湖北省武汉中学2022-2023学年高二5月月考数学Word版

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武汉中学2023—2024学年度高二五月月考数学试卷试卷满分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．将甲、乙、丙、丁四名同学随机分配到三个会议中心担任志愿者，每个会议中心至少有一名同学，且每名同学只去一个会议中心，则甲和乙没有被分配到同一会议中心的概率为（    ）A．B．C．D．2.设，随机变量的分布01则当在内增大时，（    ）A．增大，增大B．增大，减小C．减小，增大D．减小，减小3.已知变量x，y的关系可以用模型y=c·ekx拟合，设z=lny，其变换后得到一组数据如下：x16171819z50344131由上表可得线性回归方程z=−4x+a，则c=  (    )A.−4B.e−4C.109D.e1094. 我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没.三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件A表示选出的两种中至少有一药，事件B表示选出的两种中有一方，则A.B.C.D.5.已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为（    ）A．B．C．D．

16.数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，且，则数列的前n项和（）A．B．C．D．7.现有3道四选一的单选题，学生李明对其中的2道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题答对的概率为0.8，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，若每题答对得5分，不答或答错得0分，则李明这3道题得分的期望为(    )A.9310B.374C.394D.211208.若1a=π1πb=313c=e(其中e为自然对数的底数)，则a，b，c的大小关系是(    )A.c

2A.n=6B.a1+a2+a3+⋯+an−1=120C.(1+2x)n展开式中二项式系数和为729D.a1+2a2+3a3+⋯+nan=32111.下列命题中，正确的命题是(    )A.已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，则p=23B.已知P(A)=13，P(AB)=34，P(AB)=12,则P(B)=23C.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)=p，则P(−1<ξ<0)=12−pD.某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X~B（10，0.7），当X=7时概率最大．12.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，A、B分别为双曲线的左，右顶点，F1、F2为左、右焦点，|F1F2|=2c，且a，b，c成等比数列，点P是双曲线C的右支上异于点B的任意一点，记PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列说法正确的是(    )A.当PF2⊥x轴时，∠PF1F2=30°B.双曲线的离心率e=1+52C.k1k2为定值1+52D.若I为△PF1F2的内心，满足S△IPF1=S△IPF2+xS△IF1F2(x∈R)，则x=5−12三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标，且，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记表示的瓷砖片数，则______．14.下列命题中错误的是_____．①将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，期望与方差都不变；②残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高；③在一组样本数据（不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为；④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．若某人吸烟，则他有的可能性患肺病．⑤甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好；

315.中国古典乐器一般按“八音”分类，八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”.某同学安排了包括“土、匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为          ．16.已知a>0，不等式(x+1)1−aex+1−aln(x+1)≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立，则实数a的取值范围为          ．四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(10分)某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得-10分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．(1)求至少回答正确一个问题的概率；(2)求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列及这位挑战者闯关成功的概率．18．(12分)某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：语文成绩合计优秀不优秀数学成绩优秀503080不优秀4080120合计90110200(1)根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？(2)在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计的值.

4(3)现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望.附：19．(12分)如图，在三棱柱中，．（1）证明：；（2）若，且，求二面角的正弦值．20.(12分)设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和．证明：．21.已知椭圆的上顶点为，过点且与轴垂直的直线被截得的线段长为.(1)求椭圆的标准方程﹔

5(2)设直线交椭圆于异于点的两点，以为直径的圆经过点线段的中垂线与轴的交点为，求的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=ae−x+lnx−1(a∈R)．(1)当a≤e时，讨论函数f(x)的单调性：(2)若函数f(x)恰有两个极值点x1，x2(x1

6武汉市部分重点中学2022—2023学年度下学期期中联考高二数学试卷参考答案及评分标准一、二选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.题号123456789101112答案CADCCBABACDABACDBCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.14.　三15.16.四、解答题：共70分.17.（10分）解：(1)f'(x)=3x2−12x+a，∵x=1是函数fx的一个极值点，       ∴f'(1)=−9+a=0，  ∴a=9，··········2分∴f'(x)=3x2−12x+9=3x2−4x+3=3x−1x−3，令f'x>0，解得x<1或x>3；令f'x<0，解得1

