浙江省温州市新力量联盟2020-2021学年高二下学期期末考试数学Word版含解析

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2020-2021学年浙江省温州市新力量联盟高二（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（　　）A．（0，2）B．（0，1）C．（1，2）D．∅2．若实数x，y满足约束条件则z＝3x+2y的最大值是（　　）A．﹣1B．1C．10D．123．在△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（　　）A．2B．4C．6D．85．已知数列{nan}是正项等比数列，a1＝2，a2＝4，则a4＝（　　）A．32B．24C．6D．86．函数的图象大致是（　　）A．B．

1C．D．7．设P为双曲线C：＝1上的点，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，＝16，则△PF1F2的面积为（　　）A．B．C．30D．158．设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（　　）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞09．已知点集S＝{（x，y）|（x﹣cos2α）2+（y﹣sin2α）2≤2，α∈R}，当α取遍任何实数时，S所扫过的平面区域面积是（　　）A．2+πB．4+2πC．2+πD．4+π10．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（　　）A．DC1⊥D1PB．平面D1A1P⊥平面A1APC．∠APD1的最大值为90°D．AP+PD1的最小值为二、填空题：本题共7小题，其中11-14题每小题6分，15-17题每小题6分，共36分．11．已知直线l1：2x+ay+3a＝0，l2：（a﹣1）x+3y+7﹣a＝0，若l1∥l2，则a＝　　；若l1⊥l2，则a＝　　．12．已知向量、为单位向量，，若，则|＝　　；与所成角的余弦值为　　．13．若a＝log23，b＝log34，则4a＝　　；log2a+log2b＝　　．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosC+ccosA＝2bcosB，且a+c＝8，则角B

2＝　　，AC边上中线长的最小值是　　．15．已知函数f（x）＝ax﹣x2+3，g（x）＝4x﹣2，若对于任意x1，x2∈（0，1]都有f（x1）≥g（x2）成立，则a∈　　．16．已知a，b∈R+且＝1，则的最大值为　　．17．如图，点F为椭圆C：的左焦点，直线y＝kx分别与椭圆C交于A、B两点，且满足FA⊥AB，O为坐标原点，∠ABF＝∠AFO，则椭圆C的离心率e＝　　．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若角，，求的值．19．已知四边形ABCD，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°．现将△ABD沿BD边折起使得平面ABD⊥平面BCD，此时AD⊥CD．点P为线段AD的中点．（1）求证：BP⊥平面ACD；（2）若M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值．20．已知两个正项数列{an}和{bn}．其中{an}是等差数列，且满足a1＝1，a2，a3+1，a4+6三个数成等比数列．b12+b22+b32+⋯+bn2＝nan，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）若数列{cn}满足，cn•（bn+bn+1）＝6，n∈N*．求数列{cn}的前n项和Tn．

321．过圆O：x2+y2＝4上的点作圆O的切线l，若直线l过抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点F．（1）求直线l与抛物线E的方程；（2）是否存在直线y＝kx+2与抛物线E交于A、B与圆O交于C、D，使|AB|＝4|CD|，若存在，请求出实数k的值；若不存在，说明理由．22．设a∈[0，4]，已知f（x）＝，x∈R．（1）若f（x）是奇函数，求a的值；（2）当x＞0时，证明：f（x）≤x﹣a+2；（3）设对任意的x1，x2∈R及任意的a∈[0，4]，存在实数m满足f（x1）•f（x2）＝m，求m的范围．

4参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（　　）A．（0，2）B．（0，1）C．（1，2）D．∅解：∵A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|﹣1＜x﹣1＜1}＝{x|0＜x＜2}，∴A∩B＝（0，1）．故选：B．2．若实数x，y满足约束条件则z＝3x+2y的最大值是（　　）A．﹣1B．1C．10D．12解：由实数x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），化目标函数z＝3x+2y为y＝﹣x+z，由图可知，当直线y＝﹣x+z过A（2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值：10．故选：C．3．在△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件

5C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：因为在△ABC中，角A与角B都大于0小于180度，而余弦函数在区间0度到180度上是减函数，则A＞B可直接推出cosA＜cosB．所以，“A＞B”是“cosA＜cosB”的充分条件．同理由余弦函数在0度到180度上是减函数，则cosA＜cosB可直接推出A＞B．所以，“A＞B”也是“cosA＜cosB”的必要条件．故选：C．4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（　　）A．2B．4C．6D．8解：根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱．如图所示：故该几何体的体积为：V＝．故选：C．5．已知数列{nan}是正项等比数列，a1＝2，a2＝4，则a4＝（　　）A．32B．24C．6D．8解：设正项等比数列{nan}的公比为q（q＞0），令bn＝nan，则b1＝a1＝2，b2＝2a2＝2×4＝8，所以q＝＝＝4，所以b4＝4a4＝b1q3＝2×43，所以a4＝2×42＝32．

