甘肃省永昌县第一高级中学2021届高三上学期期末考试数学（文）Word版含解析

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甘肃省永昌县第一高级中学2020-2021学年高三第一学期期末数学试题（文科）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．1.若集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题首先可根据对数的相关性质得出集合，然后通过求解一元二次不等式得出集合，最后根据并集的相关性质即可得出结果.【详解】因为集合，所以，，集合，因为，即，解得，所以集合，，故选：A.2.已知是虚数单位，则复数的实部和虚部分别为A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】先化简复数z,再确定复数z的实部和虚部.【详解】由题得，所以复数z实部和虚部分别为7和-3.故答案D【点睛】(1)本题主要考查复数的除法运算和复数的实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2)注意复数的实部是a,虚部是“i”的系数b，不包含“i-19-

1”,不能写成bi.3.已知，向量，，且，则（）A.B.2C.或2D.1或【答案】C【解析】【分析】由向量垂直得数量积为0，可解得．【详解】∵向量，且，∴，则或2，故选：C．【点睛】本题考查向量垂直与数量积的关系，掌握数量积的性质是解题关键．4.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（）附：A.10%B.20%C.50%D.100%【答案】B【解析】【分析】根据题意，计算出的值即可；【详解】当时，，当时，，因为所以将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了20%，故选：B.【点睛】本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.-19-

25.已知直线，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要【答案】B【解析】试题分析：，解得或，因此“”是“”的必要不充分条件．故选B．考点：两直线平行的充要条件．6.在等比数列中，，，则（）．A.0B.1C.2D.4【答案】C【解析】【分析】设等比数列的公比为，根据题中条件，求出，进而可求出首项.【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，则，因此，解得.故选：C.7.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若m2＋n＝4，则＝（）A.8B.4C.2D.1【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式可求n＝4cos218°，利用降幂公式，诱导公式和二倍角的正弦函数公式化简求解即可．-19-

3【详解】因为m＝2sin18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°.所以故选：C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式应用问题，是基础题．8.已知函数（其中为自然对数的底数），则图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，进而可得出函数的图象.【详解】，该函数的定义域为，且，令，可得，此时，函数单调递减；令，可得，此时，函数单调递增.所以，函数的极小值为.因此，函数的图象为C选项中的图象.故选：C.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号进行分析，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.9.我国南宋时期数学家秦九韶在其著作（数术九章》中提出了解决多项式求值的秦九韶算法，其程序框图如图所示，若输入，则输出的值为（）-19-

4A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，即可求解.【详解】由题意，输入，第1次循环，满足判断条件，；第2次循环，满足判断条件，；第10次循环，，不满足判断条件，输出运算结果.故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法进行求解，着重考查推理与运算能力，属于基础题.-19-

510.设分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，若，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得三角形为直角三角形，从而得到再结合双曲线的定义和离心率公式即可得到答案.【详解】由，可知,则由双曲线定义得即解得，故选A【点睛】本题考查双曲线的定义的应用，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.11.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）-19-

6A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合棱柱的几何特征可得或其补角为异面直线与所成角，再结合余弦定理即可得解.【详解】如图，连接，，，，四边形为平行四边形，，或其补角为异面直线与所成角，在中，由已知可得，，-19-

7．异面直线与所成角的余弦值为.故选：D.【点睛】本题考查了棱柱几何特征的应用及异面直线夹角的求解，考查了余弦定理的应用及运算求解能力，属于基础题.12.对于函数，有下列命题：①过该函数图象上一点的切线的斜率为；②函数的最小值为；③该函数图象与轴有4个交点；④函数在上为减函数，在上也为减函数.其中正确命题的序号是（）A.①④B.①②③C.①②④D.②③④【答案】C【解析】【分析】根据导数的方法，求出时的单调性与最值；根据二次函数的性质，确定时的单调性与最值，进而逐项判断，即可得出结果.【详解】当时，，，故，即①正确；由得；由得；所以在上单调递减，在上单调递增，故时，当时，在上单调递减，在上单调递增，故时，有最小值为；因为，所以的最小值为；即②④正确；-19-

8因为时，恒成立，且；时，与轴有个交点；故该函数图像与轴有个交点，故③错.即正确命题的序号是：①②④.故选：C.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数的方法求函数最值，单调性，以及函数零点问题，属于常考题型.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若实数满足则的最大值为___________.【答案】3【解析】【分析】根据不等式作出可行域，采用平移直线法求解出目标函数的最大值.【详解】作出可行域如下图所示：当目标函数经过点点时，有最大值，此时，所以，所以，所以，故答案为：.【点睛】本题考查利用线性规划求解目标函数的最值，其中涉及利用平移直线法寻找最值，难度较易.采用平移直线法求解最值时，要注意截距与最值的关系.14.已知等差数列的前项和为，且，则______.-19-

9【答案】【解析】【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，求出，再由等差数列的求和公式，根据等差数列的性质，即可求出结果.【详解】因为等差数列前项和为，且，由等差数列的性质可得，，所以，因此.故答案为：.15.已知函数的图象恒过定，若点在直线上，其中，则的最小值为____【答案】【解析】分析】先求得函数的图象恒过定点，代入直线的方程，得到，再结合基本不等式，即可求解.详解】由题意，函数，可得函数的图象恒过定点，又由点在直线上，可得，则，又因为，则，所以，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.-19-

