河南省平顶山市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理科）Word版含解析

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2020-2021学年河南省平顶山市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．复数z＝在复平面内对应的点位于（　　）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．有下列四个命题：①若a＞b＞0，则；②若a＞b，c＜d，则；③若ac2＞bc2，则a＞b．④若a＜b＜0，则a2＞ab．其中真命题的个数是（　　）A．1B．2C．3D．43．“0＜x＜1”是“≤0”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．与双曲线共焦点，且离心率为的椭圆的标准方程为（　　）A．B．C．D．5．已知等比数列{an}是递增数列，若a1＝1，且3a2，2a3，a4成等差数列，则{an}的前4项和S4＝（　　）A．4B．40C．4或40D．156．已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x＝﹣1，过其焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若直线l的斜率为1，则弦AB的长为（　　）A．4B．6C．7D．87．盒中有10只螺丝钉，其中有2只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么恰好有2只是坏的概率为（　　）A．B．C．D．

18．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x﹣2y的最小值为（　　）A．4B．3C．﹣4D．﹣59．的展开式中各项的二项式系数的和为256，则展开式中x4的系数为（　　）A．B．504C．D．7010．设每天去某网红景点旅游的人数（单位：万人）为随机变量X，且X～N（2，0.52），则一天中去该网红景占旅游的游客不少于1.5万人的概率为（　　）参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9973．A．0.97725B．0.84135C．0.6827D．0.1586511．观察下列数表，数表中的每一行从左到右，每一列从上到下均为等差数列．若第i行与第i列的交叉点上的数记为ai，i，则a1，1+a2，2+⋅⋅⋅+a20，20＝（　　）A．210B．399C．400D．42012．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为，且，则f（x）的最小值为（　　）A．B．eC．D．2e二、填空题：本题共1小题，每小题5分，共20分．13．为了解患某疾病是否与性别有关，随机地调查了50人，得到如下的2×2列联表：患该疾病不患该疾病总计男151025女52025总计203050

2则　　（填“有”或“没有”）99.9%的把握认为患该疾病与性别有关．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．14．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）记，求{bn}的前n项和Tn．15．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝∠B1BA＝90°，∠B1BC＝60°，AB＝1，．（Ⅰ）证明：平面ABC⊥平面BCC1B1；（Ⅱ）求二面角B﹣CC1﹣A的余弦值．16．某个知名品牌在某大型超市举行新品上市的抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得300元优惠券；方案乙的中奖率为，中奖可以获得350元优惠券；未中奖则没有优惠券．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响．（Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们获得的优惠券总金额为X元，求X＜400的概率；（Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，分别求两种方案下小明、小红获得优惠券的总金额的分布列，并判断他们选择何种方案抽奖，两人获得的优惠券总金额的数学期望较大．17．已知椭圆经过点A（0，1）接圆C的四个顶点得到的菱形的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为原点，直线l：y＝kx与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，问：|OM|•|ON|是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．18．已知函数f（x）＝x2lnx．

3（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数在上是增函数，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4—4：坐标系与参数方程]19．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）＝3．（Ⅰ）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若C1与C2相交于A，B两点，求△OAB的面积．[选修4—5：不等式选讲]20．已知函数f（x）＝|mx+1|+|2x﹣1|．（Ⅰ）若m＝3，求不等式f（x）＜2的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤2在上恒成立，求实数m的取值范围．

4参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．复数z＝在复平面内对应的点位于（　　）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：，故复数z在复平面内对应的点位于第一象限．故选：A．2．有下列四个命题：①若a＞b＞0，则；②若a＞b，c＜d，则；③若ac2＞bc2，则a＞b．④若a＜b＜0，则a2＞ab．其中真命题的个数是（　　）A．1B．2C．3D．4解：①中，若a＞b＞0，则ab＞0，则，所以，①正确；②中，当a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立，②错；③中，若ac2＞bc2，则c≠0，所以不等式两边除以c2可得：a＞b，③正确；④中，由a＜b＜0，可得a2＞ab，④正确．故选：C．3．“0＜x＜1”是“≤0”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：不等式可化为解得0＜x≤1，因为（0，1）⊊（0，1]，所以0＜x＜1是的充分不必要条件．