719.（12分）解：(1)当n=1时，a1=S1=（a1+12）2，∴a1=1，········1分当n≥2时，an=Sn−Sn−1=（an+12）2−（an−1+12）2得4an=an2−an−12+2(an−an−1)an2−an−12−2(an+an−1)=0∴(an+an−1)(an−an−1−2)=0由已知，数列{an}各项均为正数得an−an−1=2，∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列，········5分∴an=2n−1；········6分(2)由(1)知，an=2n−1，则bn=1an+1an+1+1=12n2n+2=141n−1n+1，∴Tn=141−12+12−13+...+1n−1n+1=141−1n+1=n4n+1，·······8分∴Tn+1−Tn=n+14n+2−n4n+1=14n+1n+2>0，∴{Tn}单调递增，∴Tn⩾T1=18，∵Tn=n4n+1<14，∴18≤Tn<14，使得m−2

8=1200⋅lnx+12+60000x+1150所以关于的函数关系式为y=1200⋅lnx+12+60000x+1150，x∈0,1200········5分（2）y′=1200x+12−60000x2=1200×x2−50x+12x+12x2=1200×（x+10）(x−60)x+12x2令y′=0，即(x+10)x−60=0，解得x=−10（舍）或x=60······7分当00，函数单调递增；所以当x=60时，y有最小值，········9分且ymin=1200⋅ln60+12+6000060+1150=1200×ln72+2150又ln72=ln8×9=ln8+ln9=3ln2+2ln3≈3×0.69+2×1.1=4.27∴ymin=1200×4.27+2150=7274（万元）········11分所以需新建120060−1=19个线塔才能使工程费用有最小值，最小值为7274万元.········12分20.（12分）解：(1)由题意知：c=3．根据椭圆的定义得：2a=(−3−3)2+(12)2+12，即a=2，b2=4−3=1，所以椭圆C的标准方程为x24+y2=1．········4分（2）由题意设直线l的方程为y=kx+m(m≠0)，联立y=kx+mx24+y2=1，消元得(4k2+1)x2+8kmx+4m2−4=0，当△=64k2m2−16(4k2+1)(m2−1)>0，即4k2−m2+1>0时满足题意，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则x1+x2=−8km4k2+1，x1⋅x2=4m2−44k2+1，········6分|PQ|2+2OP⋅OQ=(OQ−OP)2+2OP⋅OQ=|OP|2+|OQ|2=2+34(x12+x22)=2+24k2m2−6m2+24k2+6(4k2+1)2=2+6m2(4k2−1)+6(4k2+1)(4k2+1)2，若|PQ|2+2OP⋅OQ为定值，则上式与m2无关，故4k2−1=0，得k=±12，········8分

9此时|PQ|=k2+1(x1+x2)2−4x1x2=4k2+1×4k2+1−m21+4k2=5×2−m2．又点O到直线l的距离d=|m|1+k2=2|m|5，所以S△OPQ=12×d×|PQ|=|m|⋅2−m2≤m2+2−m22=1，当且仅当|m|=2−m2，即m=±1时，等号成立．经检验，此时△>0成立，所以△OPQ面积的最大值为1． ········12分22.（12分）解：(1)当a=1时，f(x)=ex−sinx−1，f′(x)=ex−cosx,当x∈[0,π]时，ex≥e0=1，−1≤cosx≤1，所以f′(x)≥0．所以f(x)在[0,π]上单调递增，········2分f(x)≥f(0)=e0−0−1=0，∴f(x)在[0,π]上只有一个零点x=0.········4分(2)①当时，对任意的，，设，则，所以在上单调递增，又，所以，因为，所以，满足题意；·······8分②当时，，，所以在上单调递增，又，，所以在上有唯一的零点，且当时，，所以在上单调递减，又，所以当时，，从而不能恒成立，不合题意，舍去；综上所述，实数a的取值范围为.·······12分

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