第127页共234页

125三、古典概型1.定义:如果一个概率模型满足以下条件:①有限性:样本空间的样本点只有有限个。②等可能性:每个样本点发生的可能性相等。称为古典概率模型,简称古典概型。P(A)=A包含的基本事件个数基本事件的总数2.对于古典概型,任何事件的概率为:四、概率的基本性质1.概率的几个基本性质:(1)A为任意事件,则0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率为1,即P(Ω)=1(3)不可能事件的概率为0,即P(∅)=0(4)关于互斥事件的概率:概率的加法公式:如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).如果事件A与事件B对立,则P(A∪B)=P(Ω)=P(A)+P(B)=1(5)关于对立事件的概率:第127页共234页

126如果事件A与事件B不互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)(6)关于不互斥的两个事件的概率:第127页共234页

127在事件A与事件B中P(A|B)=P(A∩B)P(B)(7)条件概率①条件概率:就是事件A在另一个事件B已经发生条件下的发生概率。记作:P(A|B),读作:在B条件下A的概率10.2 事件的相互独立性一、事件的相互独立性1.相互独立的定义:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称独立。2.性质:(1)A与B,B与A,A与B也相互独立。3.设两个相互独立事件A,B,它们同时发生的概率为P(AB)=P(A)P(B).10.3频率与概率一、频率与概率1.频率具有随机性:大量试验表明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有随机性。2.第170页共234页

128频率具有稳定性:一般地,对于给定的随机事件A,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fnA会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)。3.可以用频率fnA估计概率P(A)。二、随机模拟方法估计概率的步骤(1)建立概率模型(2)进行模拟试验(可用抽签法或随机数法)(3)统计试验结果(4)用频率估计概率选择性必修第一册知识点复习提纲第170页共234页

129第一章 空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.2 空间向量基本定理1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.4空间向量的应用第二章 直线和圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率2.2 直线的方程2.3 直线的交点坐标与距离公式2.4圆的方程2.5直线与圆、圆与圆的位置关系第三章 圆锥曲线的方程3.1椭圆第170页共234页

1303.2 双曲线3.3 抛物线第170页共234页

131第一章 空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算一、空间向量及其线性运算1.空间向量:与平面向量一样,在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量。AB(1)表示方法:空间向量可以用有向线段来表示。2.向量的模:向量的大小叫做向量的长度或模,有向线段的长度表示向量的模。如图:向量的起点是A,终点是B,则向量也可记作,其模记为||或||。3.特殊向量(1)零向量:我们规定,长度为0的向量叫做零向量,记为。(2)单位向量:模为1的向量。(3)相反向量:与向量长度相等而方向相反的向量,成为的相反向量,记为-(4)相等向量:方向相同且模相等的向量称为相等向量。因此,在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。5.空间向量的加法与减法运算BOAC(1)加法运算:①三角形定则(收尾相连:起点指向终点):+=。②平行四边形定则(同起点):+=。第170页共234页

132(2)减法运算:①三角形定则(同起点:箭头指向被减向量):-=。6.空间向量的加法运算满足交换律及结合律:(1)交换律:+=+(2)结合律:(+)+=+(+)二、空间向量的数乘运算1.数乘运算(1)定义:与平面向量一样,实数λ与空间向量的乘积λ仍然是一个向量,称为向量的数乘运算。(2)几何意义:①当λ>0时,λ与向量方向相同;②当λ<0时,λ与向量方向相反。λ的长度是长度的|λ|倍。(2)空间向量对的数乘运算满足分配率及结合律:①分配率:λ)=λ+λ②结合律:λ()=(λμ)2.共线向量(1)共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量。记作:∥(2)共线向量定理:对空间中任意的两个向量、(≠),∥的充要条件是存在实数λ,使=λ。第170页共234页

1333.方向向量APBlO(1)如图,l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线,对空间任意一点O,点P在直线l上的充分条件是存在实数t,使=+t,其中向量叫做直线l的方向向量。4.共面向量(1)定义:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量。(2)定理:①如果两个向量、不共线,那么向量与向量、共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x,y)使=x+yABPOC②如图,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y)使=x+y;或对空间任意一点O,有=+x+y。(3)四点共面的重要依据:若空间任意一点O和不共线的三点A、B、C满足向量关系式:=+y+z(其中x+y+z=1),则点P与点A、B、C共面。三、空间向量的数量积运算第170页共234页

134OAB1.两个向量夹角的定义:已知两个非零向量、,在空间中任取一点O,作=,=,则∠AOB叫做向量与的夹角,记作<,>2.如果<,>=,那么向量,互相垂直,记作:⊥(与任意向量相互垂直)3.空间向量的数量积:已知两个非零向量、,则||·||·cos<,>叫做的数量积,记作:即:=||·||·cos<,>(1)零向量与任何向量的数量积为0(2)特别地,=||·||·cos<,>=||2(3)的几何意义:的数量积等于的模与在上的投影||·cos<,>的乘积,也等于的模与在上的投影||·cos<,>的乘积。4.两个向量夹角的范围:通常规定:0≤<,>≤π,且<,>=<,>(1)当与共线且同向时,<,>=0(1)当与共线且反向时,<,>=π5.性质:第170页共234页

135(1)=||··cos<,>(2),则=0(3)||2=(4)cos<,>=(5)||≤||·||(6)-||·||≤≤||·||注:(反向:<,>=π)(同向:<,>=0)6.空间向量的数量积满足的运算律:(1)(λ)·=λ();(<,>不变)(2)=(交换律);(3)=+(分配率)。第170页共234页

1361.2空间向量基本定理一、空间向量基本定理1.定理内容:如果三个向量、、不共面,那么对空间任一向量,存在惟一的有序实数组{x,y,z},使得=x+y+z2.如果三个向量,,不共面,那么所有空间向量组成的集合就是{x,y,z∈R},这个集合可看作是由向量,,生成的。我们把{,,}叫做空间向量的一个基底,,,都叫做基向量。空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底。3.单位正交分解:特别地,如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示。4.正交分解:由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解。第170页共234页

137第170页共234页

1381.3空间向量及其运算的坐标表示一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系:在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴。这时我们就建立了一个空间平面直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分。zyxkji2.在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量OA,且点A的位置由向量OA唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA=xi+yj+zk3.在单位正交基底{i,j,k}下与向量OA对应的有序实数组(x,y,z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标。二、空间向量运算的坐标表示第170页共234页

1391.运算=(a1,a2,a3)(b1,b2,b3)(1)+=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)(2)-=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)(3)λ=(λa1,λa2,λa3)(4)=a1b1+a2b2+a3b3第170页共234页

1402.性质(1)∥=λa1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)(2))⊥=0a1b1+a2b2+a3b3=0(3)||==(4)cos<,>==(5)dAB=||=空间两点间的距离公式(6)若三点A、B、C共线,则|AC|=|AB|+|BC|(7)中点坐标P0(x1+x22,y1+y22,z1+z22)(8)对称坐标求法:(关于谁对称,谁不变,其余相反)P(x,y,z)关于x轴对称:P1(x,-y,-z)关于y轴对称:P2(-x,y,-z)关于z轴对称:P3(-x,-y,z)关于坐标平面xoy对称:P4(x,y,-z)关于坐标平面yoz对称:P5(-x,y,z)关于坐标平面xoz对称:P6(x,-y,z)第170页共234页

1411.4空间向量的应用一、用空间向量研究直线、平面的位置关系(一)空间中点、直线和平面的向量表示1.点的位置向量:在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示。我们把向量称为点P的位置向量。2.空间直线的向量表示式:=t①空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个顶点A以及一个定方向确定。如图,点A是直线l上任意一点P,一定存在实数t,使得=t。POl②空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定。如图,设这两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为和,P为平面α上任意一点,由平面向量基本定理可知,存在有序实数对(x,y),使得=x+y.3、平面向量的法向量的求法(1)平面向量的法向量的定义:已知平面内α,如果直线l⊥α,取直线l的方向向量,则向量叫做平面α的法向量,或者说向量与平面α正交。(2)求平面法向量的坐标步骤:第170页共234页

