河北省邢台市第二中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题（解析版）

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邢台市第二中学2022-2023高一上半学年期末试题数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，满分40分，每小题5分）1.集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的性质求出集合A，再解一元二次不等式求出集合B，即可求解.【详解】由得解得或，，所以或，又由解得，所以，所以，故选：B.2.“”是“角是第一象限角”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据角所在的象限的正负结合充分不必要条件的定义即可判断结论.【详解】由同角三角函数的关系，角是第一象限角或第二象限角，故“”是“角是第一象限角”的必要不充分条件.故选：C3.如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（）第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

1A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】【分析】由条件可得，然后根据扇形的面积公式可得答案.【详解】设，则，所以，所以，故选：D4.已知函数（且）的图像过定点，且角的终边过点，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据对数型函数过定点求得，利用三角函数的定义求出，，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可.【详解】解：由题意在中，且，当时，，∴过定点，∵角的终边过点∴由三角函数的定义可得，，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

2，∴，故选：A5.若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用反函数的性质及复合函数单调性的性质求解即可.【详解】∵函数与的图象关于直线对称，∴函数是的反函数，则，∴，由，解得，所以的定义域为，令，，在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递减，∴的单调减区间为.故选：D.6.若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式的形式构建新函数，利用其单调性可判断，的大小关系.【详解】设，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

3因为为上的增函数，而为上的减函数，故为上的增函数，而即为，故，故，故B正确，AC错误.因为，可能为负数，故D错误.故选：B.7.某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次不少于10万粒的是（）（参考数据：，）A.第5代种子B.第6代种子C.第7代种子D.第8代种子【答案】B【解析】【分析】设第代种子的数量为，根据题意列出不等式，对不等式化简代入数值即可得到结果.【详解】设第代种子的数量为，由题意得，得.因为，故种子数量首次不少于10万粒的是第6代种子.故选：B.8.已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意作函数与的图象，从而可得，，从而得到结果.【详解】由题意作函数与的图象，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

4∵方程有四个不同的解且，∴关于对称，即，当得或，则，由题知，，故，所以，故，因为，设，则由对勾函数的性质可知，在单调递增，所以，的取值范围是故选：B.二、多项选择题（本题共4小题，满分20分，每小题5分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.若，且，在下列不等式一定成立的是（）AB.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解.【详解】对于A，，，故A正确；对于B，当时，，故B错误；第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

5对于C，，且，即，故C正确；对于D，令，满足，但是，故D错误.故选:AC10.关于函数，描述正确的是（）A.的定义域为B.有2个零点C.在定义域上是奇函数D.在上是增函数【答案】BCD【解析】【分析】求出的定义域可判断A，求出的零点可判断B，判断出的奇偶性可判断C，当时，然后可得其单调性，即可判断D.【详解】要使函数有意义，则有，解得且，所以的定义域为，故A错误；由可得，故B正确；因为，，所以在定义域上是奇函数，故C正确；当时，其为增函数，故D正确；故选：BCD11.已知正数，满足，若恒成立，则实数的值可能是（）A.B.C.0D.1【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式求出的最小值为4，由于不等式的恒成立关系可得，解一元二次不等式即可.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

6【详解】因为，当且仅当，即时取得等号，因为恒成立，所以，解得，故选:BCD.12.已知函数，则下列结论错误的是（）A.是周期函数B.是奇函数C.的图像关于直线对称D.在处取得最大值【答案】ACD【解析】【分析】对于A，验证是否相等即可；对于B，验证对于任意，是否与相等即可；对于C，验证是否相等即可；对于D，验证是否等于1即可.【详解】对于函数，其周期为，函数，其周期为，则若是周期函数，其周期为，但，则不是周期函数，故可选A；对于B，当，，又，则是奇函数，故不选B；第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

7对于C，的图像关于直线对称，则，但，则的图像不关于直线对称，故可选C；对于D，由题可得，又，，故可选D.故选：ACD三、填空题（本题共4小题，满分20分，每小题5分）13.若函数定义域为，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】由函数定义域为，分类讨论是否为0，即可得到实数的取值范围.【详解】解：由题意，在中，定义域为，当时，，符合题意；当时，，解得：，综上，.故答案为：.14.函数（且）的图像过定点，且点在幂函数的图像上，则______.【答案】【解析】【分析】计算出点的坐标，设出函数的表达式，将点的坐标代入表达式，即可求出，即可求出，进而求出的值.【详解】解：由题意在中，且第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

8当，即时，，∴函数的图像过定点.设幂函数，由于点在幂函数的图像上，则，解得，∴，∴，.故答案为：.15.化简：______.【答案】【解析】【分析】根据，结合两角和的正切公式化简即可【详解】因为，故，所以故答案为：.16.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则当时，恰有3个使函数最得大值，则的取值范围是______.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

