天津市宁河区芦台第四中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学试题（解析版）

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芦台四中2019—2020学年高二第二学期第1次月考数学试卷一、选择题（每题5分，共40分）1.用三段论推理命题：“任何实数的平方都大于，因为是实数，所以”你认为这个推理．A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确【答案】A【解析】【详解】：任何实数的平方大于0，这句话是错误的，所以导致后面的结论是错误的，因此大前提错误．2.若，则等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】按照求导法则和公式求解即可.详解】故选：A3.函数的单调减区间是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用导数求原函数的单调区间，注意原函数的定义域.【详解】∵的定义域为，且，令，解得，∴函数的单调减区间是.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

1故选：D.4.曲线，在点处的切线方程为，则（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】根据导数的几何意义列式求解.【详解】∵，则，∴，，切线的斜率，且过点由题意可得，解得.故选：C.5.的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据定积分公式可得,再分别利用定积分的几何意义以及基本计算求解即可.【详解】,其中的几何意义为在上的面积.又为半圆.故在的面积为四分之一个圆.故.又.故.故选：A【点睛】本题主要考查了根据几何意义与公式计算定积分的方法.属于基础题.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

26.设，若函数在区间有极值点，则取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先对函数求导，将函数在区间有极值点转化为导函数有零点，再由零点存在定理列出不等式求解即可．【详解】依题意得，则为单调函数，又函数在区间有极值点，即导函数在区间有零点，则有，解得．故选：B．7.已知上可导函数的图像如图所示，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据原函数单调性与导函数符号之间关系，分类讨论，结合一元二次不等式的解法运算求解.【详解】由的图像可得：x第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

300对于可得：当时，则，∴，解得；当时，则，故，不合题意，舍去；当时，则，∴，解得；当时，则，故，不合题意，舍去；当时，则，∴，解得；综上所述：不等式的解集为.故选：D.8.设函数的导函数为，若对任意都有成立，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】构建，求导，结合题意分析可得在上单调递增，再根据单调性分析判断.【详解】构建，则，∵对任意都有成立，则，且，∴对任意恒成立，则在上单调递增，又∵在上单调递增，则，∴，即，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

4故.故选：A.二、填空题（每题5分，共30分）9.已知物体的运动方程是（的单位是秒，的单位是米），则物体在时的速度______（m/s）【答案】【解析】【分析】先求导,再应用路程的导数是速度,把代入导函数即可求解.【详解】因为路程的导数是速度,所以当时,.故答案为:.10.设的三边长分别为，的面积为，内切圆半径为，则；类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为，四面体的体积为，则__________．【答案】.【解析】【分析】根据平面和空间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，结合三角形面积的求法求出三棱锥的体积，进而求出内切球的半径为.【详解】设四面体的内切球的球心为，则球心到四个面的距离都为，所以四棱锥的体积等于以为顶点，四个面为底面的四个小三棱锥的体积之和，则四面体的体积为.【点睛】本题考查了类比推理.类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知一类的数学对象的性质迁移到另一个数学对象上去.11.对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：……仿此，若的“分裂数”中有一个是59，则的值为_____.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

5【答案】8【解析】【分析】由题意知，的三次方就是个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可找出的“分裂数”中有一个是59时，的值．【详解】由题意，从到，正好用去从3开始的连续奇数共个，59是从3开始的第29个奇数，当时，从到，用去从3开始的连续奇数共个，当时，从到，用去从3开始的连续奇数共个，故，故答案为8.【点睛】本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论，其中分析出分解式中项数及每个式子中各数据之间的变化规律是解答的关键．12.求由抛物线与它在点的切线和直线所围成的区域的面积______.【答案】9【解析】【分析】先根据导数的几何意义求切线方程，再利用定积分求区域面积.【详解】由题意可得：，则，即在点的切线的斜率，则切线方程为，故区域的面积.故答案为：9.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

613.若函数f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2处有极值，则函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为________．【答案】－5【解析】【分析】求出导函数，由f′（2）＝0，可得求出c＝－4，再由导数的几何意义即可求解.【详解】∵函数f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2处有极值，∴f′(x)＝(x2＋c)＋(x－2)×2x，令f′（2）＝0，∴(c＋4)＋(2－2)×2×2＝0，∴c＝－4，∴f′(x)＝(x2－4)＋(x－2)×2x．∴函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为f′（1）＝(1－4)＋(1－2)×2＝－5．故答案为：－514.已知函数为上的连续可导函数，当时，关于，则关于的函数的零点的个数为______.【答案】0【解析】【分析】令得，即，然后利用导数研究函数的单调性和极值，即可得到结论．【详解】令，得，即，设，则．∵当时，，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

