江苏省连云港市2020-2021学年高二下学期期末考试数学Word版含解析

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2020-2021学年江苏省连云港市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．若z1＝a+2i，z2＝3﹣4i，且为纯虚数，则实数a的值是（　　）A．B．C．3D．82．若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（　　）A．6种B．24种C．64种D．81种3．若在的展开式中，第4项为常数项，则n的值是（　　）A．15B．16C．17D．184．已知加工某一零件共需两道工序，第1，2道工序的不合格品率分别为3%和5%，且各道工序互不影响，则加工出来的零件为不合格品的概率是（　　）A．4.85%B．7.85%C．8.85%D．11.85%5．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ≤4）＝P（ξ≥8）＝0.18，则P（6＜ξ＜8）＝（　　）A．0.12B．0.22C．0.32D．0.426．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（　　）A．B．C．20D．217．某班举行了由6名学生参加的“弘扬中华文化”演讲比赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次）．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从回答分析，6人的名次排列情况可能有（　　）A．216种B．240种C．288种D．384种8．体积为的三棱柱ABC﹣A1B1C1，所有顶点都在球O的表面上，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面△A1B1C1是正三角形，AB1与底面A1B1C1所成的角是45°．则球O的表面积是（　　）A．B．C．D．二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．设z1，z2是复数，则下列命题中正确的是（　　）A．若|z1﹣z2|＝0，则B．若z1z2∈R，则C．若|z1|＝|z2|，则

1D．若|z1|＝|z2|，则10．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则EF（　　）A．与BB1垂直B．与BD垂直C．与A1C1异面D．与CD异面11．现有3名男生和4名女生，在下列不同条件下进行排列，则（　　）A．排成前后两排，前排3人后排4人的排法共有5400种B．全体排成一排，甲不站排头也不站排尾的排法共有3600种C．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有576种D．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有1440种12．如图，△ABC是由具有公共直角边的两块直角三角板组成的三角形，，．现将Rt△ACD沿斜边AC翻折成△D1AC（D1不在平面ABC内）．若M，N分别为BC和BD1的中点，则在△ACD翻折过程中，下列结论正确的是（　　）A．MN∥平面ACD1B．AD1与BC不可能垂直C．二面角D1﹣AB﹣C正切值的最大值为D．直线AD1与DM所成角的取值范围为三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．若某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程（单位：亿元），其中，，|e|≤0.5．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过　　亿元．14．若，则a1+a2+a3+a4＝　　．15．已知复数z1，z2满足|z1|＝2，|z2|＝3，|z1﹣z2|＝4，则|z1+z2|＝　　．16．已知正方形ABCD的边长为4，将△ABC沿对角线AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到三棱锥B﹣ACD．若O为AC的中点，点M，N分别为DC，BO上的动点（不包括端点），且BN＝CM，则当点N到平面ACD的距离为　　时，三棱锥N﹣AMC的体积取得最大值，且最大值是　　．四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在①z2＝﹣7﹣24i，②，③是实数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．已知z是虚数，且_____，求|z|．

218．（1）求0.9966的近似值；（结果精确到0.001）（2）设a∈Z，且0≤a＜13，若512021+a能被13整除，求a的值．19．如图，有一块正四棱柱的木料，E，F分别为A1D1，D1C1的中点，AB＝4，BB1＝6．（1）作出过B，E，F的平面与正四棱柱木料的截面，并求出该截面的周长；（2）求点B1到平面BEF的距离．20．为研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果如表所示（单位：人）．有效无效合计口服401050注射302050合计7030100（1）根据所选择的100个病人的数据，能否有95%的把握认为给药方式和药的效果有关？（2）现从样本的注射病人中按分层抽样方法取出5人，再从这5人中随机抽取3人，求至少2人有效的概率．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.01k02.0722.7063.8415.0246.63521．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是矩形，平面SAB⊥平面ABCD，点E在线段SB上，∠ASB＝∠ABS＝30°，AB＝2AD．（1）当E为线段SB的中点时，求证：平面DAE⊥平面SBC；（2）当SB＝4SE时，求锐二面角C﹣AE﹣D的余弦值．

322．某单位在“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投篮游戏．游戏的规则如下：每局游戏需投篮3次，若投中的次数多于未投中的次数，该局得3分，否则得1分．已知甲投篮的命中率为，且每次投篮的结果相互独立．（1）求甲在一局游戏中投篮命中次数X的分布列与期望；（2）若参与者连续玩2n（n∈N*）局投篮游戏获得的分数的平均值大于2，即可获得一份大奖．现有n＝k和n＝k+1两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择？请说明理由．