142①设平面的法向量为=(x,y,z)②找出平面内的两个不共线向量(a1,b1,c1),(a2,b2,c2)③根据法向量的定义建立方程组=0=0④解方程组,取其中一个解(一般令z=1),得到法向量第170页共234页

143(二)空间中直线、平面的平行1.线线平行:=λ直线l1、l2的方向向量=(a1,b1,c1)、=(a2,b2,c2)则l1∥l2∥=λa1=λa2、b1=λb2、c1=λc22.线面平行=0且l⊈α①设直线l的方向向量是=(x1,y1,z1),平面α的法向量=(x2,y2,z2),αl则l∥α⊥且l⊈α=0且l⊈αx1x2+y1y2+z1z2=0②在平面内找与直线l的方向向量共线。③证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量表示。αβ3.面面平行∥①线线平行线面平行面面平行②求出平面α,β的法向量,,证明∥(三)空间中直线、平面的垂直1.线线垂直=0αl①设直线l1、l2的方向向量为、,则=0l1⊥l22.线面垂直∥①设直线l的方向向量是,平面α的法向量,∥l⊥α第170页共234页

144αβ②平面内两条相交直线与直线l垂直线面垂直3.面面垂直=0①线线垂直线面垂直面面垂直②两平面内的法向量相互垂直第170页共234页

145二、用空间向量研究距离、夹角问题1.向量夹角和异面直线夹角①不同点:向量夹角的范围:0≤<,>≤π;异面直线夹角的范围:0<θ≤②相同点:当两向量夹角为锐角时,θ=<,>;当两向量夹角为时,则异面直线垂直;当两向量夹角为钝角时,θ=π-<,>③求法:设空间直线a,b的方向向量分别是,,两直线的夹角为θ,则|cosθ|=2.直线与平面的夹角的求法θ∈(0,]①定义:平面的斜线与它在平面上的射影所成的角叫这条斜线与平面所成的角。②范围:θ∈(0,]③求法:设直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为φ,则sinθ=|cosφ|=第170页共234页

146三、平面的夹角(二面角)的求法αβBAO1.二面角的平面角:过二面角α-l-β棱上任意一点O作垂直于棱l的平面,与面α,β的交线分别为OA,OB,那么∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角。2.二面角大小:指二面角的平面角的大小。3.二面角的取值范围:[0,π]4.二面角的向量求法αβαβBACD(1)若AB,CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是与的夹角。(2)设,是二面角的两个面α,β的法向量,则向量与的夹角(或其补角)大小就是二面角的平面角的大小。5.平面的法向量与两个平面夹角的关系:已知平面α和β的法向量分别为,(1)当0≤<,>≤时,平面α与β的夹角为<,>(2)当≤<,>≤π时,平面α与β的夹角为π-<,>四、立体几何中的向量方法1.求点与点之间的距离dAB=第170页共234页

1472.求点到直线的距离:已知一点B,直线l过点A,与l垂直的一个向量为,则B到直线l的距离为d==||·|cos<,>|3.点到平面的距离:已知平面α,其法向量为,在平面α上任取一点P。空间中一点A到平面α的距离为d==||·|cos<,>|4.异面直线的距离:两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段)的长度叫做两条异面直线的距离。第二章 直线和圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率一、倾斜角:直线L与X轴相交,取X轴为基准,X轴正向与直线L向上方向之间所成的角α。[0°,180°)二、斜率:一条直线的倾斜角α的正切值。k=tanα1.斜率公式:直线过点P1(x1,y1),P2(x2,y2),(x1≠x2)的直线的斜率k=y2-y1x2-x1(=y1-y2x1-x2)2.直线情况:直线情况yxyxyxyxα大小(90°~180°)0°(0°~90°)90°第170页共234页

148k的取值k<0k=0k>0K不存在3.两条直线平行与垂直的判定(1)平行:L1:y1=k1x+b1①k1=k2L1∥L2或L1与L2重合L2:y2=k2x+b2②k1、k2不存在L1∥L2或L1与L2重合(2)垂直:L1:y1=k1x+b1①k1·k2=-1L1⊥L2L2:y2=k2x+b2②k1不存在,且k2=0时L1⊥L2第170页共234页

1492.2 直线的方程一、直线的点斜式方程1.点斜式方程:直线L过P0(x0,y0),k为斜率,由斜率公式得k=y-y0x-x0,变形得点斜式y-y0=k(x-x0)(1)当k=0时,y-y0=0,即y=y0(2)当k不存在时,x-x0=0,即x=x02.斜截式方程:直线L与y轴交点(0,b),k为斜率,由点斜式得y-b=k(x-0),变形得斜截式y=kx+b(1)直线L在y轴上的截距:与y轴交点的纵坐标。(2)适用范围:α≠90°,k≠π2。二、直线的两点式方程1.两点式方程:已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),(其中x1≠x2,y1≠y2),k=y2-y1x2-x1,任取P1(x1,y1),由点斜式得y-y1=y2-y1x2-x1(x-x1),变形得两点式y-y1y2-y1=x-x1x2-x12.截距式方程:已知直线L与x轴相交于(a,0),y轴相交于(0,b),a≠0,b≠0,(1)a,b同时存在(2)横截距:a(3)纵截距:b将两点代入两点式得y-0b-0=x-a0-a,变形得截距式xa+yb=1第170页共234页

150三、直线的一般是方程1.一般是方程:一般式Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)第170页共234页

1512.3 直线的交点坐标与距离公式一、两条直线的交点坐标1.两条直线L1:A1x+B1y+C1=0L2:A2x+B2y+C2=0(1)有唯一解:相交(2)无穷个解:重合(3)无解:平行2.直线系:具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系。(1)设直线L1:A1x+B1y+C1=0、L2:A2x+B2y+C2=0,则过直线L1和L2交点的直线系为m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0,(其中m,n为参数,m2+n2≠0)。可改写为(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0,(其中λ为实数)。二、两点间的距离1.过两点:P1(x1,y1),P2(x2,y2)距离公式|P1P2|=(x2-x1)2+(y2-y1)22.特殊情况(1)原点O(0,0)与任意一点P(x,y)距离:|OP|=x2+y2(2)当P1P2∥x轴(y1=y2)时,距离:|P1P2|=|x2-x1|(3)当P1P2∥y轴(x1=x2)时,距离:|P1P2|=|y2-y1|(4)当点P1,P2在直线y=kx+b上时,距离|P1P2|=1+k2·|x2-x1|第170页共234页

1523.平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。三、点到直线的距离1.点P0(x0,y0)到直线L:Ax+By+C=0距离距离公式d=|Ax0+By0+C|A2+B2(1)点P0(x0,y0)到x轴的距离:d=|y0|(2)点P0(x0,y0)到y轴的距离:d=|x0|(3)点P0(x0,y0)到x轴平行的直线y=a的距离:d=|y0-a|(4)点P0(x0,y0)到y轴平行的直线x=b的距离:d=|x0-b|第170页共234页

