上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学Word版含解析

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2020-2021学年上海市复旦附中高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．不等式＜1的解集为　　．2．设集合A＝{y|y＝3x，x∈R}，B＝{x|y＝，x∈R}，则A∩B＝　　．3．若，则＝　　．4．若复数z满足，其中i为虚数单位，则z＝　　．5．设函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）﹣k存在两个零点，则实数k的取值范围是　　．6．已知某圆锥的体积是12π，底面半径等于3，则该圆锥的侧面积为　　．7．x（x﹣2）5展开式中的x4项的系数为　　．8．5名志愿者进入3个不同的场馆参加工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为　　．9．若数列{an}的通项公式，则＝　　．10．已知数列{an}的前n项和，若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）an对任意n∈N*恒成立，则λ的取值范围为　　．11．已知不等式在x∈[0，1]上恒成立，则实数a的取值范围为　　．12．若关于x的不等式的解集为R，且存在实数x0，使得，则a的取值集合为　　．二、选择题13．下列命题中，错误的是（　　）A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B．平行于同一平面的两个不同平面平行C．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．若直线l不平行平面α，则在平面α内不存在与l平行的直线14．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位：cm）为（　　）

1A．32B．36C．40D．4815．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0），方向向量为＝（1，1）的直线与C交于两点A、B，若线段AB的中点为（4，1），则双曲线C的渐近线方程是（　　）A．2x±y＝0B．x±2y＝0C．x±y＝0D．x±y＝016．已知数列{an}的通项公式为，a5是数列{an}的最小项，则实数a的取值范围是（　　）A．[﹣40，﹣25]B．[﹣40，0]C．[﹣25，25]D．[﹣25，0]三、解答题17．在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求cos2﹣sincos的取值范围．18．在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入G（x）（万元）与年产量x（万台）满足如下关系式：．（1）写出年利润W（x）（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式；（利润＝销售收入﹣成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

220．已知函数f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a﹣x）＝b恒成立，则称f（x）为“J﹣函数”．（1）判断函数f1（x）＝x，是否是“J﹣函数”；（2）若g（x）＝tanx是一个“J﹣函数”，求出所有满足条件的有序实数对（a，b）；（3）若定义域为R的函数f（x）是“J﹣函数”，且存在满足条件的有实数对（0，1）和（1，4），当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，求当x∈[﹣2020，2020]时，函数f（x）的值域．21．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的取值范围；（3）若（n∈N*），从数列{cn}中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．

3参考答案一、填空题1．不等式＜1的解集为　（﹣∞，）∪（6，+∞）　．解：不等式＜1，即＞0，即（x﹣6）（2x﹣3）＞0，求得x＜或x＞6，故答案为：（﹣∞，）∪（6，+∞）．2．设集合A＝{y|y＝3x，x∈R}，B＝{x|y＝，x∈R}，则A∩B＝　　．解：因为集合A＝{y|y＝3x，x∈R}＝{y|y＞0}，B＝{x|y＝，x∈R}＝{x|}，所以A∩B＝．故答案为：．3．若，则＝　　．解：∵，∴sinx＝﹣3cosx，tanx＝﹣3，∴＝﹣sinx•cosx＝＝．故答案为：．4．若复数z满足，其中i为虚数单位，则z＝　1+2i　．解：设z＝a+bi（a，b∈R），则＝a﹣bi，代入得2（a+bi）+a﹣bi＝3+2i，即3a+bi＝3+2i，∴a＝1且b＝2．∴z＝1+2i．故答案为：1+2i．5．设函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）﹣k存在两个零点，则实数k的取值范围是　（0，1]　．解：由g（x）＝f（x）﹣k＝0，得f（x）＝k令y＝k与y＝f（x），作出函数y＝k与y＝f（x）的图象如图：

4当x≤0时，0＜f（x）≤1，当x＞0时，f（x）∈R，∴要使函数g（x）＝f（x）﹣k存在两个零点，则k∈（0，1]．故答案为：（0，1]．6．已知某圆锥的体积是12π，底面半径等于3，则该圆锥的侧面积为　15π　．解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，则，解得h＝4，所以，故圆锥的侧面积为＝15π．故答案为：15π．7．x（x﹣2）5展开式中的x4项的系数为　40　．解：∵（x﹣2）5展开式中的通项公式为Tr+1＝•（﹣2）r•x5﹣r，∴x（x﹣2）5展开式中的通项公式为Tr+1＝x••（﹣2）r•x5﹣r＝（﹣2）r••x6﹣r，令6﹣r＝4，求得r＝2，∴x4项的系数为•（﹣2）2＝40，故答案为：40．8．5名志愿者进入3个不同的场馆参加工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为　　．解：5名志愿者进入3个不同的场馆的方法数为35＝243种，每个场馆至少有一名志愿者的情况可分两类考虑：第一类，一个场馆去3人，剩下两场馆各去1人，此类的方法数为＝3×10×2＝60种；第2类，1个场馆去1人，