4参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．若z1＝a+2i，z2＝3﹣4i，且为纯虚数，则实数a的值是（　　）A．B．C．3D．8解：z1＝a+2i，z2＝3﹣4i，∵＝＝为纯虚数，∴，解得a＝．故选：B．2．若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（　　）A．6种B．24种C．64种D．81种解：由题可知每名学生都可以选报数学、物理、化学兴趣小组的其中一项，所以每名学生有三种可能，所以4名学生不同的报名方式由34＝81种，故选：D．3．若在的展开式中，第4项为常数项，则n的值是（　　）A．15B．16C．17D．18解：由题意可得，令r＝3可得，＝﹣∴∴n＝18故选：D．4．已知加工某一零件共需两道工序，第1，2道工序的不合格品率分别为3%和5%，且各道工序互不影响，则加工出来的零件为不合格品的概率是（　　）A．4.85%B．7.85%C．8.85%D．11.85%解：根据题意，第1道工序的不合格品率分别为3%，则其合格品的概率P1＝1﹣3%＝97%，第2道工序的不合格品率分别为5%，则其合格品的概率P1＝1﹣5%＝95%，则加工出来的零件为合格品的概率P′＝0.97×0.95＝0.9215＝92.15%，则加工出来的零件为不合格品的概率P＝1﹣P′＝7.85%；

5故选：B．5．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ≤4）＝P（ξ≥8）＝0.18，则P（6＜ξ＜8）＝（　　）A．0.12B．0.22C．0.32D．0.42解：∵随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），且P（ξ≤4）＝P（ξ≥8），由对称性可知，μ＝6，又P（ξ≤4）＝P（ξ≥8）＝0.18，∴P（4＜ξ＜6）＝P（6＜ξ＜8）＝0.32，故选：C．6．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（　　）A．B．C．20D．21解：由棱台的几何特征可得其高度为：，则其体积：．故选：A．7．某班举行了由6名学生参加的“弘扬中华文化”演讲比赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次）．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从回答分析，6人的名次排列情况可能有（　　）A．216种B．240种C．288种D．384种解：由题可知，甲和乙都不是冠军，所以冠军有4种可能性，乙不是最后一名，所以最后一名有4种可能性，所以6人的名次排列情况可能有种．故选：D．8．体积为的三棱柱ABC﹣A1B1C1，所有顶点都在球O的表面上，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面△A1B1C1是正三角形，AB1与底面A1B1C1所成的角是45°．则球O的表面积是（　　）A．B．C．D．解：由题意可知三棱柱为正三棱柱，设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底边长为a，∵AB1与底面A1B1C1所成的角是45°，∴侧棱AA1＝a，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积是，∴•a2•a＝，得a＝1，∴底面△A1B1C1的外接圆的半径为，则球O的半径为R＝，

6∴球O的表面积是4πR2＝．故选：A．二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．设z1，z2是复数，则下列命题中正确的是（　　）A．若|z1﹣z2|＝0，则B．若z1z2∈R，则C．若|z1|＝|z2|，则D．若|z1|＝|z2|，则解：由|z1﹣z2|＝0，得z1﹣z2＝0，则z1＝z2，∴，故A正确；若z1z2∈R，则，错误，如z1＝1+i，z2＝0，故B错误；若|z1|＝|z2|，则，∴，故C正确；取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但，故D错误．故选：AC．10．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则EF（　　）A．与BB1垂直B．与BD垂直C．与A1C1异面D．与CD异面解：如图，分别取AB、BC的中点G、H，连接EG、FH、GH，

7则EG∥BB1，FH∥BB1，EG＝BB1，FH＝BB1，∴EG∥FH且EG＝FH，可得四边形EGHF为平行四边形，则EF∥GH．由正四棱住的结构特征可知，BB1⊥底面ABCD，则BB1⊥GH，可得EF与BB1垂直，故A正确；在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BD⊥AC，而GH∥AC，可得EF与BD垂直，故B正确；EF∥GH∥AC∥A1C1，故C错误；EF∥GH，GH⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，可得EF与CD无交点，若EF与CD平行，则GH与CD平行，与GH和CD相交矛盾，故D正确．故选：ABD．11．现有3名男生和4名女生，在下列不同条件下进行排列，则（　　）A．排成前后两排，前排3人后排4人的排法共有5400种B．全体排成一排，甲不站排头也不站排尾的排法共有3600种C．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有576种D．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有1440种解：根据题意，依次分析选项：对于A，将7名学生排成前后两排，前排3人后排4人的排法，有C73A33A44＝5040种排法，A错误；对于B，甲不站排头也不站排尾，有5种情况，将剩下的6人全排列，有A66种排法，则有5×A66＝3600种排法，B正确；对于C，将4名女生看成一个整体，有A44种排法，将这个整体与3名男生全排列，有A44种排法，则有A44×A44＝576种排法，C正确；对于D，先排4名女生，有A44种排法，排好后有5个空位，在5个人空位中任选3个，安排3名男生，有A53种排法，则有A44×A53＝1440种排法，D正确；故选：BCD．12．如图，△ABC是由具有公共直角边的两块直角三角板组成的三角形，，．现将Rt△ACD沿斜边AC翻折成△D1AC（D1不在平面ABC内）．若M，N分别为BC和BD1的中点，则在△ACD翻折过程中，下列结论正确的是（　　）A．MN∥平面ACD1B．AD1与BC不可能垂直