153四、两平行线间的距离1.直线L1:Ax+By+C1=0、L2:Ax+By+C2=0,L1∥L2,直线L2的任一点P(x0,y0)到直线L1的距离就是两平行直线L1与L2之间的距离。距离公式d=|Ax0+By0+C1|A2+B2=|C1-C2|A2+B2五、拓展1.点关于点的对称问题(1)若两点(x1,y1)、(x2,y2)关于点(x0,y0)对称,则线段AB的中点P(x1+x22,y1+y22)2.直线关于点的对称问题若两条直线L1,L2关于点P对称,则(1)L1上任意一点关于点P的对称点必须在L2上。(2)若L1∥L2,则点P到直线L1,L2的距离相等。(3)过点P任意一直线与L1,L2分别交于A,B两点,则点P是线段AB的中点。3.点关于直线的对称问题若A,B两点关于直线L对称,则L是线段AB的垂直平分线,则(1)直线AB与直线L垂直。(2)线段AB的中点在L上。(3)直线L上任意一点到A,B两点的距离相等。第170页共234页

1544.直线关于直线的对称问题若两直线L1,L2关于直线L对称,则(1)L1上任意一点关于直线L的对称点必在L2上。(2)过直线L上的一点P,且垂直于直线L,作一直线与L1,L2分别交于A,B两点,则点P是直线AB的中点。第170页共234页

1552.4圆的方程一、圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r21.点与圆的位置关系:(1)点在圆上:(x-a)2+(y-b)2=r2(2)点在圆外:(x-a)2+(y-b)2>r2(3)点在圆内:(x-a)2+(y-b)2<r2二、圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=01.变形:(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2-4F4(1)当D2+E2-4F>0时,表示圆。(2)当D2+E2-4F=0时,表示点。(3)当D2+E2-4F<0时,不表示任何图形。2.5直线与圆、圆与圆的位置关系第170页共234页

1561.直线与圆的位置关系(1)当d>r时,相离(2)当d=r时,相切(3)当d<r时,相交2.圆与圆的位置关系相交外切外离内切内含第170页共234页

157第三章 圆锥曲线的方程3.1椭圆一、椭圆及其标准方程abF1OcF2MXy1.椭圆:我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。①椭圆的交点:定点F1,F2②椭圆的焦距:两交点间的距离|F1F2|③椭圆的半焦距:焦距的一半OF1或OF22.椭圆的标准方程:x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)推理:由椭圆的定义,知椭圆就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}∵|MF1|=(x+c)2+y2|MF2|=(x-c)2+y2则(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a化简得x2a2+y2a2-c2=1化简过程:①移项得:(x+c)2+y2=2a-(x-c)2+y2②两边分别平方得:(x+c)2+y2=4a2-4a(x-c)2+y2+(x-c)2+y2整理得:a2-cx=a(x-c)2+y2③两边分别平方得:a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2整理得:(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)第170页共234页

158④两边同时除以a2(a2-c2)得x2a2+y2a2-c2=1∵2a>2c(三角形两边之和大于第三边)即a>c∴a2-c2>0令b=a2-c2得到x2a2+y2b2=1(a>b>0)(2)椭圆的标准方程:x2a2+y2b2=1(a>b>0)①椭圆的两个交点F1(-c,0),F2(c,0)由b=a2-c2解出c②椭圆的焦距|F1F2|=2a③椭圆的半焦距|OF1|=|OF2|=a(3)若椭圆的交点F1,F2在x轴上,则椭圆方程为:x2a2+y2b2=1(a>b>0)若椭圆的交点F1,F2在x轴上,则椭圆方程为:y2a2+x2b2=1(a>b>0)①判断方程:看x2,y2项的分母大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上(“谁大在谁上”)3.椭圆的定义可用集合表示为:P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}|F1F2|=2c(a,c为常数)(1)a>c:集合P为椭圆。(3)a0,n>0,m≠n)第170页共234页

159二、椭圆的简单几何性质标准方程:x2a2+y2b2=1(a>b>0)1.取值范围:x∈[-a,a]y∈[-b,b]A2XyA1B1B2O2.对称性:轴对称图形(坐标轴),中心对称图形(原点),椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。3.顶点(确定椭圆的具体位置):椭圆与它的对称轴的交点。A1(-a,0)A2(a,0)B1(0,-b)B2(0,b)长轴:A1A2(|A1A2|=2a)长半轴长:a短轴:B1B2(|B1B2|=2b)短半轴长:b4.离心率(e=ca):我们把椭圆的焦距与长轴长的比ca称为椭圆的离心率,用e表示。①e的大小描述了椭圆的扁平程度。②离心率的取值范围:(0,1)③e越接近1,则c就越接近a,从而b=a2-c2越小,椭圆越扁;反之,E越接近0,则c就越接近0,从而b越接近a,椭圆越接近圆。第170页共234页

160BF1F2A二、关于椭圆的拓展1.通径:过椭圆焦点与长轴垂直的直线截椭圆弦长叫通径。|AB|=2b2aF1F2P2.焦点三角形的面积:S△F1PF2=b2tan∠F1PF223.椭圆第二定义:平面内的点M到一个定点F(c,0)的距离与它到定直线x=±a2cx=-a2cF(c,0)M(x0,y0)x=a2cd(准线)的距离d的比为一个常数e(0

1613.2 双曲线一、双曲线及其标准方程F2XyF1cOM1.双曲线:把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹。①焦点:这两个定点F1、F2②焦距:焦点间的距离|F1F2|2.双曲线的标准方程:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)(1)推理:由双曲线定义,双曲线就是集合P={M||MF1|-|MF2|=2a}|MF1|=(x+c)2+y2|MF2|=(x-c)2+y2∴(x+c)2+y2-(x-c)2+y2=±2a化简得x2a2-y2c2-a2=1,由定义知2c>2a,∴c2-a2>0令c2-a2=b2,得x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)(2)焦点:F1(-c,0)F2(c,0)焦距:|F1F2|=2c3.双曲线的标准方程(“谁正在谁上”)①焦点在x轴上:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)c2=a2+b2②焦点在y轴上:y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)c2=a2+b2第170页共234页

1624.双曲线方程的统一形式:mx2+ny2=1(mn<0)第170页共234页

163二、双曲线的简单几何性质标准方程:x2a2-y2b2=1(a>b>0)1.取值范围:x≤-a或x≥a(x2≥a2)F2(c,0)XyF1(-c,0)OB1B2A1A2(-a,0)(a,0)(0,b)(0,-b)2.对称性:原点、x轴、y轴(双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。)3.顶点:双曲线与它的对称轴x轴的两个交点。A1(-a,0)A2(a,0)令x=0,得y2=-b2没有实数根,所以双曲线和y轴没有交点。把B1(0,-b)B2(0,b)画在y轴上:实轴:A1A2(|A1A2|=2a)长实轴长:a虚轴:B1B2(|B1B2|=2b)短虚轴长:b(c2-a2=b2)4.渐近线:矩形的两条对角线。y=±bax无限接近不相交5.离心率(e=ca,c>a>0,e>1):我们把双曲线的焦距与实轴长的比ca称为椭圆的离心率,用e表示。含义:ba=c2-a2a=(ca)2-1=e2-1①当e∈(1,+∞)时,ca∈(0,+∞),且e增大,ba也增大。E增大时,渐近线与实轴的夹角增大(斜率)。②e表示双曲线开口大小的一个量,e越大,开口越大。第170页共234页

1646.等轴双曲线:实轴=虚轴的双曲线(a=b时)。x2-y2=m(m≠0)渐近线为y=±1第170页共234页

165二、关于双曲线的拓展1.关于直线与双曲线的交点:①该直线为渐近线,则没有交点。②平行于渐近线,则有一个交点。③与渐近线不平行,则没有交点。2.双曲线焦点F到渐近线的距离为b3.任意双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0),焦点三角形的面积:S△F1PF2=b2cotθ2=b21tanθ24.求双曲线的方程方法:①若已知有共同焦点,则设曲线方程为:x2a2-λ-y2b2-λ=1解出λ。②若已知渐近线,则设曲线方程为:x2a2-y2b2=λ(λ≠0)解出λ。F2XyF1OM5.定义F2XyF1OM|MF1|-|MF2|=2a(0<2a<|F1F2|)第170页共234页

