重庆市缙云教育联盟2020-2021学年高一下学期期末质量检测数学Word版含答案

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重庆市2020-2021学年高一（下）年度质量检测数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在没每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列命题不正确的是()A.sinA>sinB，则A>BB.若sin2A=sin2B，则A=BπC.若A，B，C成等差数列，则B=3πD.若a:b:c=1:3:2，则C=22.已知复数z满足z(1−i)=4i，则|z|=()A.1B.2C.2D.223.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为()110101A.B.C.−D.−201010204.下列说法正确的有()−−①回归直线一定过样本点中心(x,y)；②我校高一、高二、高三共有学生4800人，其中高三有1200人.为调查学生视力情况，用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为200的样本，那么应从高三年级抽取40人；③若一组数据x1，x2，…xn的方差为5，则另一组数据x1+1，x2+1…，xn+1的方差为6；0+1×61+2×62=78．④把六进制数210(6)转换成十进制数为：210(6)=0×6A.①④B.①②C.③④D.①③5.北碚区在创建“全国文明城市”活动中大力加强垃圾分类投放宣传．某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”四种不同的垃圾桶．一天，居民小陈提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有两袋垃圾投对的概率为()

11111A.B.C.D.69342ab6.设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，若2acosB=b+c，则+的最小值为bcA.4B.23C.3D.22ba7.已知正实数a,b满足a+2b+log2a+log22b=0，若a+b≥mab恒成立，则正整数m的最大值是()24A.1B.2C.3D.42x−ax+1,x≥a,ππ8.已知a为正常数，f(x)=，若存在θ∈(,)，满足f(sinθ)=f(cosθ)，则实数a的取x2−3ax+2a2+1,x0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值可以是()111A.B.C.D.2432ππ10.将函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)=sin2x+的图象，则46下列说法正确的是()πA.φ=3B.函数f(x)的最小正周期为ππC.函数f(x)的图象关于点,0成中心对称3π5πD.函数f(x)的一个单调递减区间为−,121211.已知a,b,c分别是三角形ABC三内角A，B，C的对边，且满足(a+c−b)(a+b+c)=ac,b=3,则下列说法正确的是()A.B.333C.△ABC的面积最大值为D.△ABC的面积最大值为4412.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是()A.E为PA的中点πB.PB与CD所成的角为3C.BD⊥平面PAC

2D.三棱锥C−BDE与四棱锥P−ABCD的体积之比等于1:4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。513.已知复数ω满足ω−4=(3−2ω)i(i为虚数单位)，z=+|ω−2|.则一个以z为根的实系数一元二次方程为ω__________________．3ππ14.在四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠ABC=，∠ADC=，AB⊥AD，CB⊥CD，则对角线BD的44长为______．15.小明计划7月中旬去重庆参加会议，有飞机和火车两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别为0.95、0.8，若当天天晴则乘飞机，否则乘火车，天气预报显示当天天晴的概率为0.8.则小明能准时到达的概率为______；若小明当天准时到达，则他是乘火车去的概率为______.(结果保留两位小数)16.欲将一底面半径为3cm，体积为3πcm3的圆锥体模型打磨成一个圆柱体和一个球体相切的模具，如图所示，则打磨成的圆柱体和球体的体积之和的最大值为______cm3．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知集合A={x|x2−2x−3≤0,x∈R}，B={x|x2−2mx+m2−4≤0,x∈R,m∈R}．(1)若A∩B=[0,3]，求实数m的值；(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．18.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求B；(2)若，求sinC的值．19.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，

3112AD，BC上，且满足AE=AB，AF=AD，BG=BC，设AB=a，AD=b．333(1)用a，b表示EF，EG；(2)若EF⊥EG，AB⋅EG=2a⋅b，求角A的值．20.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AA1=BC=AB=2，AB⊥BC．(1)求四棱锥A1−BCC1B1的体积；(2)求二面角B1−A1C−C1的大小．21.2018年1月22日，依照中国文联及中国民间文艺家协会命名中国观音文化之乡的有关规定，中国文联、中国民协正式命名四川省遂宁市为“中国观音文化之乡”．如表为2014年至2018年观音文化故里某土特产企业的线下销售额(单位：万元)年份20142015201620172018线下销售额90170210280340为了解“祈福观音、永保平安”活动的支持度．某新闻调查组对40位老年市民和40位年轻市民进行了问卷调查(每位市民从“很支持”和“支持”中任选一种)，其中很支持的老年市民有30人，支持的年轻市民有15人．(1)从以上5年中任选2年，求其销售额均超过200万元的概率；(2)请根据以上信息列出列联表，并判断能否有85%的把握认为支持程度与年龄有关．2n(ad−bc)2附：K=，其中n=a+b+c+d(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参考数据：