5故选：A．4．与双曲线共焦点，且离心率为的椭圆的标准方程为（　　）A．B．C．D．解：设椭圆的半焦距为c．由椭圆与双曲线有公共焦点，得椭圆的焦点坐标为，，∴，再由，可得a＝2，∴b＝＝1，则椭圆的标准方程为，故选：C．5．已知等比数列{an}是递增数列，若a1＝1，且3a2，2a3，a4成等差数列，则{an}的前4项和S4＝（　　）A．4B．40C．4或40D．15解：设{an}的公比为q（q＞1），由于3a2，2a3，a4成等差数列，所以4a3＝3a2+a4，因为a1＝1，所以4q2＝3q+q3，即q2﹣4q+3＝0，解得q＝1（舍去），或q＝3，所以．故选：B．6．已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x＝﹣1，过其焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若直线l的斜率为1，则弦AB的长为（　　）A．4B．6C．7D．8解：依题意得，抛物线C的方程是y2＝4x，直线l的方程是y＝x﹣1，联立可得（x﹣1）2＝4x，即x2﹣6x+1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），

6则x1+x2＝6，所以|AB|＝x1+x2+p＝6+2＝8．故选：D．7．盒中有10只螺丝钉，其中有2只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么恰好有2只是坏的概率为（　　）A．B．C．D．解：设X＝k表示取出的螺丝钉恰有k只是坏的，则．∴．故选：C．8．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x﹣2y的最小值为（　　）A．4B．3C．﹣4D．﹣5解：约束条件所表示的平面区域如图，由图可知A（0，2），B（3，0），联立方程组解得C（1，3）．目标函数z＝x﹣2y可化为，当过C点时，直线的纵截距最大，此时z最小，将C（1，3）代入目标函数可得z＝﹣5，故z的最小值为﹣5．故选：D．

79．的展开式中各项的二项式系数的和为256，则展开式中x4的系数为（　　）A．B．504C．D．70解：∵展开式中各项的二项式系数的和为256，∴2n＝256，解得n＝8．的展开式的通项为＝．再令，解得r＝3．所以展开式中x4的系数为．故选：A．10．设每天去某网红景点旅游的人数（单位：万人）为随机变量X，且X～N（2，0.52），则一天中去该网红景占旅游的游客不少于1.5万人的概率为（　　）参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9973．A．0.97725B．0.84135C．0.6827D．0.15865解：∵X～N（2，0.52），∴P（1.5≤X≤2.5）＝0.6827，∴，∴P（X≥1.5）＝1﹣0.15865＝0.84135．故选：B．11．观察下列数表，数表中的每一行从左到右，每一列从上到下均为等差数列．若第i行与第i列的交叉点上的数记为ai，i，则a1，1+a2，2+⋅⋅⋅+a20，20＝（　　）A．210B．399C．400D．420解：根据数表可知，第1行第1列上的数为1，第2行第2列上的数为3，

8第3行第3列上的数为5，第4行第4列上的数为7，由此可以推导出第i行与第i列交叉点上的数应该是2i﹣1，所以a1，1+a2，2+⋅⋅⋅+a20，20＝．故选：C．12．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为，且，则f（x）的最小值为（　　）A．B．eC．D．2e解：∵，∴xf'（x）+f（x）＝ex，设g'（x）＝xf'（x）+f（x）＝ex，则g（x）＝xf（x）＝ex+a，a∈R，∴，，又∵，∴a＝0，即，∴当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，单调递减，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，单调递增，即f（x）在x＝1取得极小值，也为最小值，∴f（x）的最小值为f（1）＝e．故选：B．二、填空题：本题共1小题，每小题5分，共20分．13．为了解患某疾病是否与性别有关，随机地调查了50人，得到如下的2×2列联表：患该疾病不患该疾病总计男151025女52025总计203050则　没有　（填“有”或“没有”）99.9%的把握认为患该疾病与性别有关．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．

9解：由列联表中的数据可得，，故没有99.9%的把握认为患该疾病与性别有关．故答案为：没有．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．14．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）记，求{bn}的前n项和Tn．解：（Ⅰ）由，可得数列是以为首项、1为公差的等差数列，所以，所以，当n≥2时，，且当n＝1时也符合上式，故{an}的通项公式为an＝2n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n﹣1，所以，则，，两式相减得＝，即﹣3Tn＝，所以．15．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝∠B1BA＝90°，∠B1BC＝60°，AB＝1，．（Ⅰ）证明：平面ABC⊥平面BCC1B1；（Ⅱ）求二面角B﹣CC1﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝∠B1BA＝90°，