6故选：A．6．函数的图象大致是（　　）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝＝＝f（x），则f（x）是偶函数，则图象关于y轴对称，排除B，D，f（x）≥0恒成立，排除C，故选：A．7．设P为双曲线C：＝1上的点，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，＝16，则△PF1F2的面积为（　　）A．B．C．30D．15解：由双曲线的方程可得a2＝16，b2＝9，所以a＝4，b＝3，所以c2＝a2+b2＝25，所以c＝5，由题意可得||PF1|﹣|PF2||＝2a＝8，设＜，＞＝θ因为＝16，所以||||•cosθ＝16，在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cosθ＝（|PF1|﹣|PF2|）2+2|PF1||PF2|﹣2|PF1||PF2|cosθ，即100＝64+2|PF1||PF2|﹣32，所以|PF1||PF2|＝34，所以cosθ＝＝，所以sinθ＝，

7所以S＝|PF1||PF2|•sinθ＝×34×＝15，故选：D．8．设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（　　）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3＝2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；若a1+a3＜0，则a1+a2＝2a1+d＜0，a2+a3＝2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；{an}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2＝a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＝﹣d2≤0，即D不正确．故选：C．9．已知点集S＝{（x，y）|（x﹣cos2α）2+（y﹣sin2α）2≤2，α∈R}，当α取遍任何实数时，S所扫过的平面区域面积是（　　）A．2+πB．4+2πC．2+πD．4+π解：S＝{（x，y）|（x﹣cos2α）2+（y﹣sin2α）2≤2，α∈R}，表示的图形是以（cos2α，sin2α）为圆心，半径为的圆的内部，因为sin2α+cos2α＝1，所以令x＝cos2α，y＝sin2α，则x+y＝1，所以圆心在如图所示的线段AB上，当α取遍任何实数时，S所扫过的平面区域为四边形CDEF，和两个半圆，因为CD＝2，AB＝CF＝，所以S＝π×（）2+2×＝4+2π，故选：B．

810．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论错误的是（　　）A．DC1⊥D1PB．平面D1A1P⊥平面A1APC．∠APD1的最大值为90°D．AP+PD1的最小值为解：∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，A正确∵平面D1A1P即为平面D1A1BC，平面A1AP即为平面A1ABB1，切D1A1⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1BC，⊥平面A1ABB1，∴平面D1A1P⊥平面A1AP，∴B正确；当0＜A1P＜时，∠APD1为钝角，∴C错；将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，在△D1A1A中，∠D1A1A＝135°利用余弦定理解三角形得AD1＝，即AP+PD1≥，∴D正确．

9故选：C．二、填空题：本题共7小题，其中11-14题每小题6分，15-17题每小题6分，共36分．11．已知直线l1：2x+ay+3a＝0，l2：（a﹣1）x+3y+7﹣a＝0，若l1∥l2，则a＝　3　；若l1⊥l2，则a＝　　．解：直线l1：2x+ay+3a＝0，l2：（a﹣1）x+3y+7﹣a＝0，若l1∥l2，则，解得a＝3；若l1⊥l2，则2（a﹣1）+3a＝0，即a＝．故答案为：3；．12．已知向量、为单位向量，，若，则|＝　　；与所成角的余弦值为　　．解：由可得||²＝||²＝||²+4||+4＝1+4+4×＝7，所以||＝；设与所成的角为θ，则cosθ＝＝＝＝＝，故答案为：，．13．若a＝log23，b＝log34，则4a＝　9　；log2a+log2b＝　1　．解：∵a＝log23，∴2a＝3，∴4a＝（2a）2＝9，又b＝log34，∴，∴log2a+log2b＝log2ab＝log22＝1．故答案为：9，1．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosC+ccosA＝2bcosB，且a+c＝8，则角B＝　　，AC边上中线长的最小值是　　．解：（1）∵acosC+ccosA＝2bcosB，∴由正弦定理，可得sinAcosC+sinCcosA＝2sinBcosB，即sin（A+C）＝sinB＝2sinBcosB，又∵B∈（0，π），

10∴sinB≠0，cosB＝，∴B＝．（2）∵D为BC的中点，∴，∴＝＝＝12，当且仅当a＝c时，等号成立，取得最小值，∴，∴AC边上的中线长的最小值为．故答案为：．15．已知函数f（x）＝ax﹣x2+3，g（x）＝4x﹣2，若对于任意x1，x2∈（0，1]都有f（x1）≥g（x2）成立，则a∈　[0，+∞）　．解：∵f（x）＝ax﹣x2+3，g（x）＝4x﹣2，对于任意x1，x2∈（0，1]都有f（x1）≥g（x2）成立，即f（x1）min≥g（x2）max，∵g（x）＝4x﹣2在（0，1]上单调递增，∴g（x）max＝g（1）＝2，∴ax﹣x2+3≥2对于任意x∈（0，1]恒成立，即a≥x﹣对于任意x∈（0，1]恒成立，又h（x）＝x﹣在区间（0，1]上单调递增，∴h（x）max＝h（1）＝1﹣1＝0，∴a≥0，故答案为：[0，+∞）．16．已知a，b∈R+且＝1，则的最大值为　3﹣2　．解：由a，b∈R+且＝1，得a+b＝（a+b）（+）＝3++≥3+2＝3+2，当且仅当，时，a+b取得最小值，