4P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.010k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635g(x)+n22.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数，gx为指数函数且gx的图象过点2,4．−2g(x)−2(1)求fx的表达式；(2)若对任意的t∈−1,1.不等式ft2−2a+fat−1≥0恒成立，求实数a的取值范围；(3)若方程fx2+3x+f−ax−1=0恰有2个互异的实数根，求实数a的取值集合．★秘密·考试结束前重庆市2020-2021学年（下）年度质量检测高一数学答案及评分标准【命题单位：重庆缙云教育联盟】1.【答案】B【解析】

5【分析】本题考查命题的真假、正弦定理，二倍角，等差数列性质及其应用，属基础题．对选项逐一判断即可．【解答】解：A．sinA>sinB⇔a>b⇔A>B，故A正确．B.若sin2A=sin2B，则2A=2B，或，即得A=B或，故B错误．πC.若A，B，C成等差数列，则，则B=故C正确．3πD.若a:b:c=1:3:2，则a2+b2=c2，则C=，故D正确．2故选B．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数的四则运算，复数的模，属于基础题．根据复数的四则运算可求得z，即可求得|z|．【解答】4i4i1+i解：因为z(1−i)=4i，所以z===−2+2i，1−i2则|z|=(−2)2+22=22．故选D．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查利用空间向量求异面直线的夹角，考查运算求解能力，是中档题．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DE与AC所成角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD−A1B1C1D1中棱长为2，

6则D(0,0，0)，E(0,1，2)，A(2,0，0)，C(0,2，0)，DE=(0,1，2)，AC=(−2,2，0)，设异面直线DE与AC所成角为θ，|DE⋅AC|210则cosθ===．|DE|⋅|AC|5⋅81010∴异面直线DE与AC所成角的余弦值为．10故选B．4.【答案】A−−【解析】解：对于①，回归直线一定过样本点中心(x,y)，故①正确；对于②，我校高一、高二、高三共有学生4800人，其中高三有1200人．为调查学生视力情况，用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为200的样本，那么应从高三年级抽取50人，故②错误；对于③，若一组数据x1，x2，…xn的方差为5，则另一组数据x1+1，x2+1…，xn+1的方差为5，故③错误；对于④，把六进制数210转换成十进制数为：210=0×60+1×61+2×62=78，故④正确．(6)(6)故选：A．直接利用回归直线的方程，分层抽样，平均数和方差的关系，十进制和六进制的转换判断①②③④的结论．本题考查的知识要点：回归直线的方程，分层抽样，平均数和方差的关系，十进制和六进制的转换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”四种不同的垃圾桶．一天，居民小陈提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，基本事件总数n=4×3×2=24，其中恰好有两袋垃圾投对包含的基本事件个数m=3×2种m61则恰好有一袋垃圾投对的概率为P===．n244故选：D．先求得基本事件总数，再求得其中恰好有两袋垃圾投对包含的基本事件个数，由此能求出恰好有两袋垃圾

7投对的概率．本题考查概率的求法，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查余弦定理和基本不等式，属于中档题，a2+c2−b2a2c把cosB=代入，整理得：=1+，运用基本不等式即可求得最小值．2acb2b【解答】解：因为2acosB=b+c，a2+c2−b222由余弦定理可得2a⋅=b+c⇒a−b=bc2aca2c整理得：=1+b2ba2bcb所以()+=1++1+2=3，bcbccb当且仅当=，即b=c时，等号成立．bc故选：C．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查对数运算，基本不等式求最值，属于中档题．先求出2a+2b=1，进而得到mb·22b+a·2a，再利用基本不等式求b·22ba+a·22，即可解决．2ab2【解答】1解;因为正实数a，b满足a+2b+log2a+log22b=0，故a+2b=log2，2aba+2b1所以2=，2abbam2ba故+≥mab化为b·2+a·2，2a4b2又因为b·22b+a·2a2ab·2a+2b=2，当且仅当b·22b=a·2a，等号成立，m故2，即m22，2所以正整数m的最大值是2．