8C．二面角D1﹣AB﹣C正切值的最大值为D．直线AD1与DM所成角的取值范围为解：对于A选项：由M，N分别为BC和BD1的中点，则MN∥CD1，由CD1⊂平面ACD1，MN⊄平面ACD1，所以MN∥平面ACD1，故A正确；对于B选项：由AD⊥CD，则AD1⊥CD1，当AD1⊥D1B时，且D1B＜AB，此时满足AD1⊥B平面CD1，因此AD1⊥BC，所以B错误；对于C选项：如图，作D1Q⊥ED于Q，ED为直角，作RQ⊥AD于R，连接RD1，所以，∠D1RQ＝α为二面角D1﹣AB﹣C的平面角，设D1Q＝x，，所以，所以C错误；对于D选项：如图，作AP∥DM，AD1可以看成以AC为轴线，以45°为平面角的圆锥的母线，所以AC与AD1夹角为45°，AC与AP夹角为15°，又D1不在平面ABC内，60°＝45°+15°，30°＝45°﹣15°，所以AD1与DM所成角的取值范围，所以D正确，故选：AD．

9三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．若某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程（单位：亿元），其中，，|e|≤0.5．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过　10　亿元．解：∵某地的财政收入x与支出y满足的线性回归模型是y＝bx+a+e（单位：亿元），其中，，|e|≤0.5．∴＝0.8x+1.5+e当x＝10时，＝0.8x+1.5+e＝9.5+e∵|e|≤0.5，∴﹣0.5≤e≤0.5∴9≤y≤10，∴今年支出预计不超出10亿元故答案为：10．14．若，则a1+a2+a3+a4＝　88﹣56　．解：若，则令x＝0，可得a0＝9，再令x＝1，可得9+a1+a2+a3+a4＝＝97﹣56，∴a1+a2+a3+a4＝88﹣56，故答案为：88﹣56．15．已知复数z1，z2满足|z1|＝2，|z2|＝3，|z1﹣z2|＝4，则|z1+z2|＝　　．解：∵|z1﹣z2|＝4，∴42＝（z1﹣z2）（）＝（z1﹣z2）（﹣）＝z1+z2﹣z1+z2＝22+32﹣z1﹣z2，化为：z1+z2＝﹣3，则＝（z1+z2）（）＝（z1+z2）（+）＝z1+z2+z1+z2＝22+32+z2+z1

10＝10，∴|z1+z2|＝，故答案为：．16．已知正方形ABCD的边长为4，将△ABC沿对角线AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到三棱锥B﹣ACD．若O为AC的中点，点M，N分别为DC，BO上的动点（不包括端点），且BN＝CM，则当点N到平面ACD的距离为　　时，三棱锥N﹣AMC的体积取得最大值，且最大值是　　．解：如图所示，由几何关系可得：BO⊥平面ACD，令，作ME⊥AC于点E，则，，当且仅当，即时等号成立．故答案为：．四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在①z2＝﹣7﹣24i，②，③是实数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．已知z是虚数，且_____，求|z|．

