四川省仁寿第一中学校南校区2020-2021学年高一下学期期末模拟考试数学Word版含答案

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仁寿一中南校区高2020级第二学期期末模拟考试数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.过点且与直线平行的直线方程是（）A．B．C．D．【答案】B2.若在中，角的对边分别为，则（）A．B．C．或D．以上都不对【答案】A3.若首项为1的等比数列{an}的前3项和为3，则公比q为（）A．－2B．1C．－2或1D．2或－1【答案】C4．已知向量与夹角为，且，，则（）A．B．C．D．【答案】C5.设的内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】B6.若实数，满足约束条件，则的最小值是（）A．4B．3C．2D．1【答案】C7.直线与直线平行，则实数的值为（）A．1或-1B．0或-1C．-1D．1

1【答案】C8.设是某个等差数列的前n项和，若，则（）A．B．C．D．【答案】A9.已知正数满足，则的最大值是（）A．B．C．1D．【答案】B10.若且，下列四个式子：①；②；③；④；其中一定成立的有（）A．个B．个C．个D．个【答案】A11.已知数列的各项均为正数，，，若数列的前n项和为4，则n为（）A．81B．80C．64D．63【答案】B12.锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是（）A．(）B．(）C．[)D．[，1)【答案】C【详解】由题意得，（当且仅当时取等号），

2由于三角形是锐角三角形，所以，所以，解得所以，，设，因为函数在单调递减，在上单调递增，所以函数无限接近中的较大者，所以所以的取值范围是，故选：C．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。请将正确答案直接答在答题卡相应的位置上。13.无论为何值，直线必过定点坐标为__【答案】14.已知数列中，，则___________.【答案】15.设为所在平面上一点，且满足，若的面积为2，则面积为_______________．【答案】316.已知函数有两个零点且，则直线的斜率的取值范围是_________．

3【答案】三、解答题：本大题6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量．（1）求向量与的夹角；（2）若，且，求m的值．【答案】（1）（2）【详解】解：（1）由，，则，由题得，，设向量与的夹角为，则，由，所以.即向量与的夹角为.（2）由，，所以，又，所以，又，所以，解得.18.如图，在四边形中，.求：（1）的长度；（2）三角形的面积.【答案】（1）；（2）.

4【详解】解：（1）在中，由余弦定理可得：，则；（2）在中，，，由正弦定理可得，所以，则.19.已知直线经过点，直线过点，且．（1）若与之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程．（2）若与距离为5，求两直线的方程；【详解】（1）当经过两点的直线与两点连线垂直时，距离最大，此时斜率，最大距离为，，．（2）①若，的斜率都存在时，设直线的斜率为，由斜截式得的方程，即．由点斜式可得的方程，即．在直线上取点，则点到直线的距离，，．

5，．②若、的斜率不存在，则的方程为，的方程为，它们之间的距离为5．同样满足条件．20.已知数列的前n项和为，且满足，，.（1）求的通项公式；（2）设数列满足，，，按照如下规律构造新数列：，求的前2n项和.【答案】（1），；（2）数列的前2n项和为.【详解】（1）由，，得，所以.因为，所以，所以，.又当时，，适合上式.所以，.（2）因为，，所以，又，所以.所以数列的偶数项构成以为首项､2为公比的等比数列.故数列的前2n项的和，所以数列的前2n项和为.21.在数学探究活动中，某兴趣小组合作制作一个工艺品，设计了如图所示的一个窗户，其中矩形的三边，，由长为8厘米的材料弯折而成，边的长为厘米()；曲线

6是一段抛物线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为，记窗户的高(点到边的距离)为.（1）求函数的解析式，并求要使得窗户的高最小，边应设计成多少厘米？（2）要使得窗户的高与长的比值达到最小，边应设计成多少厘米？【答案】（1），应设计为3厘米；（2）厘米.【详解】解：（1）因为抛物线方程为，所以，又因为，所以点到的距离为，所以点到的距离为，即，因为，所以当时有最小值，，此时，，故应设计为3厘米.

7（2）窗户的高与长的比值为，因为，当且仅当，即时取等号，所以要使得窗户的高与长的比值达到最小，厘米.22.已知数列的前项和为，满足且，数列的前项为，满足（Ⅰ）设，求证：数列为等比数列；（Ⅱ）求的通项公式；（Ⅲ）若对任意的恒成立，求实数的最大值.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）【详解】解：（Ⅰ）由得，变形为：，，且∴数列是以首项为2，公比为的等比数列（Ⅱ）由；（Ⅲ）由（Ⅰ）知数列是以首项为2，公比为的等比数列∴，于是∴=，由得

8从而，∴当n为偶数时，恒成立，而，∴1当n为奇数时，恒成立，而，∴综上所述，，即的最大值为