8故选B．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数的对称性判断，三角恒等变换，属于较难题．判断函数的单调性和对称性，根据对称性得出sinθ+cosθ=2a.结合θ的范围得出a的范围．【解答】解：∵a>0，∴f(x)在(−∞,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增，不妨设x>0，则f(a+x)=(a+x)2−a(a+x)+1=x2+ax+1，f(a−x)=(a−x)2−3a(a−x)+2a2+1=x2+ax+1，∴f(a+x)=f(a−x)，同理：当x<0时，上式也成立，∴f(x)的图象关于直线x=a对称，∵f(sinθ)=f(cosθ)，12π∴sinθ+cosθ=2a，即a=(sinθ+cosθ)=sin(θ+).224ππππ3π∵θ∈(,)，∴<θ+<，4224412π212∴1和01和0

9如图所示：111当a>1时不合题意；0

10π5π∴函数f(x)的递减区间为−+kπ,+kπk∈Z，1212π5π当k=0时，函数f(x)的递减区间为[−,]，故D正确；1212故选BD．11.【答案】BC【解析】【分析】此题考查了余弦定理、面积公式和基本不等式的应用，属中档题．2π利用余弦定理化已知得到B=，利用基本不等式得ac≤1，再利用面积公式即可求面积的最大值．3【解答】解：∵(a+c−b)(a+b+c)=ac，∴a2+c2−b2=−ac，a2+c2−b21∴cosB==−，2ac2∵B为三角形内角，2π∴B=；3∵b=3，b2=a2+c2+ac≥3ac(当且仅当a=c时取等号)，所以ac≤1，133△ABC的面积最大值为acsinB=ac，244故选BC．12.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查了直线与平面所成角，棱锥体积的求法，线面垂直的判定，以及线面平行的性质，考查运算求解能力，属于中档题．在A中，连结AC，交BD于点F，连结EF，则平面PAC∩平面BDE=EF，推导出EF//PC，由四边形ABCD是正方形，从而AF=FC，进而AE=EP；在B中，由CD//AB，得∠PBA(或其补角)为PB与CD所成角，推

11π导出PA⊥AB，从而PB与CD所成角为；在C中，推导出AC⊥BD，PA⊥BD，由此能证明BD⊥平面413113PAC；在D中，设AB=PA=x，则VP−ABCD=x，VC−BDE=VE−BCD=S△BCD⋅AE=x.由此能求出三棱锥C−3312BDE与四棱锥P−ABCD的体积之比等于1：4．【解答】解：在A中，连结AC，交BD于点F，连结EF，则平面PAC∩平面BDE=EF，∵PC//平面BDE，PC⊂平面PAC，∴EF//PC，∵四边形ABCD是正方形，∴AF=FC，∴AE=EP，故A正确；在B中，∵CD//AB，∴∠PBA(或其补角)为PB与CD所成角，∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，π在Rt△PAB中，PA=AB，∴∠PBA=，4π∴PB与CD所成角为，故B错误；4在C中，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵PA∩AC=A，PA、AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，故C正确；121213在D中，设AB=PA=x，则VP−ABCD=×AB×PA=x⋅x=x，3331112113VC−BDE=VE−BCD=S△BCD⋅AE=×x⋅x=x．3322121313∴VC−BDE：VP−ABCD=12x:3x=1：4，故D正确．故选：ACD．2−6x+10=013.【答案】x

12【解析】【分析】本题考查复数的乘除运算，考查复数的模长运算，考查实系数一元二次方程的根与系数的关系，属于中档题．根据条件可得ω=2−i，然后得到z=3+i.由实系数一元二次方程的两根z=3+i，z=3−i，即可得结果．【解答】解：∵复数ω满足ω−4=(3−2ω)i∴ω(1+2i)=4+3i，4+3i即∴ω==2−i，1+2i5故z=+|−i|=3+i．2−i若实系数一元二次方程有虚根z=3+i，则必有共轭虚根z=3−i，∵z+z=6,z·z=10，∴所求的一个一元二次方程可以是x2−6x+10=0．14.【答案】103ππ【解析】解：∵在四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠ABC=，∠ADC=，AB⊥AD，CB⊥CD，44即内角和为360°，A，B，C，D四点共圆，则AC2223π2=AB+BC−2⋅AB⋅BCcos=3−2×1×2×(−)=5，42，AC5设△ABC的外接圆半径为R，则2R=sin∠ABC=2=10，2∵AB⊥AD，CB⊥CD，故BD为圆的直径，所以BD=10．

