宁夏银川市第二中学2021-2022学年高二下学期期末考试数学（理） Word版含解析

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银川二中2021-2022学年高二年级第二学期期末考试理科数学试题注意事项：1.本试卷共22小题，满分150分.考试时间为120分钟.2.答案写在答题卡上的指定位置.考试结束后，交回答题卡.一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.已知集合A={x|–11}，则A∪B=A.（–1，1）B.（1，2）C.（–1，+∞）D.（1，+∞）【答案】C【解析】【分析】根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵，∴，故选C.【点睛】考查并集的求法，属于基础题.2.下列函数中，在区间上单调递增的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分别判断各函数的单调性，得出答案．【详解】对于A，在区间上单调递增，故正确；对于B，区间上单调递减，故错误；对于C，在区间上单调递减，故错误；对于D，在区间上单调递减，故错误；故选：A

13.设，则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】等价于，故推不出；由能推出．故“”是“”的必要不充分条件．故选B．【点睛】充要条件的三种判断方法：(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．4.下列命题为真命题的是（）A.且B.或C.，D.【答案】D【解析】【分析】根据且命题、或命题、存在命题、全称命题的真假性质逐一判断即可.【详解】因为是假命题，所以选项A中命题是假命题；因为、都是假命题，所以选项B中命题是假命题；因为，所以选项C中命题是假命题；因为当时，恒成立，所以选项D中命题是真命题，故选：D

25.若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A.（0，]B.（0，）C.[0，]D.[0，）【答案】D【解析】【分析】根据题意将问题转化为二次型不等式恒成立问题，结合对参数的讨论，根据即可求得结果.【详解】要满足题意，只需在上恒成立即可.当时，显然满足题意.当时，只需，解得.综上所述，故选：.【点睛】本题考查二次型不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.6.设函数，则（　　）A.9B.11C.13D.15【答案】B【解析】【分析】首先根据自变量所属的范围，结合题中所给分段函数的解析式，代入求得结果.【详解】∵函数，∴=2+9=11．故选B．【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数，求分段函数的给定自变量的函数值，属于简单题目.7.函数的单调增区间为（）

3A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据对数复合函数的单调性，结合二次函数的单调性、对数型函数的定义域进行求解即可.【详解】由，二次函数的对称轴为：，所以二次函数的单调递增区间为，递减区间为，而函数是正实数集上的减函数，根据复合函数的单调性质可知：函数的单调增区间为，故选：C8.已知函数，则函数（）A.是奇函数，且在上单增B.是奇函数，且在上单减C.是偶函数，且在上单增D.是偶函数，且在上单减【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义，得到函数为奇函数，再结合指数函数的图象与性质，得到函数是增函数，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数为奇函数，又由，根据指数函数的图象与性质，可得函数和都是增函数，所以函数是增函数.

4故选：A9.设f(x)奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先把x<0，转化为-x>0,代入可得，结合奇偶性可得.【详解】是奇函数，时，．当时，，，得．故选D．【点睛】本题考查分段函数奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．10.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（）A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6【答案】C【解析】【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.【详解】由，当时，，则.故选：C.11.若，则（）

5A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式的形式，结合指数函数的单调性和单调性的性质进行求解即可.【详解】设函数，因为函数都是实数集上的增函数，所以函数也是实数集上的增函数，由，故选：A12.已知函数的定义域为R，且，则（）A.B.C.0D.1【答案】A【解析】【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，

6所以．故选：A．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由，联想到余弦函数和差化积公式，可设，则由方法一中知，解得，取，所以，则，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故选：A．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数的值域是__________.【答案】【解析】【分析】根据指数函数的单调性，结合定义域，即可得答案.

7【详解】因为指数函数在上为单调递减函数，所以当x=-3时，函数有最大值为，当x=1时，函数有最小值为.所以值域为.故答案：14.函数的图象恒过定点_____________.【答案】（1,3）【解析】【分析】根据指数函数的性质，即可得答案.【详解】令，可得，所以，即图象恒过定点（1,3）.故答案为：（1,3）15.若函数在上单调递增，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数的特征，可求得的取值范围．【详解】∵函数在上单调递增，∴函数在区间上为增函数，∴，解得，∴实数的取值范围是．