5剩下两场馆各2人，此类的方法数为＝90种，所以每个场馆至少有一名志愿者的概率为P＝＝．故答案为：．9．若数列{an}的通项公式，则＝　　．解：数列{an}的通项公式，可得Sn＝2+4+＝6+（1﹣），＝[6+（1﹣）]＝6+＝．故答案为：．10．已知数列{an}的前n项和，若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）an对任意n∈N*恒成立，则λ的取值范围为　（﹣∞，）　．解：当n＝1时，有，得a1＝4，当n≥2时，，，两式相减得，即，∴＝，又，∴数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列．∴，则，不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）an等价于5−λ＞＝，

6记，n≥2时，，∴当n≥3时，＜1，则，∴5−λ＞，即λ＜5−，∴λ的取值范围是：（﹣∞，）．故答案为：（﹣∞，）．11．已知不等式在x∈[0，1]上恒成立，则实数a的取值范围为　a≠0且a≠1　．解：当0＜x＜1时，＜0，|a﹣|≥0恒成立，此时a∈R；当x＝0或1时，＝0，|a﹣|＞0恒成立，只需a﹣≠0，可得a≠0且a≠1．综上可得，a的取值范围是a≠0且a≠1．故答案为：a≠0且a≠1．12．若关于x的不等式的解集为R，且存在实数x0，使得，则a的取值集合为　　．解：由题意可得，f（x）＝|x+1|+|ax+1|的最小值为，∵f（x）的图像是一条折线，∴f（x）的最小值在折点处，即满足x+1＝0或ax+1＝0，函数f（x）才可能取到最小值，当a＝0时，f（x）＝|x+1|+1≥1，当x＝﹣1时，f（x）的最小值为1，故a≠0，①当x＝﹣1时，则|﹣a+1|＝，解得a＝或，∴f（x）＝或，∵f（x）的最小值为，∴，②当x＝时，则，解得a＝﹣2或，

7∴或，∴a＝﹣2，综上所述，a的取值集合为{}．故答案为：{}．二、选择题13．下列命题中，错误的是（　　）A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B．平行于同一平面的两个不同平面平行C．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．若直线l不平行平面α，则在平面α内不存在与l平行的直线解：由直线与平面相交的性质，知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交，故A正确；由平面平行的判定定理知，平行于同一平面的两个不同平面平行，故B正确；由直线与平面垂直的判定定理，知如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，故C正确；若直线l不平行平面α，则当l⊂α时，在平面α内存在与l平行的直线，故D不正确．故选：D．14．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积（单位：cm）为（　　）A．32B．36C．40D．48解：由三视图还原原几何体如图，

8该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA⊥底面ABC．则BC⊥PC．∴该几何体的表面积S＝．故选：A．15．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0），方向向量为＝（1，1）的直线与C交于两点A、B，若线段AB的中点为（4，1），则双曲线C的渐近线方程是（　　）A．2x±y＝0B．x±2y＝0C．x±y＝0D．x±y＝0解：设方向向量为＝（1，1）的直线方程为y＝x+m，联立，消去y，得：（b2﹣a2）x2﹣2a2mx﹣a2m2﹣a2b2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的中点为（4，1），∴x1+x2＝＝8，y1+y2＝8+2m＝2，解得m＝﹣3，∴，∴a＝2b，∴双曲线C的渐近线方程为y＝x，即x±2y＝0．故选：B．16．已知数列{an}的通项公式为，a5是数列{an}的最小项，则实数a的取值范围是（　　）

9A．[﹣40，﹣25]B．[﹣40，0]C．[﹣25，25]D．[﹣25，0]解：由条件有对任意的n∈N*，由an≥a5恒成立，即，整理得．当n≤4时，不等式化简为a≥5n（n﹣6）恒成立，所以a≥﹣25；当n≥6时，不等式化简为a≤5n（n﹣6）恒成立，所以a≤0；综上：﹣25≤a≤0．故选：D．三、解答题17．在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求cos2﹣sincos的取值范围．解：（1）由＝．得＝．即2sinAcosB＝sin（B+C），即2sinAcosB＝sinA，又A为三角形内角，∴sinA≠0，所以cosB＝，从而B＝；（2）cos2﹣sincos＝﹣＝，＝，＝+，∵，∴，所以cos2﹣sincos的取值范围为（）．18．在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入G（x）（万元）与年产量x（万台）满足如下关系式：