11解：若选择①，设z＝a+bi（a，b∈R，b≠0），则z2＝（a+bi）2＝（a2﹣b2）+2abi＝﹣7﹣24i，由，解得或，∴z＝﹣3+4i或z＝3﹣4i，则|z|＝5．若选择②，设z＝a+bi（a，b∈R，b≠0）则，由，解得，∴z＝12﹣5i，则|z|＝13．若选择③，设z＝a+bi（a，b∈R，b≠0），则，是实数，则，又b≠0，∴a2+b2＝1，则|z|＝1．18．（1）求0.9966的近似值；（结果精确到0.001）（2）设a∈Z，且0≤a＜13，若512021+a能被13整除，求a的值．解：（1）①＝1﹣0.024+0.00024+⋯≈0.976．（2），其中能被13整除，只需＝a﹣1能被13整除，由0≤a＜13，得a﹣1＝0，故a＝1．19．如图，有一块正四棱柱的木料，E，F分别为A1D1，D1C1的中点，AB＝4，BB1＝6．（1）作出过B，E，F的平面与正四棱柱木料的截面，并求出该截面的周长；（2）求点B1到平面BEF的距离．解：（1）连接AC，过点B作直线MN，分别交直线DC，DA的延长线于N，M两点，连接EM，FN分别交AA1，CC1与P，Q两点，连接PB，BQ，则五边形EPBQF为所求截面，

12在正方形A1B1C1D1中，，在Rt△AMB中，∠AMB＝∠DAC＝45°，∠ABM＝45°，故AM＝AB＝4，由△AMP∽△A1EP，故，故A1P＝2，AP＝4，故，，同理，可求得，，故五边形EPBQF周长为：，则截面周长为．（2）分别取AD，DC的中点R，T，连接ER，FT，在Rt△ABR中，在Rt△ERB，，同理求得等腰△EBF的面积为，求得△EB1F的面积为设B1到平面BEF的距离为h，由，得，故，故B1到平面BEF的距离为．20．为研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果如表所示（单位：人）．有效无效合计口服401050注射302050合计7030100（1）根据所选择的100个病人的数据，能否有95%的把握认为给药方式和药的效果有关？（2）现从样本的注射病人中按分层抽样方法取出5人，再从这5人中随机抽取3人，求至少2人有效的概率．

13参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.01k02.0722.7063.8415.0246.635解：（1）提出假设H0：给药方式和药的效果无关，由表格数据得，因为当H0成立时，K2≥3.841的概率约为0.05，所以有95%的把握认为给药方式和药的效果有关．（2）依题意，从样本的注射病人（50人）中按分层抽样的方法取出的5人中，有效的人，无效的有2人，记抽取的3人中有i人有效的为事件Ai（i＝2，3），则；．因为A3和A2互斥，所以抽取的这3个病人中至少有2人有效的概率P（A2+A2）＝P（A2）+P（A3）＝0.6+0.1＝0.7．所以其中至少2个病人有效的概率为0.7．21．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是矩形，平面SAB⊥平面ABCD，点E在线段SB上，∠ASB＝∠ABS＝30°，AB＝2AD．（1）当E为线段SB的中点时，求证：平面DAE⊥平面SBC；（2）当SB＝4SE时，求锐二面角C﹣AE﹣D的余弦值．【解答】（1）证明：∵四棱锥S﹣ABCD的底面是矩形，∴AD⊥AB，又∵平面SAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面SAB＝AB，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面SAB，又BS⊂平面SAB，∴AD⊥BS，∵∠ASB＝∠ABS，∴AS＝AB，又E为BS的中点，∴AE⊥BS，又AD∩AE＝A，∴BS⊥平面DAE，∵BS⊂平面SBC，∴平面DAE⊥平面SBC．（2）解：如图，连接CA，CE，在平面ABS内作AB的垂线，建立空间直角坐标系A﹣xyz，

14设AB＝2AD＝4a，，∴A（0，0，0），B（0，4a，0），C（0，4a，2a），D（0，0，2a），，，则，，设平面CAE的法向量为，∴即令x＝1，则，，∴是平面CAE的一个法向量，设平面DAE的法向量为，∴即得∴，∴锐二面角C﹣AE﹣D的余弦值为22．某单位在“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投篮游戏．游戏的规则如下：每局游戏需投篮3次，若投中的次数多于未投中的次数，该局得3分，否则得1分．已知甲投篮的命中率为，且每次投篮的结果相互独立．（1）求甲在一局游戏中投篮命中次数X的分布列与期望；（2）若参与者连续玩2n（n∈N*）局投篮游戏获得的分数的平均值大于2，即可获得一份大奖．现有n＝k和n＝k+1两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择？请说明理由．解：（1）由题意知X～B，

15则，，，，所以X的分布列为X0123P．（2）由（1）可知在一局游戏中，甲得3分的概率为，得1分的概率为，若选择n＝k，此时要能获得大奖，则需2k次游戏的总得分大于4k，设2k局游戏中，得3分的局数为m，则3m+（2k﹣m）＞4k，即m＞k．易知m～B，故此时获大奖的概率＝＝＝＝同理可以求出当n＝k+1，获大奖的概率为因为所以，则P1＜P2

16答：甲选择n＝k+1时，获奖的概率更大．