166图像方程x2a2-y2b2=1y2a2-x2b2=1焦点F(±c,0)F(0,±c)abc关系a2=c2-b2a2=c2-b23.3 抛物线一、抛物线及其标准方程F(P2,0)XyOMH(-P2,0)x=-p2d1.抛物线:我们把平面内与一个顶点F和一条直线l(不过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线。①焦点:F(P2,0)②准线:直线l:x=-p22.抛物线的标准方程:y2=2Px(P>0)(1)推理:设点M(x,y)是抛物线上任意一点,点M到直线l的距离为d,由抛物线的定义。抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}。第170页共234页

167因为|MF|=(x-P2)2+y2,d=|x+P2|,所以(x-P2)2+y2=|x+P2|两边分别平方化简,得y2=2Px(P>0)。(2)焦点:F(P2,0)(3)准线方程:x=-P2yOFlyx3.双曲线yOFlyx图形标准方程焦点坐标准线方程y2=2Px(P>0)(P2,0)x=-P2y2=-2Px(P>0)(-P2,0)x=P2yOFlyxx2=2Py(P>0)(0,P2)y=-P2yOFlyxx2=-2Py(P>0)(0,-P2)y=P2(1)相同点:顶点为原点;对称轴为坐标轴;顶点到焦点的距离=顶点到准线的距离=P2(2)不同点:一次项变量为x(或y),则对称轴为x(或y);二次项系数为正(或负),则开口指向正(或负)方向。4.与抛物线只有1个交点的直线:①y轴②与x轴平行③相切的直线第170页共234页

168F(P2,0)XyOM(x0,y0)B(-P2,0)x=-p2A二、抛物线的简单几何性质:y2=2Px(P>0)1.性质:(1)范围:M(x,y)x≥0(2)对称性:关于x轴对称(抛物线的轴)(3)顶点:抛物线和它的轴的交点(原点)(4)离心率:e=1,抛物线上的点M到焦点F的距离和它到准线的距离比。(5)焦半径:抛物线上一点与焦点的连线的线段长:|MF|=x0+P2(6)通径:通过抛物线的焦点F作垂直于x轴的直线,交抛物线于A、B两点,线段AB叫做抛物线的通径。|AB|=2P(7)焦点弦:过焦点的直线与抛物线相交所得的线段。(8)准焦距:准线与焦点的距离为P2.特点:(1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但无渐近线。(2)只有一条对称轴,无对称中心。(3)只有一个顶点,一个焦点,一条准线。第170页共234页

169(4)离心率是确定的,e=1。(5)P对抛物线开口的影响:P越大,开口越开阔(本质是成比例放大的)。第170页共234页

170三、拓展F(P2,0)XyOMB(x2,y2)x=-p2A(x1,y1)1.已知AB是抛物线y2=2Px(P>0)的焦点弦。且A(x1,y1)、B(x2,y2),点F是抛物线的焦点,M是AB的中点,过点A、B、M向抛物线的准线作垂线,垂足分别为A1、B1、M1。则有:A1(1)y1y2=-P2,x1x2=P24M1(2)|AB|=x1+x2+P=2Psin2α(α为直线AB的倾斜角)(3)以AB为直径的圆与准线l相切。B1(4)S△AOB=P22·sinα(5)1|AF|+1|BF|为定值2P(6)∠AM1B=∠A1FB1=90°第198页共234页

171第198页共234页

172选择性必修第二册知识点复习提纲汇编第四章 数列4.1数列的概念4.2 等差数列4.3 等比数列4.4数学归纳法第五章 一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义5.2 导数的运算5.3 导数在研究函数中的应用第198页共234页

173第198页共234页

174第四章 数列4.1数列的概念一、数列1.数列:按照一定顺序排列着的一列数称为数列。(1)项:数列中的每一个数叫做这个数列的项。(2)首项:数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)。(3)记法:排在第n位的数称为这个数列的第n项。所以,数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,….简记为{an}。({}此时表示数列,而不是集合)2.数列的分类(1)按照数列的项数分:①有穷数列:项数有限的数列②无穷数列:项数无限的数列(2)按照数列的变化趋势分:①递增数列:从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列。②递减数列:从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列。③常数列:各项都相等的数列。第198页共234页

175④摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列。3.数列与数集:数列是按照一定顺序排列的一列数。数集则是无序的。第198页共234页

1764.通项公式(1)数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})为定义域的函数an=f(x),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值。反过来,对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,…)有意义,那么我们可以得到一个数列nf(n)1a12a23a3······nan······f(1),f(2),f(3),…,f(n),…。数列是特殊的函数(离散函数)(2)如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式。5.递推法:如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列的递推公式。用递推公式给出数列的方法叫做递推法。6.数列的表示方法:图像、列表、公式、递推公式第198页共234页

1774.2等差数列一、等差数列1.等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。(后项-前项)(1)这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示。2.等差中项:由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。这时,A叫做a与b的等差中项。(1)求等差中项:d=an-an-1或d=an+1-an(2)a,A,b为等差数列,则有2A=a+b,得A=a+b23.等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d=(a1-d)+nd(类似一元一次方程)(1)推导:一般地,如果等差数列{an}的首项是a1,公差是d,我们根据等差数列的定义,可以得到a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,所以有a2=a1+d,a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d,a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d,……由此,得出等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=(a1-d)+nd第198页共234页

1784.关于等差数列的公式(1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(2)若m+n=2p,则am+an=2ap(3)若an=a1+(n-1)d,则an=am+(n-m)d(4)d=an−amn−m(5)若{an}为等差数列,公差为d,则数列ak,ak+m,ak+2m,…,公差为md5已知数列{an}的通项公式为an=pn+q,其中p,q为常数,那么这个数列一定是等差数列吗?解:取数列{an}中的任意相邻两项an与an-1(n>1)求差,得an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p,它是一个与n无关的常数,所以{an}是等差数列。第198页共234页

179二、等差数列{an}的前n项和:1.数列{an}的前n项和:一般地,我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和,用Sn表示,即Sn=a1+a2+a3+…+an。2.等差数列{an}的前n项和(1)推导:对于公差为d的等差数列,倒序相加求和Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d]①(第1项+…+第n项)Sn=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-1)d]②(第n项+…+第1项)由①+②,得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)=n(a1+an),由此得到等差数列{an}的前n项和的公式Sn=n(a1+an)2=项数(首项+末项)2代入等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,Sn也可以表示用首项a1与公差d表示,即Sn=na1+n(n−1)d2第198页共234页

1803.在等差数列{an}中。前n项和Sn的性质(1)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差数列,公差为m2d(2)等差数列{Snn},即数列Sm−1m−1,Smm,Sm+1m+1,公差为d2(3)ambm=S2m−1T2m−1(am,bm为等差数列,S、T为前n项和)4.裂项求和:设法将数列的每一项拆成两项(裂项),并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外,其余各项都能前后相消,进而可求出数列的前n项和。5.常见的裂项公式:(1)1n(n+1)=1n-1n+1(2)1n(n+k)=1k(1n-1n+k)(3)1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1-12n+1)(4)1n+k+n=1k(n+k-n)(5)1n(n+1)(n+2)=12[1n(n+1)-1(n+1)(n+2)]6.在等差数列{a2n}中,所有奇数项和为S奇=(a1+nd)(n+1)推导:S奇=a1+a3+a5+…+a2n-1+a2n+1①=a1+(a1+2d)+(a1+4d)+…+(a1+2nd-2d)+(a1+2nd)第198页共234页

181S奇=a2n+1+a2n-1+…+a3+a1②=(a1+2nd)+(a1+2nd-2d)+…+(a1+2d)+a1①+②得,2S奇=(2a1+2nd)(n+1)所以S奇=(a1+nd)(n+1)第198页共234页