10所以AB⊥BB1，AB⊥BC，又BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，所以AB⊥平面BCC1B1；又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCC1B1．（Ⅱ）解：如图，作B1H⊥BC，垂足为H，因为B1H⊂平面BCC1B1，平面BCC1B1⊥平面ABC，所以B1H⊥平面ABC，由，∠B1BC＝60°，可得，B1H＝3，以H为坐标原点，的方向为x轴的正方向，的方向为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H﹣xyz，则，，，所以，，设平面ACC1A1的法向量为，则，即，令z＝﹣1，可得，y＝6，故，又平面BCC1B1的一个法向量为，所以，因此二面角B﹣CC1﹣A的余弦值为．

1116．某个知名品牌在某大型超市举行新品上市的抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得300元优惠券；方案乙的中奖率为，中奖可以获得350元优惠券；未中奖则没有优惠券．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响．（Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们获得的优惠券总金额为X元，求X＜400的概率；（Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，分别求两种方案下小明、小红获得优惠券的总金额的分布列，并判断他们选择何种方案抽奖，两人获得的优惠券总金额的数学期望较大．解：（Ⅰ）由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响，记“X＜400”的事件为A，则事件A的对立事件为，即“X＝650”，因为，所以，即X＜400的概率为．（Ⅱ）设小明、小红都选择方案甲所获得的优惠券总金额为X1元，都选择方案乙所获得的优惠券总金额为X2元，则X1的可能取值为0，300，600，X2的可能取值为0，350，700，，，，，，，∴X1，X2的分布列如下：X10300600PX20350700P∴，，∵E（X1）＞E（X2），∴他们都选择方案甲进行抽奖时，所获得的优惠券总金额的数学期望较大．17．已知椭圆经过点A（0，1）接圆C的四个顶点得到的菱形的面积为

12．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为原点，直线l：y＝kx与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，问：|OM|•|ON|是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．解：（Ⅰ）由题意，得b2＝1，再由连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为可得，所以．．所以椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线AP的方程为．令y＝0，得点M的横坐标．﹣又y1＝kx1，从而，同理，．由，得（1+2k2）x2﹣2＝0，则x1+x2＝0，，所以|OM|•|ON|＝||＝||＝|＝2，即|OM|⋅|ON|为定值2．18．已知函数f（x）＝x2lnx．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数在上是增函数，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）由题可知f（x）的定义域为（0，+∞），．

13令f'（x）＝0，得．∴当时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当时，f'（x）≥0，函数f（x）单调递增．（Ⅱ）由题可知，则．∵g（x）在上是增函数，∴g'（x）≥0在上恒成立．∴对任意，不等式恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx恒成立．令u（x）＝x﹣x2lnx，则u'（x）＝1﹣2xlnx﹣x，u'（1）＝0．令m（x）＝1﹣2xlnx﹣x，则m'（x）＝﹣3﹣2lnx，∵，∴m'（x）＝﹣3﹣2lnx＜0，∴u'（x）在上单调递减，∴当时，u'（x）≥0，当x∈（1，2]时，u'（x）＜0，即函数u（x）在区间上单调递增，在区间（1，2]上单调递减，∴u（x）max＝u（1）＝1，从而a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4—4：坐标系与参数方程]19．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）＝3．（Ⅰ）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若C1与C2相交于A，B两点，求△OAB的面积．解：（Ⅰ）由（α为参数），消去参数α可得，曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2＝4．曲线C2的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）＝3，即ρcosθ+ρsinθ＝3，

14根据，所以C2的直角坐标方程为x+y﹣3＝0．（Ⅱ）由曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2＝4，可知它表示圆心为C1（2，0），半径r＝2的圆．圆心C1到直线x+y﹣3＝0的距离，故．原点O到直线x+y﹣3＝0的距离．所以．所以△OAB的面积为．[选修4—5：不等式选讲]20．已知函数f（x）＝|mx+1|+|2x﹣1|．（Ⅰ）若m＝3，求不等式f（x）＜2的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤2在上恒成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）依题意，当时，﹣5x＜2，解得，当时，2+x＜2，解得，当时，5x＜2，无解；综上可得，不等式f（x）＜2的解集为．（Ⅱ）因为|mx+1|+|2x﹣1|≤2在上恒成立，所以|mx+1|≤2x+1，即﹣（2x+1）≤mx+1≤2x+1，所以﹣2x﹣2≤mx≤2x所以，由①，得m≤2，由②，得在上恒成立，所以，因为，所以m≥﹣6，综上所述，实数m的取值范围为[﹣6，2]．

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