10．（1）写出年利润W（x）（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式；（利润＝销售收入﹣成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．解：（1）．（2）当0＜x⩽20时，W（x）＝﹣2x2+100x﹣50＝﹣2（x﹣25）2+1200，∴W（x）max＝W（20）＝1150，当x＞20时，，当且仅当，即x＝29时等号成立，∴W（x）＝W（29）＝1360，∵1360＞1150，当年产量为29万台时，该公司获得的利润最大为1360万元．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．解：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，由PO⊥平面ABCD，得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO＝60°．在Rt△AOB中BO＝ABsin30°＝1，由PO⊥BO，于是，PO＝BOtan60°＝，而底面菱形的面积为2．∴四棱锥P﹣ABCD的体积V＝×2×＝2．（2）解法一：以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系．

11在Rt△AOB中OA＝，于是，点A、B、D、P的坐标分别是A（0，﹣，0），B（1，0，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，）．E是PB的中点，则E（，0，）于是＝（，0，），＝（0，，）．设与的夹角为θ，有cosθ＝，θ＝arccos，∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos；解法二：取AB的中点F，连接EF、DF．由E是PB的中点，得EF∥PA，∴∠FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补角），在Rt△AOB中AO＝ABcos30°＝＝OP，于是，在等腰Rt△POA中，PA＝，则EF＝．在正△ABD和正△PBD中，DE＝DF＝，cos∠FED＝＝∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos．

1220．已知函数f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a﹣x）＝b恒成立，则称f（x）为“J﹣函数”．（1）判断函数f1（x）＝x，是否是“J﹣函数”；（2）若g（x）＝tanx是一个“J﹣函数”，求出所有满足条件的有序实数对（a，b）；（3）若定义域为R的函数f（x）是“J﹣函数”，且存在满足条件的有实数对（0，1）和（1，4），当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，求当x∈[﹣2020，2020]时，函数f（x）的值域．解：（1）函数f1（x）＝x，因为（a﹣x）（a+x）＝a2﹣x2＝b不可能恒成立，故f1（x）不是“J﹣函数”；函数，因为2a﹣x•2a+x＝22a＝b恒成立，故f2（x）是“J﹣函数”；（2）因为g（x）＝tanx是一个“J﹣函数”，所以g（a+x）g（a﹣x）＝＝恒成立，则tana＝±1，解得，又b＝1，故所有的有序实数对为；（3）由题意，f（x）f（﹣x）＝1，f（1+x）f（1﹣x）＝4，故f（x+1）＝，当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，故x∈[﹣1，0]时，f（x）的值域为[，1]，所以x∈[﹣1，1]时，f（x）的值域为[，2]，故x∈[1，3]时，f（x）的值域为[2，8]，x∈[3，5]时，f（x）的值域为[23，25]，x∈[﹣3，﹣1]时，f（x）的值域为[2﹣3，2﹣1]，

13x∈[﹣5，﹣3]时，f（x）的值域为[2﹣5，2﹣3]，以此类推，可得当x∈[﹣2020，2020]时，函数f（x）的值域为[2﹣2020，22020]．21．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的取值范围；（3）若（n∈N*），从数列{cn}中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列．解：（1）当n＝1时，由得，，得a1＝1，当n≥2时，由得，，两式相减得，，即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0，∵数列{an}各项均为正数，∴an﹣an﹣1＝2，∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣1；（2）由（1）知，，∴＝，∴＝＝，令，则＝，∴f（n）是单调递增函数，数列{Tn}递增，∴，又，

14∴Tn的取值范围为；（3），设奇数项取了s项，偶数项取了k项，其中s，k∈N+，s≥2，k≥2，因为数列{cn}的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相等的项必定一个是奇数，一个是偶数，假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数，设抽出的三个偶数从小到大依次为2i，2j，2p（1≤i＜j＜p），则为奇数，而i≥1，j≥2，则2j﹣1为偶数，2i﹣1为奇数，所以i＝1，又为奇数，而j≥2，p≥3，则2j﹣1，2p﹣1均为偶数，矛盾，又∵k≥2，∴k＝2，即偶数项只有两项，则奇数项最多有3项，即s+k的最大值为5，设此等差数列为d1，d2，d3，d4，d5，则d1，d3，d5为奇数，d2，d4为偶数，且d2＝2，由d1+d3＝2d2＝4得d1＝1，d3＝3，此数列为1，2，3，4，5．同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1．综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为1，2，3，4，5或5，4，3，2，1．