1824.2等比数列一、等比数列1.等比数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列。(1)这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0)。(2)等比中项:若a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项。则有Ga=bG,G2=ab(a,b同号)G=±ab2.等比数列{an}的通项公式:an=a1qn-I(q≠0)推导:an=amqn-m,公比为q=anam3.已知Sn和an的关系,在n≥2时,往往得到an与an-1的关系4.M=ab,是a,M,b为等比数列的既不充分也不必要条件5.证明数列为等比数列常用的方法:(1)定义法:an+1an=anan−1=q(q为常数,n≥2)(2)等比中项法:an+12=an·an+2(an≠0,n∈N*)(3)通项法:an=a1qn-16.等比数列性质:(1)若m+n=q+p,则am·an=ap·aq第198页共234页

183(2)若m,n,p,为等差数列,则am、an、ap为等比数列。(3)若a1、a2、…、an-1、an为等比数列,则a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…(4)若{an}是公比为q的等比数列,则{λan}(λ为常数)、{|an|}、an仍为等比数列,公比分别为q、|q|、q。(5)若{an}、{bn}是公比分别为p、q的项数相同的等比数列,则{an·bn}、{anbn}仍为等比数列,公比分别为pq、pq。(6)若{an}是公比为q的等比数列,且an>0,则{logcan}是以logcq为公差的等差数列。(7)若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列{Can}是公比为Cd的等比数列。7.关于等比数列{an}的单调性:(1)单调递增:①a1>0,q>1时②a1<0,0<q<1时(2)单调递减:①a1>0,0<q<1时②a1<0,q>0时(3)常数列:q=1时(4)摆动数列:q<0时8.求等比数列时的设项方法:(1)三个数:aq、a、aq公比为q(2)四个数:aq3、aq、aq、aq3公比为q2>0第198页共234页

1849.求等差数列时的设项方法:(1)三个数:a-d、a、a+d公差为d(2)四个数:a-3d、a-d、a+d、a+3d公差为2d二、等比数列的前n项和1.公式的推理:数列{an}的前n项和:一般地,对于等比数列a1,a2,a3,…,an,的前n项和是Sn=a1+a2+a3+…+an,根据等比数列的通项公式,得错位相减法Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1①,如果用公比q乘①的两边,可得qSn=a1q+a1q2+…+a1qn②,用①-②得:(1-q)Sn=a1-a1qn所以,得Sn=a1(1−qn)1−q(q≠1)2.等比数列的前n项和的公式:(代入通项公式)Sn=a1(1−qn)1−q=a1−anq1−q(q≠1)Sn=na1(q=1)3.性质:(1)Sn,S2n–Sn,S3n–S2n为等比数列,那么公比为qn。第198页共234页

185(2)等比数列{an}项数为2n,则S偶S奇=q。证明:当q≠1时,S偶=a2+a4+…+a2n=a2[1−(q2)n]1−q2①.S奇=a1+a3+…+a2n-1=a1[1−(q2)n]1−q2②.则用①②=S偶S奇=a2a1=q.当q=1时,显然成立。(3)若{an}为等比数列,则Sn=Aqn+B,且A+B=0证明:Sn=a1(1−qn)1−q=a11−q(1−qn)=a11−q-a11−q·qn=-a11−q·qn+-a11−q三、数列求和的常用方法1.错位相减法:等比数列(形如an=bn·Cn,且{bn}为等差数列,{Cn}为等比数列。)2.倒序相加法:等差数列3.并项求和法:(摆动数列)4.裂项相消法:(把数列的通项拆成两项之差求和,正负项相消,剩下首尾若干项。)(形如:1n(n+1)=1n-1n+1等)5.分组求和法:(形如:an=bn+Cn,{bn}、{Cn}同为等差数列或等比数列。)例:设x≠0,求和Sn=(x+1x)2+(x2+1x2)2+…+(xn+1xn)2解:Sn=(x2+2+1x2)+(x4+2+1x4)+…+(x2n+2+1x2n)=2n+(x2+x4+…+x2n)+(1x2+1x4+1x2n)当x2=1即x=±1时,Sn=2n+n+n=4n当x2≠1时,Sn=2n+x2(1−x2n)1−x2+1x2(1−1x2n)1−x2第198页共234页

1866.求an的方法:(1)观察法(规律)(2)公式法(直接)(3)已知Sn求an(an=Sn-Sn-1,n≥2,验证n=1时是否成立)例3:数列{an}的前n项和Sn=32an-3,求an.解:当n=1时,a1=S1=32a1-3,得a1=6当n≥2时,an=Sn-Sn-1=32an-32an-1,化简得anan−1=3所以{an}为等比数列,an=6×3n-1=2×3n,此时n=1时亦成立,所以an=2×3n。(4)构造法(形如an+1=p·an+q)变换为an++1+x=p(an+x)形式后求q例4:已知a1=3,an+1=2an+3,求an解:化为an+1+x=2(an+x)形式∴an+1=2an+x∴x=3于是有an+1+3=2(an+3),∴q=2,∴{an+3}是以a1+3=6为首项,公比为2的等比数列∴an+3=6×2n-1,∴an=3(2n-1)(5)累加法(形如an+1-an=f(n))第198页共234页

187例5:已知数列{an}中,a1=1,且an+1-an=3n-n,求an解:∵an+1-an=3n-n∴an-an-1=3n-1-(n-1)an-1-an-2=3n-2-(n-2)…a3-a2=32-2a2-a1=3-1两边分别相加:an-a1=(3n-1+3n-2+…+3)-[(n-1)+(n-2)+…+1]=3(1−3n−1)1−3-n(n−1)2·(-1)从而可以解出an(6)累乘法(形如an+1an=f(n))例6:已知a1=1,an+1an=n+2n,求an解:∵an+1an=n+2n所以anan−1=n+1n−1an−1an−2=nn−2…a3a2=42a2a1=31两边分别相乘:ana1=n(n+1)2,∵a1=1,∴an=n(n+1)2,a1亦成立∴an=n(n+1)2(7)作商法第198页共234页

188(形如a1·a2·a3…an=f(n))当n=1时,an=f(1)当n≥2时,an=f(n)f(n−1)例7:在{an}中,a1=1,有a1·a2·a3…an=n2,求a3+a5解:a1·a2·a3…an=n2①a1·a2·a3…an-1=(n-1)2②∴①②得an=(nn−1)2∴a3+a5=6116(8)倒数法例8:在{an}中,a1=1,an=an−13an−1+1,求an.解:∵an=an−13an−1+1∴1an=3an−1+1an−1=3+1an−1即{1an}为首项为1,公差为3的等差数列。∴1an=1+(n-1)·3=3n-2∴an=13n−2第198页共234页

1894.4数学归纳法一、数学归纳法1.数学归纳法:一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0属于N*)时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。2.归纳法的分类:归纳法是由一些特殊事例推出一般结论的推理方法其中特点是“特殊→一般”(1)不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫作不完全归纳法(2)完全归纳法:把研究对象一一都考察到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法。例1:用数学归纳法证明:13+23+…+n3=14n2n+12(n∈N*)证明:①当n=1时,左边=13=1,右边=14×12×1+12=1,等式成立。②假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即13+23+…+k3=14k2k+12,那么13+23+…+k3+k+13=14k2k+12+k+13=k+1214k2+k+1=14k+12k+22=14(k+1)2[k+1+1]2第198页共234页