13故答案为：10．直接利用余弦定理和正弦定理的性质，求出结果．本题考查正弦定理、余弦定理和四点共圆的性质，考查转化思想，属于中档题．15.【答案】0.92；0.17【解析】【分析】本题主要考查了互斥事件与对立事件的概率、独立事件同时发生的概率及条件概率，属于中档题．准时到达包含两种情况，分别求得相应的概率相加即可求解，根据条件概率求得准时到达的前提下小明乘火车去的概率即可．【解答】解：因为天气预报显示天晴的概率为0.8，则不天晴的概率为0.2，所以当天小明坐飞机准时到达的概率为0.95×0.8=0.76，当天小明乘火车准时到达的概率为0.8×0.2=0.16，由于小明坐飞机去与乘火车去是互斥事件，所以小明能准时到达的概率为0.76+0.16=0.92；因为小明乘火车准时到达的概率为0.16，小明准时到达的概率为0.92，0.16由条件概率知：小明是乘火车准时到达的概率为≈0.17．0.92故答案为：0.92；0.17．972π16.【答案】529【解析】解：如下轴截面图所示：

14设球的半径为r，圆锥的高为h，由圆锥的底面半径为3cm，1所以×3π×ℎ=3π，解得ℎ=3cm．3则△ABC，△AFG为等边三角形，故可得FH=3r，DE=3r，BE=3−3r，π∵B=，∴EF=3BE=3−3r，32432332∴圆锥体与球体体积之和为：V=π⋅(3r)⋅(3−3r)+πr=−πr+9πr，33则V′=−23πr2+18πr，18令V′=0，解得r=cm231818∴00，r>时，V′<0，232328972π3∴r=cm时，Vmax=cm，13529972π故答案为：．529本题通过实际问题转化为数学的内切圆柱以及内切球的模型，画出其切面图，列出相关体积与内切球半径的函数关系式通过求导得出结果．此题根据轴截面图，求出球体与圆柱的体积之和，利用导数求出函数的最大值，是解题的关键，属于难题．17.【答案】解：A={x|−1≤x≤3}，B={x|m−2≤x≤m+2}；(1)∵A∩B=[0,3]；m−2=0∴；m+2≥3∴m=2；

15(2)∁RB={x|xm+2}；∵A⊆∁RB；∴m−2>3或m+2<−1；∴m>5或m<−3；∴m的取值范围为(−∞,−3)∪(5,+∞)．m−2=0【解析】(1)可求出A={x|−1≤x≤3}，B={x|m−2≤x≤m+2}，根据A∩B=[0,3]即可得出，解m+2≥3出m即可；(2)可求出∁RB={x|xm+2}，根据A⊆∁RB即可得出m−2>3或m+2<−1，解出m的范围即可．考查描述法、区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，交集、补集的运算，以及子集的定义．18.【答案】解：(1)由正弦定理知，asin2B=3bsinA，∴2sinAsinBcosB=3sinBsinA，，，因为；，，∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB22311=×+×322326+1=．6【解析】本题考查正弦定理解三角形，两角和的正弦公式．(1)利用正弦定理，将边化角，即可得出cosB，即可求角B；(2)利用同角三角函数关系式可求出sinA，利用两角和的正弦公式计算即可求出sin(A+B)，即可求sinC．111119.【答案】解：(1)因为EF=EA+AF=−AB+AD=−a+b3333