9【答案】【解析】【分析】根据求出半径，由求出，再结合时，函数值恰好在对应点纵坐标，求出，得到函数解析式，由，得到，结合最大值的个数列出不等式，求出的取值范围.【详解】根据点可得圆周的半径，又旋转一周用时6秒，所以周期，因为，从而得，∴，又时，函数值恰好在对应点纵坐标，∴，且，∴，∴，，则，根据三角函数的性质，在内恰有3个最大值时，，解得.故答案为：.四、解答题（本题共6小题，满分70分）17.已知，.求：①；②；③.【答案】①；②；③.【解析】【分析】①根据交集的概念运算可得结果；②根据并集的概念运算可得结果；第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

10③根据可求得结果.【详解】①；②③.【点睛】关键点点睛：根据交集、并集与补集的概念运算求解是解题关键.18.（1）计算：.（2）计算：已知，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用指数对数的运算性质即可求解.（2）根据已知条件及三角函数的齐次式，结合三角函数的诱导公式即可求解.【小问1详解】原式.【小问2详解】由可得,即，.19.已知函数.（1）求函数的定义域；第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

11（2）判断函数的奇偶性；（3）若对任意，，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）奇函数（3）【解析】【分析】（1）根据条件，列出不等式即可得到结果；（2）根据条件，结合函数奇偶性的定义即可得到结果；（3）根据条件，结合换元法，以及函数的单调，转化为最值问题，即可得到结果.【小问1详解】∵，∴，解得，∴的定义域为.【小问2详解】∵定义域关于原点对称，且，∴函数为奇函数.【小问3详解】设，，∵在上单调递增，在上单调递增，∴由复合函数的单调性知，在上单调递增，∴在上单调递增，∴在上的最大值为.要使对任意，恒成立，只需，即，恒成立.令，则，解得或，故实数取值范围是.20.已知函数的部分图像如图所示.（1）求函数的解析式，并写出函数的单调递减区间.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

12（2）已知函数，则的图像可由函数的图像经过怎样的变换得到?叙述变换的具体过程.（3）求在区间上的取值范围.【答案】（1），，（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）根据图象得到，，求出，再代入特殊点坐标，求出，从而求出函数解析式，并求出单调递减区间；（2）先利用三角恒等变换得到，从而根据伸缩变换和平移变换的特征，得到变换的具体过程；（3）整体法结合函数图象，求解函数的值域.【小问1详解】由图可知，的最小正周期，所以，则.的图像的一个最低点的横坐标为，则，，则，.因为，所以只有时,满足要求，所以.由，，可得，，所以的单调递减区间为，；【小问2详解】第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

13.先将的图像上所有点的横、纵坐标同时缩短为原来的，得到的图像，再将的图像向左平移个单位长度，得到的图像，然后将的图像向上平移个单位长度，得到的图像.【小问3详解】当时，，所以，所以，故的取值范围为.21.北京冬奥会举世瞩目，树立了中国形象，同时也带动了中国冰雪运动器械的蓬勃发展，张家口某冰上运动器械生产企业生产某种产品的年固定成本为100万元，每生产千件，需另投入成本万元.当年产量低于30千件时，；当年产量不低于30千件时，.每千件产品的售价为30万元，且生产的产品能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式.（2）当年产量为多少千件时，该企业所获年利润最大?最大年利润多少?【答案】（1）（2）当年产量为30千件时，该企业所获年利润最大为300万元【解析】【分析】（1）根据利润与成本之间的关系，分类计论进行求解即可；（2）根据基本不等式，结合二次函数的性质进行求解即可.【小问1详解】第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

14当时，；当时，.所以【小问2详解】当时，函数的对称轴为，所以此时该函数是单调递增函数，因此有，当时，，当且仅当时，等号成立.因为，所以当年产量为30千件时，该企业所获年利润最大为300万元.22.已知，，对，为其最值，且关于的方程有两个相等的实数根.（1）求函数的值域；（2）设函数，（且）且在上的值域为，求的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据题意，先由条件解得函数解析式，从而得到的解析式，即可得到其值域；（1）根据题意，得到函数的解析式，结合换元法，然后分与两种情况分类讨论，即可得到结果.【小问1详解】∵，为的最值，故为函数图像的对称轴，依题意得，即，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司

15又关于的方程，即有两个相等的实数根，所以，解得，，故，∴，即时，，∴的值域为.【小问2详解】由上述知，所以，令，则.①当时，，∵，∴，解得.∵，∴，即解得或（舍）.②当时，，∵，∴，解得.∵，∴，即解得或（舍）.综上所述，的值为或.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司