190即当n=k+1时,等式也成立。根据①②可知,等式对任意n∈N*都成立。第198页共234页

191第五章 一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义一、变化率问题1.平均变化率:△y△x=f(x2)−f(x1)x2−x12.瞬时变化率:一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0+△x的平均变化率在△x→0时的极限,即lim△x→0△y△x=lim△x→0f(x0+△x)−f(x0)△x3.函数f(x)在x=x0处的导数:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y'|x=x0,即f'(x0)=lim△x→0△y△x=lim△x→0f(x0+△x)−f(x0)△x二、导数的概念及其几何意义1.函数y=f(x)在x=x0处的导数就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即K=f'(x0)=lim△x→0f(x0+△x)−f(x0)△x2.导函数:从求函数y=f(x)在x=x0处的导数的过程可以看到,当x=x0时,f'(x0)第198页共234页

192是一个确定的数。这样,当x变化时,f'(x)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数(导数)。即f'(x)=y'=lim△x→0f(x0+△x)−f(x0)△x第198页共234页

1935.2导数的运算一、基本初等函数的导数(一)、几个常用函数的导数1.函数y=f(x)=c的导数:△y△x=f(x+△x)−f(x)△x=c−c△x=0,所以y'=lim△x→0△y△x=lim△x→00=02.函数y=f(x)=x的导数:△y△x=f(x+△x)−f(x)△x=x+△x−x△x=1,所以y'=lim△x→0△y△x=lim△x→01=13.函数y=f(x)=x2的导数:△y△x=fx+△x−fx△x=x+△x2−x2△x=x2+2x·△x+(△x)2−x2△x=2x+△x,所以y'=lim△x→0△y△x=lim△x→02x+△x=2x4.函数y=f(x)=1x的导数:△y△x=fx+△x−fx△x=1x+△x−1x△x=x−x+△xxx+△x△x=−1x2+x·△x,所以y'=lim△x→0△y△x=lim△x→0−1x2+x·△x=−1x25.函数y=f(x)=x的导数:△y△x=fx+△x−fx△x=x+△x−x△x=(x+△x−x)(x+△x+x)△x(x+△x+x)=1x+△x+x,所以y'=lim△x→0△y△x=lim△x→01x+△x+x=12x(二)、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1.导数公式函数导函数f(x)=cf'(x)=0第198页共234页

194f(x)=xa(a∈Q*)f'(x)=axa-1f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=-sinxf(x)=axf'(x)=axlna(a>0)f(x)=exf'(x)=exf(x)=logaxf'(x)=1xlna(a>0,a≠1)f(x)=lnxf'(x)=1x二、导数的四则运算法则[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)[f(x)·g(x)]'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)[f(x)g(x)]'=f'(x)·g(x)−f(x)·g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0)三、简单复合函数的导数第198页共234页

1951.复合函数:一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x))。(1)复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为:yx'=yu'·ux'=f'(u)·g'(x)(2)求复合函数的导数:例①:求函数y=(2x+3)2的导数:解:函数y=(2x+3)2可以看作函数y=u2和u=2x+3的复合函数,根据复合函数求导法则有:yx'=yu'·ux'=(u2)'·(2x+3)'=4u=8x+12第198页共234页

1965.3 导数在研究函数中的应用一、函数的单调性1.一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:在某个区间(a,b)内,①如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;②如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减;2.求函数单调区间的步骤:①求出函数定义域及f'(x);②解f'(x)>0,f'(x)<0并与定义域求交集;③确定单调区间。3.已知函数y=f(x),x∈[a,b]的单调性,求参数的取值范围的步骤:①求导数y=f'(x);②转化为f'(x)≥0或f'(x)≤0在x∈[a,b]上恒成立问题;③由不等式恒成立求参数范围;④验证等号是否成立。4.证明不等式g(x)>φ(x)[或g(x)≥φ(x)]成立,可构造函数f(x)=g(x)-φ(x),后利用导数研究函数f(x)>0[或f(x)≥0],从而得不等式g(x)>φ(x)[或g(x)≥φ(x)]成立。例①:当x>0时,证明不等式ln(x+1)>x-12x2.证明:设f(x)=ln(x+1),g(x)=x-12x2.F(x)=f(x)-g(x),则F(x)=ln(x+1)-x+12第198页共234页

197x2.函数F(x)的定义域为(-1,+∞),则F'(x)=1x+1−1+x=x2x+1,当x>0时,F'(x)>0恒成立,则函数F(x)在(0,+∞)上是单调递增函数,故F(x)>F(0)=0,从而f(x)>g(x),即ln(x+1)>x-12x2。第198页共234页

198二、函数的极值与最大(小)值1.极值点:极大值点、极小值点2.极值:一般地,求函数y=f(x)的极值的方法是:解方程f'(x)=0,当f'(x0)=0时:①极大值:如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值;②极小值:如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极小值;3.求函数f(x)极值的步骤:①求函数的定义域②求函数的导数f'(x)③令f'(x)=0,求出全部的根x④列表⑤判断得结论4.不等式恒成立(或有解)与函数最值间的转化关系:①不等式a≥f(x)恒成立:a≥f(x)的最大值;②不等式a≤f(x)恒成立:a≤f(x)的最小值;③不等式a≥f(x)有解:a≥f(x)的最小值;④不等式a≤f(x)有解:a≤f(x)的最大值。5.一般地,求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:①求函数y=f(x)在[a,b]内的极值第231页共234页

199②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。选择性必修第三册知识点复习提纲汇编第六章计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第231页共234页

2006.2排列与组合6.3二项式定理第七章随机变量及其分布7.1条件概率与全概率公式7.2离散型随机变量及其分布列7.3离散型随机变量的数字特征7.4二项分布与超几何分布7.5正态分布第八章成对数据的统计分析8.1成对数据的相关关系8.2一元线性回归模型及其应用第231页共234页

2018.3分类变量与列联表第231页共234页

202第六章计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、分类加法计数原理:完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方案,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。二、分布乘法计数原理:完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。(1)无论第1步采用哪种方法,都不影响第2步方法的选取。三、区别于联系分类加法计数原理分类乘法计数原理本质每类方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次性的且每次得到的是最后结果,只需一种方法就可完成这件事。任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事。第231页共234页

203关系分类互斥分步互依第231页共234页

2046.2排列与组合一、排列1.排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。2.排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号Anm表示。3.排列数公式:Anm=nn−1n−2···n−m+1其中,n,m∈N*且m≤n4.全排列:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列。这时公式中m=n,即有Anm=nn−1n−2···3·2·15.阶乘:n个不同元素全部取出的排列数,等于正整数1到n的连乘积。正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示。所以n个不同元素的全排列数公式可以写成Anm=n!规定0!=16.排列数公式的阶乘表示:Anm=AnnAn−mn−m=n!(n−m)!(1)公式推理:Anm=nn−1n−2···n−m+1=nn−1n−2···n−m+1n−mn−m−1···3·2·1n−mn−m−1···3·2·1第231页共234页

205=n!n−m!=AnnAn−mn−m7.性质:Anm=nAn−1m−1Anm=mAn−1m−1+An−1m第231页共234页

206例1:求3A8x=4A9x−1中的x.解:3·8!(8−x)!=4·9!(10−x)!化简3·8!(8−x)!=4·9·8!(10−x)(9−x)(8−x)!得90-19x+x2=12,解得x=13或x=6又x≤8且x-1≤9,即x≤8,所以x=6.例2:求证:Anm+mAnm−1=An+1m证明:左边=n!n−m!+m·n!n−m+1!=n!n−m+1+m·n!n−m+1!=n!n+1n−m+1!=n+1!n−m+1!=右边8.拓展有些排列问题中,某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)方法:(1)整体法:即若m+n个元素排成一列,其中m个元素之间的先后顺序确定不变,将这m+n个元素排成一列,有Am+nm+n种不同的排法;然后任取一个排列,固定其他n个元素的位置不动,把这m个元素交换顺序,有Amm种排法,其中只有一个排列是我们需要的,因此共有Am+nm+nAmm种满足条件的不同排法。(2)插空法:即m个元素之间的先后顺序不变,因此先排列这m个元素,只有一种排法,然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空当中。例1:7人排成一列,甲必须在乙的后面(可不相邻),有2520种不同的排法第231页共234页