11∴的最大值为＝＝3﹣2．故答案为：3﹣2．17．如图，点F为椭圆C：的左焦点，直线y＝kx分别与椭圆C交于A、B两点，且满足FA⊥AB，O为坐标原点，∠ABF＝∠AFO，则椭圆C的离心率e＝　　．解：设|OA|＝x，根据对称性可知|OB|＝x，在Rt△OAF中，，在Rt△AFB中，，设桶圆的右焦点为F′，由粗圆的对称性可知|AF|+|BF|＝|AF|+|AF′|＝2a，即（1），又因为∠ABF＝∠AFO，所以△AFO～△ABF，所以，即（2），联立（1）（2）可得．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若角，，求的值．解：＝．（Ⅰ）．∵y＝sinx在上递增，

12∴当时f（x）递增，即f（x）的单调递增区间是．（Ⅱ），∴，∵，∴，∴，∴＝．19．已知四边形ABCD，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°．现将△ABD沿BD边折起使得平面ABD⊥平面BCD，此时AD⊥CD．点P为线段AD的中点．（1）求证：BP⊥平面ACD；（2）若M为CD的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形因为P为AD的中点，所以BP⊥AD，取BD的中点E，连结AE，则AE⊥BD，因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AE⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，所以AE⊥CD，又因为CD⊥AD，AD∩AE＝A，AE，AD⊂平面ABD，所以CD⊥平面ABD，因为BP⊂平面ABD，所以CD⊥BP，又因为CD∩AD＝D，CD，AD⊂平面ACD，

13所以BP⊥平面ACD；（2）解：由（1）可知CD⊥BD，取BC的中点F，则EF⊥DE，即EA，EF，ED两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面BPC的法向量为，则，即，令x＝1，则，故，又，所以，故MP与平面BPC所成角的正弦值为．20．已知两个正项数列{an}和{bn}．其中{an}是等差数列，且满足a1＝1，a2，a3+1，a4+6三个数成等比数列．b12+b22+b32+⋯+bn2＝nan，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）若数列{cn}满足，cn•（bn+bn+1）＝6，n∈N*．求数列{cn}的前n项和Tn．解：（Ⅰ）{an}是等差数列，且满足a1＝1，a2，a3+1，a4+6三个数成等比数列．所以，整理得（1+2d+1）2＝（1+d）（1+3d+6）．∴4（d+1）2＝（1+d）⋅（3d+7）．易知d＞0，∴4d+4＝3d+7d＝3，

14∴an＝3n﹣2，由于当n＝1时，，∴b1＝1．当n≥2时，．∴对n＝1也成立．∴．（Ⅱ），∴．∴．21．过圆O：x2+y2＝4上的点作圆O的切线l，若直线l过抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点F．（1）求直线l与抛物线E的方程；（2）是否存在直线y＝kx+2与抛物线E交于A、B与圆O交于C、D，使|AB|＝4|CD|，若存在，请求出实数k的值；若不存在，说明理由．解：（1）显然切线l的斜率存在，设切线的方程为：y﹣1＝k（x﹣），即kx﹣y﹣k+1＝0，所以圆心O到直线l的距离d＝，由题意可得2＝，解得：k＝﹣，所以切线l的方程为：x+y﹣4＝0，由抛物线的方程可得焦点，令直线l的x＝0，可得y＝4，所以，所以抛物线E的方程：x2＝16y．（2）假设存在y＝kx+2，则圆心（0，0）到直线y＝kx+2的距离．∴，，所以，

15所以．由题意＝4•4，解得k＝±1或．所以存在这样的k值满足条件，且为：k＝±1或．22．设a∈[0，4]，已知f（x）＝，x∈R．（1）若f（x）是奇函数，求a的值；（2）当x＞0时，证明：f（x）≤x﹣a+2；（3）设对任意的x1，x2∈R及任意的a∈[0，4]，存在实数m满足f（x1）•f（x2）＝m，求m的范围．解：（1）由f（x）为奇函数，可知f（0）＝0，∴a＝0．当a＝0时，f，．∴f（x）为奇函数，∴a＝0．（2）证明：令，则g（x）＝＝＝，∴．（3）先求的值域．根据yx2﹣4x+y+a＝0，△＝16﹣4y（y+a）≥0⇒y2+ay﹣4≤0，解得，∴．又任意的a∈[0，4]，当a＝4时，max＝12+8，∴，

16∴，即m∈[﹣4，12+8]．