8故答案为．【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根据函数在上单调递增得到在定义域的每一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题．16.定义在上的奇函数满足是偶函数，且当时，，则__________.【答案】【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及已知条件，求得的周期性；再根据函数的周期性，结合奇偶性即可求得函数值.【详解】是定义在上的奇函数，，函数是定义在上的偶函数，，，可得，则的周期是，；故答案为：.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.已知函数，且.（1）作出函数的图象，求的单调递减区间；（2）若方程只有一个实数根，求的取值范围.【答案】（1）图象见解析，单调递减区间是[2，4]；（2）(－∞，0)∪(4，＋∞).【解析】【分析】（1）运用代入法，结合绝对值的性质、数形结合思想进行求解即可；（2）利用数形结合思想进行求解即可.【小问1详解】因为f(4)＝0，所以4|m－4|＝0，即m＝4.

9f(x)＝x|x－4|＝f(x)的图象如图所示：f(x)的单调递减区间是[2，4]；【小问2详解】从f(x)的图象可知，当a>4或a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一个交点，方程f(x)＝a只有一个实数根，即a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞).18.设命题实数满足（）；命题实数满足（1）若且p∧q为真，求实数的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【详解】(1)由得，又，所以，当时，，即为真时实数的取值范围为.为真时等价于，故实数的取值范围是，若为真，则真真，所以实数的取值范围是.（2）是的充分不必要条件,等价于是的充分不必要条件，设，，则是A的真子集；

10则，且，等号不同时取得，所以实数的取值范围是.19.已知二次函数满足且.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）求在上最小值的表达式.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由，可设函数式为，代入求得，得函数解析式；（Ⅱ）由对称轴是，即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，按，，分类，分别求得最小值，得分段函数．【详解】（Ⅰ）因为，所以令二次函数为：又因为，，∴，，∴．（Ⅱ）因为对称轴为：，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，若在当时，

11当时，当时，综上可得.【点睛】本题考查求二次函数解析式，方法是待定系数法，考查求二次函数在给定区间上最值，必须按对称轴与区间的关系分类求解．20.函数，，若对任意的，都有成立.（1）求函数的最小值；（2）求的取值范围.【答案】（1）|k－2|（2）【解析】【分析】（1）根据绝对值的三角不等式，即可得答案.（2）分析可得求即可，根据解析式，作出图象，结合函数的性质，可得，所以可得|k－2|≥，根据绝对值不等式的解法，即可得答案.【小问1详解】因为g(x)＝|x－k|＋|x－2|≥|x－k－(x－2)|＝|k－2|，所以【小问2详解】对任意的，都有成立，即观察f(x)＝的图象，结合函数性质可得，

12当x＝时，函数所以|k－2|≥，解得k≤或k≥.故实数k的取值范围是21.已知函数，其中a是大于0的常数．(1)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；(2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）对，利用导数研究单调性，再利用复合函数的单调性进行求解；（2）对任意恒有，只要求出的最大值即可，利用导数研究的最值.【详解】(1)设，当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，g′(x)＝1－因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，所以f(x)在[2，＋∞)上是增函数．则.；(2)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0.即对x∈[2，＋∞)恒成立．所以a>3x－.令h(x)＝3x－，x∈[2，＋∞)．由于在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2.故a>2时，恒有f(x)>0.因此实数a的取值范围为(2，＋∞)．【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有利用函数单调性求函数的最值，根据恒成立求参数的取值范围，将恒成立问题转化为最值问题，属于简单题目.

1322.已知定义在R上的函数f(x)＝2x－，（1）若f(x)＝，求x的值；（2）若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）1；（2）[－5，＋∞).【解析】【分析】（1）化简去掉绝对值，直接进行带值计算即可；（2）求出代入，构造指数函数，利用指数函数的图像及性质对恒成立求解.【详解】（1）当x<0时，f(x)＝0，故f(x)＝无解；当x≥0时，f(x)＝2x－，由2x－，得2·22x－3·2x－2＝0，将上式看成关于2x的一元二次方程，解得2x＝2或2x＝，因为2x>0，所以2x＝2，所以x＝1.（2）当t∈[1，2]时，，即m(22t－1)≥－(24t－1)，因为22t－1>0，所以m≥－(22t＋1)，因为t∈[1，2]，所以－(22t＋1)∈[－17，－5]，故实数m的取值范围是[－5，＋∞).【点睛】本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力；解答本题的关键是整体代入求值.属于中档题.

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