207解:A77A22=2520例2:用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数,若1,3,5,7的顺序一定,则有210个七位数符合条件。解:A77A44=210二、组合1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。2.组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号Cnm表示。3.组合数公式:Cnm=AnmAmm=nn−1n−2···n−m+1m!=n!m!(n−m)!m,n∈N∗,m≤n规定Cn0=14.组合数的性质:Cnm=Cnn−mC85=C83Cn+1m=Cnm+Cnm−1C74=C64+C63第231页共234页

2085.解方程注意验根:(1)当Cnx=Cny时,y=x或x+y=n。(n≥x,n≥y,x,y∈N∗)第231页共234页

2096.3二项式定理一、二项式定理1.二项式定理:(a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b1+Cn2an−2b2+···+Cnkan−kbk+···+Cnnbn(n∈N∗)2.特点(1)各项的次数都等于二项式的幂指数n。(2)字母a按降幂排列,字母b按升幂排列。(3)展开式共有n+1项,比二项式的次数多1。3.二项式系数:Cnk,k∈{0,1,2,…,n}4.二项展开式的通项:Cnkan−kbk,它是展开式的第k+1项,可用Tk+1表示,即Tk+1=Cnkan−kbk.例1:求(2x−1x)6的展开式.解:(2x−1x)6=(2x−1x)6=1x3(2x−1)6=1x3[2x6−C612x5+C622x4−C632x3+C642x2−C652x1+C66]=1x3(64x6−6·32x5+15·16x4−20·8x3+15·4x2−6·2x+1第231页共234页

210=64x3−192x2+240x−160+60x−12x2+1x3例2:求(1+2x)7的展开式的第4项的系数解:T3+1=C7314(2x)3=280x3系数为280第231页共234页

211例3:求(x−1x)9的展开式中x3的系数.解:Tn+k=C9kx9−k(−1x)k=(−1)kC9kx9−2k当9-2k=3时,即k=3时,x3的系数为(−1)3C93=−84例4.:求(x−y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数.解:(x+y)8的通项公式:Tr+1=C8rx8−ryrT8=T7+1=C87xy7=8xy7,T7=T6+1=C86x2y6=28x2y6所以含x2y7的项为:x·8xy7−y·28x2y6=−20x2y7x2y7的系数为-205.二项式的特定项:(1)常数项:令通项中变元的指数为零。(2)有理项:令未知量的指数为整数。(3)中间项:①n为偶数,中间项为第n2+1项。②n为奇数,中间项为第n+12项和n+12+1项(4)求最大项:设第k+1项系数Tk+1最大,则满足Tk+1≥Tk且Tk+1≥Tk+2。二、二项式系数的性质第231页共234页

2121.(a+b)n展开式的二项系数a+b111a+b2121a+b31331a+b414641a+b515101051a+b616152015612.规律(1)在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的两个二项式系数相等。(2)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和Cn+1r=Cnr+Cnr−1。3.作用:可直观地看出二项式系数的性质,同时当二项式乘方次数不大时,可借助它直接写出各项的二项式系数。rf(r)4.对于(a+b)n展开式的二项系数Cn0,Cn1,Cn2,···,Cnn,将此看作Cnr是以r为自变量的函数f(r),其定义域是{0,1,2,…,n}。(1)对称性第231页共234页

213(2)增减性与最大值(3)各二项式系数的和5.二项式系数的性质性质内容对称性Cnm=Cnn−m,即二项展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。增减性与最大值如果二项式的幂指数n是偶数,那么展开式中一项的二项式系数最大。如果n为奇数,那么其展开式中间两项的二项式系数相等且同时取得最大值。Cnn−12=Cnn+12二项式系数的和二项展开式各二项式系数的和等于2n,即(1+x)2=2n=Cn0+Cn1+Cn2+···+Cnn。奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和,都等于2n−1即Cn1+Cn3+Cn5+···=Cn2+Cn4+Cn6+···=2n−1。第七章随机变量及其分布7.1条件概率与全概率公式一、条件概率第231页共234页

2141.条件概率:一般地,设A,B为两个事件,且P(A)>0,称PBA=PABPA为在事件A发生的条件下,事件B发生的概率。PBA读作A发生的条件下B发生的概率。(1)性质:①任何事件的条件概率都在0和1之间,即0≤PBA≤1②如果B和C是两个互斥事件,则PB∪CA=PBA+PCA2.条件概率求法公式:PBA=P(AB)P(A)=n(AB)n(A)PAB=PAB·PB=PBA·P(A)二、全概率公式1.全概率公式:一般地,设A1,A2,……,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪……∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,……,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=i=1nPAiPBAi我们称上面的公式为全概率公式,全概率公式是概率论中最基本的公式之一。2.贝叶斯公式:设A1,A2,……,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪……∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,……,n,则对任意的事件B⊆Ω,P(B)>0有PAiB=PAiPBAiPB=PAiPBAik=1nPAkPBAk,i=1,2,…,n第231页共234页

215第231页共234页

2167.2离散型随机变量及其分布列一、离散型随机变量1.随机变量:在随机实验中,确定了一个对应关系,使得每一个实验结果都能用一个确定的数字表示,在这个对应关系下,数字随着实验结果(自变量)的变化而变化。随机变量常用X,Y,ξ,η…表示。2.离散型随机变量:可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称之为离散型随机变量。通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z。二、离散型随机变量的分布列1.概率分布列:一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,Xi,我们称X取每一个值Xi的概率P(X=Xi)=Pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列。(1)离散型随机变量X的概率分布列:(简称X的分布列)Xx1x2…xi…xnPP1P2…Pi…Pn(2)性质:①离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。②第231页共234页

217Pi≥0(i=1,2,…,n)i=1nPi=1(3)表示方法:①表格法(分布列)②解析式法(P(X=xi)=pi)③图像法(条形统计图)2.两点分布X01P1-PP(1)两点分布:若随机变量X的分布列具有右表的形式,则称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率。第231页共234页

218(2)性质:①一般地,在只有两个结果的随机试验中,用0表示事件不成功,1表示事件成功,即随机变量的取值只有0和1两个,故又称为0-1分布。②两点分布应用广泛,如抽取的彩票是否中奖。③试验结果只有两个可能性,且其概率之和为1。7.3离散型随机变量的数字特征一、离散型随机变量的均值1.离散型随机变量的均值:一般地,若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…xnpn为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。2.性质:性质若Y=aX+b,其中a,b是常数(X是随机变量),则Y也是随机变量,且有E(aX+b)=aE(X)+b第231页共234页

219特例a=0时,E(b)=b,即常数的均值就是这个常数本身。a=1时,E(X+b)=E(X)+b,即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数的和。b=1时,E(aX)=aE(X),即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量均值的乘积。①结论:E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)②若随机变量X服从两点分布,则有E(X)=p.③若X~B(n,p),则E(X)=np二、离散型随机变量的方差1.离散型随机变量的方差:设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则(xi−EX)2描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值EX的偏离程度。①方差:DX=i=1n(xi−E(X))2pi②标准差:DX(记作σX)σ(西葛马)第231页共234页

2202.意义:反映随机变量的取值的离散程度。方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;反之,越分散。3.离散型随机变量X加上一个常数b,仅仅使X的值产生一个平移,不改变X与其均值的离散程度,方差保持不变,即D(X+b)=D(X)4.离散型随机变量X乘以一个常数a,其方差变为原方差的a2倍,即D(aX)=a2D(X)5.性质:①D(aX+b)=a2D(X)②若X服从两点分布,则DX=p(1-p)③若X~B(n,p),则DX=np(1-p)第231页共234页