10【点睛】本题主要利用基本不等式求最值问题，同时考查函数的图象过定点问题的应用，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”，准确运算时解答的关键，着重考查推理与运算能力.16.已知中，P在边上且，现以为折痕将折起，使得.若，则该三棱锥的外接球的体积是________；它的内切球的表面积是_________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】由题意可知，两两垂直，所以将三棱锥补成如图的长方体，则三棱锥的外接球为此长方体的外接球，设三棱锥内切球的半径为，设三棱锥的表面积为，则由可求出，从而可求出内切球的表面积【详解】解：因为，，所以两两垂直，所以将三棱锥补成如图的长方体，设三棱锥的外接球的半径为，则，解得，所以三棱锥的外接球的体积为，设三棱锥内切球的半径为，设三棱锥的表面积为，则，因为，所以，解得，所以三棱锥内切球的表面积为故答案为：，-19-

11【点睛】此题考查几何体的外接球和内切球问题，利用了补体法，考查数学转化思想，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知函数（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，求周长的最大值.【答案】（1）；（2）6.【解析】【分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式对函数化简，得，由可求出的单调递增区间；（2）由求出角，再由余弦定理结合基本不等式可求出，从而可得周长的最大值【详解】（1）由，得，所以的单调递增区间为-19-

12（2）因为，所以，因为，所以或，又因为所以，由余弦定理得，∴所以周长的最大值为6.【点睛】此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查余弦定理的应用，考查正弦函数的图像和性质，属于中档题18.某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关，得到的统计数据如下表：月份12345销量（百台）0.60.81.21.61.8（1）经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量（百件）与月份之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测6月份该商场空调的销售量；（2）若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查.假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：有购买意愿对应的月份789101112频数60801201308030现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率.参考公式与数据：线性回归方程，其中，.【答案】（1）；2.16（百台）；（2）【解析】-19-

13【分析】（1）由题意计算平均数与回归系数，写出线性回归方程，再利用回归方程计算对应的函数值；（2）利用分层抽样法求得抽取的对应人数，用列举法求得基本事件数，再计算所求的概率值．【详解】（1）因为，所以，则，于是关于的回归直线方程为.当时，（百台）.（2）现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，则购买意愿为7月份的抽4人记为，，，，购买意愿为12月份的抽2人记为，，从这6人中随机抽取3人的所有情况为、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共20种，恰好有2人是购买意愿的月份是12月的有、、、，共4种，故所求概率为.【点睛】本题考查了线性回归方程与列举法求古典概型的概率问题，是中档题．19.椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线的斜率为，求的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，由的周长为，求出，再根据离心率求出，进而可求出，从而可得椭圆方程；（2）先直线的方程为，，-19-

14，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，结合三角形面积公式，即可求出结果.【详解】（1）因为过的直线交椭圆于，两点，且的周长为，由椭圆的定义可得，所以，又，所以，，所以，所以椭圆的方程为；（2）设直线的方程为，，由消去，整理得，所以，，所以．所以．【点睛】思路点睛:求解圆锥曲线中的面积问题时，一般需要联立直线与曲线方程，结合韦达定理，弦长公式，以及三角形面积公式，（有时也需要点到直线距离公式），即可求解.20.如图，在多面体中，侧面是平行四边形，底面是等腰梯形，，，，顶点在底面内的射影恰为点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求四面体的体积.-19-

15【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由射影的概念可得平面，由线面垂直的性质可得，再由平面几何的知识可得，再由线面垂直的判定即可得证；（Ⅱ）由题意结合几何体的体积公式转化可得，计算即可得解.【详解】（Ⅰ）证明：因为顶点在底面内的射影恰为点，所以平面，又平面，所以，取的中点，连接，如图，因为底面是等腰梯形，，，，所以四边形为平行四边形，所以，所以为直角三角形，所以，又平面，，所以平面；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，则，连接，如图，因为侧面是平行四边形，底面是等腰梯形，，-19-

16所以.【点睛】本题考查了线面垂直的判定及几何体体积的求解，考查了空间思维能力与转化化归思想，牢记判定定理、合理转化条件是解题关键，属于中档题.21.已知函数．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）证明：当时，．【答案】（Ⅰ）分类讨论，详见解析；（Ⅱ）详见解析．【解析】【分析】（Ⅰ）求导后，分别在和两种情况下讨论导函数的正负，由此得到单调性；（Ⅱ）将所证不等式整理为，令，利用导数可确定在和时的正负，结合时，可证得结论.【详解】（Ⅰ）由题意得：的定义域为，.当时，则当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减；当时，则当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（Ⅱ）当时，，，-19-

17令，则，在上单调递增，又，当时，；当时，；当时，，；当时，，；当时，，，即.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、不等式的证明的问题；本题中证明不等式的关键是能够将所证不等式进行转化，将问题转化为新构造的函数的符号的确定问题.22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）已知点，若直线与曲线交于，两点，求的值．【答案】（1），；（2）4．【解析】【分析】（1）消去参数可得普通方程，由可化极坐标方程直角坐标方程；（2）由曲线的直角坐标方程知其为圆，得到圆心、半径，即为圆心，因此等于圆的直径．-19-

18【详解】（1）由题意有，＋，得，直线的普通方程为．因为，所以，两边同时乘以得，，因为，所以，即，∴曲线的直角坐标方程是．（2）直线过圆的圆心，∴，所以．-19-