7∴当时，，即当时，，即，此时函数单调递增，当时，，即，此时函数单调递减，∴当时，函数取得极小值，同时也是最小值，∴当时，，∴无解，即无解，即函数的零点个数为0个，故答案为：0．三、解答题（解答题要写出必要的推理、计算过程，只写结果不给分）15.已知数列的前项和为，，满足.（1）当时，用表示；（2）计算，，，；（3）猜想的表达式（不用证明）.【答案】（1）（2），，，（3）【解析】【分析】（1）根据与之间的关系运算整理即可；（2）根据题意直接可得，分别取结合（1）中的关系式运算求解；（3）猜想，并利用数学归纳法证明.【小问1详解】当时，则，整理得.【小问2详解】由题意可得：；第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

8当时，则；当时，则；当时，则；故，，，.【小问3详解】猜想，理由如下：当时，则满足上式；假设当时，则满足上式；当时，则满足上式；故由数学归纳法可知.16.已知函数．（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）最大值为，最小值为0【解析】【分析】（1）先求导函数，可得切线斜率，进而可得切线方程；（2）由导数确定函数的单调性与极值，同时可得函数在上的单调性与最值．【小问1详解】依题意得，则函数在点处的切线斜率，且，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

9所以函数在点处的切线方程为．【小问2详解】由（1）得当时，；当时，；所以函数在上是增函数，在上是减函数．且，，，所以函数在区间上最大值，最小值0．17.已知函数．（1）若2是函数的一个极值点，求实数的值；（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先对函数进行求导，根据2是函数的一个极值点，可得，即可得，再将代入原函数进行分析说明即可；（2）结合（1）可得函数的导数，利用给定的单调性列出不等式，再结合恒成立条件即可求解．【小问1详解】依题意得，因为2是函数的一个极值点，所以，解得．此时，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

10则当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，2是函数一个极大值点，符合题意，综上，；【小问2详解】因为在上是减函数，∴在上恒成立，即在上恒成立，即，恒成立，∵，∴得．18.已知函数，．（1）若函数在上的最大值为，求的值；（2）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）对函数进行求导，分与两种情况求解函数最大值即可得到答案；（2）将题意转化为，易求得，再结合（1）分与两种情况求解，进而求解即可．【小问1详解】依题意可得，①当时，，此时在上单调递增，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

11所以，（舍去），②当时，令，得，ⅰ）当，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以，则，ⅱ）当时，即时，，此时在上单调递增，所以，（舍去），综上，若函数在上的最大值为，则，【小问2详解】由已知转化为，又时，，由（1）知，当时，在上单调递增，值域为，不合题意（或举出反例：存在，不合题意，舍去），当时，在上单调递增，在上单调递减，∴，∴，解得，综上，的取值范围是．19.已知函数，为自然对数的底数.（1）若，求实数的值；（2）当时，试求的单调区间；（3）若函数在上有三个不同的极值点，求实数的取值范围.【答案】（1）第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

12（2）的单调增区间为，单调减区间为（3）【解析】【分析】（1）求导，根据题意运算求解；（2）注意到当时，对于，恒成立，利用导数求原函数的单调区间；（3）根据题意分析可得在上有两个不同的根，且，构建新函数，结合导数解决方程根的问题.【小问1详解】.由，得.【小问2详解】∵函数的定义域为，当时，对于，恒成立，∴当，，当，，故的单调增区间为，单调减区间为.【小问3详解】由条件可知，在上有三个不同的根，∵是的根，∴，即在上有两个不同的根，且，令，则，∵当时，，当时，，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

13则在上单调递增，在上单调递减，∴的最大值为，且，，又∵，即，∴，故.20.已知函数，（为常数）.（1）若在处的切线过点（0，-5），求的值；（2）设函数的导函数为，若关于的方程有唯一解，求实数的取值范围；（3）令，若函数存在极值，且所有极值之和大于，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【详解】试题分析：（1）由求导公式和法则求，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由题意和点斜式方程求出切线方程，把代入求出切点坐标，代入求出的值；（2）求出方程的表达式，利用参数分离法构造函数，利用导数求出函数的取值范围即可求实数的取值范围；（3）求函数以及定义域，求出，利用导数和极值之间的关系将条件转化：在（0，+∞）上有根，即在上有根，根据二次方程根的分布问题列出方程组，根据条件列出关于的不等式，求出的范围．试题解析：（1）设在处的切线方程为，因为，所以，故切线方程为.当时，，将（1,6）代入，得.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

14（2），由题意得方程有唯一解，即方程有唯一解.令，则，所以在区间上是增函数，在区间上是减函数.又.故实数的取值范围是.（3），所以.因为存在极值，所以在上有限，即方程在上有限，则有.显然当时，无极值，不合题意；所以方程必有两个不等正跟.记方程的两根，则，，解得，满足，又，即，故所求的取值范围是.【名师点睛】本题主要考查导数的几何意义，函数单调性，极值和最值与导数之间的关系，综合考查导数的应用．属难题.解题时要熟练应用利用导数研究函数的性质的一般方法，包括构造新函数，分离变量，以及求极值、最值等.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

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