2217.4二项分布与超几何分布一、二项分布1.伯努利试验:我们把只包含两个可能结果的实验叫做伯努利试验。2.我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机实验成为n重伯努利试验。显然,n重伯努利试验具有如下共同特征:(1)同一个伯努利试验重复做n次;(2)各次实验的结果相互独立。3.二项分布:一般地,在n重伯努利试验中,设每次实验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为PX=k=Cnkpk1−pn−k,k=0,1,2,…,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p)由二项式定理,容易得到k=0nP(X=k)=k=0nCnkpk(1−p)n−k=[p+(1−p)]n=1二、超几何分布1.第231页共234页

222超几何分布:一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品,从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=CMkCN−Mn−kCNn(k=m,m+1,m+2,…,r)其中n,N,M∈N∗,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布X01…mPCM0CN−Mn−0CNnCM1CN−Mn−1CNn…CMmCN−Mn−mCNn2.设随机变量X服从超几何分布,则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中,不放回地随机抽取n件产品中的次品数。令p=MN,则p是N件产品的次品率,而Xn是抽取的n件产品的次品率,我们猜想EXn=p,即E(X)=nP.3.特点:①超几何分布描述了由有限个物体中抽取n个物件,成功抽出指定种类的物件的次数。②抽取过程是不放回的。7.5正态分布一、正态曲线1.正态曲线:fx=1σ2πe−(x−μ)22σ2,x∈R其中实数μ∈R,σ>0为参数。第231页共234页

223显然,对任意的x∈R,f(x)>0,它的图像在x轴的上方,可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1,我们称fx为正态密度函数,称它的图像为正态分布密度曲线,简称正态曲线。2.正态分布:若随机变量X的概率密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2)特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布。(1)正态分布完全由参数μ和σ确定①标准正态分布:μ=0,σ=1②参数μ的意义:μ就是随机变量X的均值。E(X)=μ③参数σ的意义:σ就是随机变量X的标准差。D(X)=σ2(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率:P(μ-σ

224质②曲线是单峰的,它关于x=μ对称③曲线在x=μ处达到峰值1σ2π,并且由此处向左右两边延伸时,曲线逐渐降低,呈现“中间高,两边低”的形状。④曲线与x轴之间的面积为1。μ=0μ=1μ=-1yxO⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定。曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图。yxOσ2=1σ1=0.5σ3=2⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定。σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图。第231页共234页

225第八章成对数据的统计分析8.1成对数据的相关关系一、变量的相关关系1.相关关系:两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度的关系。2.函数关系与相关关系的异同点:(1)相同点:均为两个变量之间的关系。(2)不同点:相关关系:非确定,函数关系:确定。3.正相关(负相关):从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加(减少)的趋势,称这两个变量正相关(负相关)。4、两个变量的线性相关(1)散点图这些点大致分布在通过散点图中心(x,y)的一条直线附近。第231页共234页

2265.线性相关:如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫回归直线。(1)一般地,如果两个变量具有相关性,但不是线性相关,那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关。第231页共234页

227二、样本相关系数1.对于变量x和变量y,设经过随机抽样获得的成对样本数据为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn的均值分别为x和y.将数据以(x,y)为零点进行平移,得到平移后的成对数据为(x1−x,y1−y),(x2−x,y2−y),…,(xn−x,yn−y),并绘制散点图。2.利用散点(xi−x,yi−y)(i=1,2,…,n)的横、纵坐标是否同号,可以构造一个量Lxy=1nx1−xy1−y+x2−xy2−y+…+(xn−x)(yn−y)(1)一般情形下,Lxy>0表明成对样本数据正相关;Lxy<0表明成对样本数据负相关。3.样本相关系数:为了消除度量单位的影响,需要对数据做进一步的“标准化”的处理,仿照Lxy的构造方法得到r=1nx1’y1’+x2’y2’+…+xn’yn’=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2i=1nyi−y2我们称r为变量x和变量y的样本相关系数。(1)样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征,它的正负性和绝对值的大小可以反映出成对样本数据的变化特征①当r>0时,称成对样本数据正相关;②当r<0时,称成对样本数据负相关。(2)样本相关系数r的取值范围:-1≤r≤1第231页共234页

228(3)当|r|=1时,表明成对样本数据(xi,yi)都落在直线上,即两个变量之间满足一种线性关系。(4)样本相关系数的意义:r的绝对值反映成对数据之间线性相关的程度。(5)当|r|越接近1时,成对数据的线性相关程度越强;当|r|越接近0时,成对数据的线性相关程度越若。第231页共234页

2298.2一元线性回归模型及其应用一、一元线性回归模型1.Y关于x的一元线性回归模型:&Y=bx+a+e&E(e)=0,D(e)=σ2(1)Y称为因变量或响应变量,x称为自变量或解释变量;(2)a和b为模型的未知参数,a称为截距参数,b称为斜率参数;e是Y与bx+a之间的随机误差。二、一元线性回归模型参数的最小二乘估计1.经验回归方程:y=bx+a&b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2=i=1nxiyi−nx·yi=1nxi2−nx2&a=y−b·x记x=1ni=1nxi,y=1ni=1nyi我们将y=bx+a称为Y关于x的经验回归方程,也称经验回归函数或经验回归公式,其图形称为经验回归直线,这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法,求得的b,a叫做b,a的最小二乘估计。2.残差分析(1)对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值,通过经验回归方程得到的y称为预测值第231页共234页

230,观测值减去预测值称为残差。残差是随机误差的估计结果,通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果,以及判断原始数据中是否存在可疑数据等,这方面工作称为残差分析。(2)残差的散点图:比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内,则满足一元线性回归模型对随机误差的假设。第231页共234页

231(3)R2=1−i=1n(yi−yi)2i=1n(yi−y)2,在R2表达式中,i=1n(yi−y)2与经验回归方程无关,残差平方和i=1n(yi−yi)2与经验回归方程有关。3.一元线性回归方程一定过样本中心点(x,y)4.在使用经验回归方程进行预测时,需注意:(1)经验回归方程只适用于我们所研究的样本的总体。(2)我们所建立的经验回归方程一般都有时间性。(3)在样本数据中的响应变量的取值范围内,经验回归方程的预报效果好。(4)不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值。8.3分类变量与列联表一、分类变量与列联表1.分类变量:在讨论问题时,为了表述方便,常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为分类变量。2.2×2列联表:表是关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2第234页共234页学科网(北京)股份有限公司

232列联表:最后一行的前两个数分别是事件{Y=0}和{Y=1}的频数;最后一列的前两个数分别是事件{X=0}和{X=1}的频数;中间的四个数abcd是事件{X=x,Y=y}(x,y=0,1)的频数;n是样本容量。XY合计Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合计a+cb+dn=a+b+c+d3.两个分类变量之间关联关系的定性分析的方法(1)频率分析法:通过对样本的每个分类变量的不同类别事件发生的频率大小进行比较来分析分类变量之间是否有关联关系。(2)图形分析法:常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征。二、独立性检验1.提出零假设(原假设)H0第234页共234页学科网(北京)股份有限公司

233:分类变量X和Y独立,假定我们通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表,在列联表中,如果零假设H0成立,则应满足aa+b≈cc+d,即ad-bc≈0,。因此|ad-bc|越小,说明两个分类变量之间关系越弱;反之,越强。为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准,基于上述分析,我们构造一个随机变量x2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)2.临界值:对于任何小概率值α,可以找到相应的正实数xa,使得P(x2≥xa)=α成立,我们称xa为α的临界值,这个临界值可作为判断x2大小的标准,概率值α越小,临界值xa越大。第234页共234页学科网(北京)股份有限公司

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文

此文档下载收益归作者所有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。
最近更新
更多
大家都在看
近期热门
关闭