162222EG=EB+BG=AB+BC=a+b，3333(2)若EF⊥EG，则EF·EG=0，1122即(−a+b)(a+b)33332222=−a+b=0，9922即a=b，所以a=b，22AB⋅EG=a⋅(a+b)33222=a+a⋅b=2a⋅b，332即a=2a·b221所以|a|=2|a|cosA，则cosA=，2π又因为，所以A=．3【解析】本题主要考查向量的向量的加法、减法、数乘运算，向量的数量积，向量垂直的判断，属于基础题．1122(1)根据题意得到EF=EA+AF=−AB+AD，EG=EB+BG=AB+BC即可；33332(2)EF⊥EG，则EF·EG=0，得到a=b，进而得到a=2a·b即可．20.【答案】解：(1)因为AB⊥BC，三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，所以AB⊥BCC1B1，从而A1B1是四棱锥A1−BCC1B1的高．18四棱锥A1−BCC1B1的体积为V=×2×2×2=33(2)如图(图略)，建立空间直角坐标系．则A(2,0，0)，C(0,2，0)，A1(2,0，2)，B1(0,0，2)，C1(0,2，2)，设AC的中点为M，∵BM⊥AC，NM⊥CC1，∴BM⊥平面A1C1C，即BM=(1,1，0)是平面A1C1C的一个法向量．设平面A1B1C的一个法向量是n=(x,y，z)，AC=(−2,2，−2)，A1B1=(−2,0，0)∴n⋅A1B1=−2x=0，n⋅AC=−2x+2y−2z=0，令z=1，解得x=0，y=1．n=(0,1，1)，设法向量n与BM的夹角为β，二面角B1−A1C−C1的大小为θ，显然θ为锐角．

17|n⋅BM|1π∵cosθ=|cosβ|==，∴θ=．|n||BM|23π二面角B1−A1C−C1的大小为3【解析】(1)证明AB⊥BCC1B1，说明A1B1是四棱锥A1−BCC1B1的高，然后求解四棱锥A1−BCC1B1的体积．(2)建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出BM=(1,1，0)是平面A1C1C的一个法向量．平面A1B1C的一个法向量利用向量的数量积求解二面角B1−A1C−C1的大小．本题考查二面角的平面角的求法，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．21.【答案】解：(1)分别记“2014年、2015年、2016年、2017年、2018年”为“a，b，c，d，e”从以上5年中任选2年，其基本事件为：(a,b)(a,c)(a,d)(a,e)(b,c)(b,d)(b,e)(c,d)(c,e)(d,e)共10个；其中销售额均超过200万元的有：(c,d)(c,e)(d,e)共3个；3故所求的概率为p=；10(2)根据题意，整理数据得如下2×2列联表；年轻市民老年市民合计支持151025很支持253055合计404080280×(15×30−10×25)2计算K=≈1.455<2.072，40×40×25×55所以没有85%的把握认为支持程度与年龄有关．【解析】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率应用问题，是基础题．(1)用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；(2)根据列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．x，22.【答案】解：(1)由题意，设g(x)=a2x2x+n因为g(x)过点2,4，可得a=4，解得a=2，即g(x)=2，所以fx=，−2x+1−220+n又因为fx为奇函数，可得f(0)=0，即f0==0，解得n=−1，−2−2−2x+1经检验，符合f(x)=−f(−x)，所以f(x)=．2x+1+2

18−2x+111(2)由函数f(x)==−+，可得fx在R上单调递减，2x+1+222x+1又因为fx为奇函数，所以f(t2−2a)≥f(1−at)，所以t2−2a≤1−at，即t2+at−1−2a0，又因为对任意的t∈−1,1，不等式ft2−2a+fat−1≥0恒成立，令ℎ(t)=t2+at−1−2a，即ℎ(t)0对任意的t∈−1,1恒成立，ℎ(−1)0(−1)2+a×(−1)−1−2a0可得，即，解得a0，ℎ(1)012+a−1−2a0所以实数a的取值范围为[0,+∞).(3)由于fx为奇函数，所以由f(x2+3x)+f(−ax−1)=0，可得f(x2+3x)=f(ax−1)，又因为fx在R上递减，即x2+3x=ax−1，x2+3x4显然x≠1，所以a=，令t=x−1，则a=t++5，x−1t44又由当t>0时，t++5≥2t⋅+5=9，tt4当且仅当t=时，即t=2时等号成立；t444当t<0时，t++5=−[(−t)+)]+5≤−2(−t)⋅+5=1，t−t(−t)4当且仅当−t=−时，即t=−2时等号成立，t4方程有2个互异实数根，画出y=t++5的图象，如图所示，t

194原方程有2个互异实数根，则函数y=t++5与y=a有两个交点，t由图可得，实数a的取值集合为{a1