湖南省2021届高三高考数学冲刺（三）Word版含解析

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2021年湖南省高考数学冲刺试卷（三）1.已知p：，使得，那么¬为A.，B.，C.，D.，2.棣莫弗公式cosossincosossins为虚数单位是由法国数学家棣莫弗ͳͳͷ发现的，根据棣莫弗公式可知，复数cosossin在复平面内所对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知奇函数䁖为R上的增函数，且在区间䁨间上的最大值为9，最小值为，则䁖䁨o䁖的值为A.3B.1C.ͳD.䁨4.魏晋时期，数学家刘徽首创割圆术.他在《九章算术》之方田章之圆田术中指出：“割圆之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是一种无限与有限的转化过程.数学ͳͳͳ中这类问题多着呢!比如：在正数ͳ中的“…”代表无限重复，设ͳ，则可列方程，ͳoͳoͳoͳo䁑䁑䁑䁑ͳo䁑䁑䁑䁑求得䁨ͷ不合题意，舍去䁑类似地，可得到正数䁑䁑䁑䁑䁑䁑等于A.3B.5C.7D.95.某商场经营的某种包装的大米质量单位：‴服从正态分布ͳ，根据检测结果可知䁑ͳ䁑ͳ䁑，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有1000名职工，则分发到的大米质量在䁑‴以下的职工数大约为A.10B.20C.30D.406.已知三棱锥㌳䁩的底面是边长为3的正三角形，且䁨，㌳ͷ，䁩，则三棱锥㌳䁩的体积为A.3B.ͳC.ͳͳD.䁨7.已知，，则，，logͳoͳ的大小关系为A.B.C.D.8.已知函数䁖oocos，其中e为自然对数的底数，则对任意，下列不等式一定成立的是A.䁖oͳ䁖B.䁖oͳ䁖C.䁖oͳ䁖oͳD.䁖oͳ䁖第1页，共16页

19.一道四个选项的选择题，赵、钱、孙、李各选了一个选项，且选的恰好各不相同.赵说：“我选的是䁑”钱说：“我选的是B，C，D之一.”孙说：“我选的是䁩䁑”李说：“我选的是䁑”已知四人中只有一人说了假话，则说假话的人可能是A.赵B.钱C.孙D.李ͳ10.已知数列满足ͳ，oͳo，则下列关于的判断中，错误的是A.，，使得B.，，使得oͳC.，，总有D.，，总有o11.已知焦点在x轴上的椭圆过点䁨且离心率为，则䁨A.椭圆的标准方程为oͳ䁨B.椭圆经过点䁨C.椭圆与双曲线䁨的焦点相同D.直线ͳͳ与椭圆恒有交点12.某人决定就近打车前往目的地，前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”.他决定按如下两种方案打车.方案一：不乘第一辆车，若第二辆车好于第一辆车，就乘此车，否则直接乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.若三辆车开过来的先后次序等可能，记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为ͳ，，则下列判断不正确的是ͳͳA.ͳB.ͳ䁨ͳͳͳͳC.ͳ，D.ͳ，䁨䁨13.已知函数‴的图象向左平移个单位长度，得到函数䁖䁨cososincos䁨的图象，则‴______.䁨14.设a，b是正数，若两直线ͳ：ͳo䁨oͳ和：oo恒过同一ͳ定点，则o的最小值为______.第2页，共16页

2sinosin㌳sin䁩sinsin㌳15.已知㌳䁩的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若oͷ，则cos㌳ocosc的取值范围是______.16.若关于x的方程ͳocosͳ只有一个实数解，则实数a的取值的集合是______.17.如图，直四棱柱㌳䁩ͳ㌳ͳ䁩ͳͳ的底面是菱形，侧面是正方形，㌳，经过对角线䁩ͳ的平面和侧棱㌳㌳ͳ相交于点F，且㌳ͳ㌳䁑ͳ求证：平面䁩ͳ平面㌳䁩䁩ͳ㌳ͳ；求二面角䁩ͳ䁩的余弦值.㌳o䁩㌳o䁩18.记㌳䁩的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，ͳ，且sinosinsinsin䁑ͳ求的大小和边a的长；若点P在㌳䁩的内部或边上运动记点P到边BC，CA的距离分别为x，y，点P到㌳䁩三边的距离之和为d，试用x，y表示d，并求d的最大值和最小值.19.数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分.数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现.为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动.已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如图.第3页，共16页

3ͳ为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上含60分的成绩定为合格.为科学评估该校学生数学建模水平，决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会.记为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求的分布列和数学期望；已知这60名学生的数学建模竞赛成绩X服从正态分布，其中可用样本平均数近似代替，可用样本方差近似代替用一组数据的中点值作代表，若成绩在46分以上的学生均能得到奖励.本次数学建模竞赛满分为100分，试估计此次竞赛受到奖励的人数䁑结果根据四舍五入保留到整数位解题中可参考使用下列数据：o䁑，o䁑ͷ，䁨o䁨䁑䁨䁑20.设m个互异的正偶数与n个互异的正奇数的和为䁑ͳ求证：oo；求o的最大值.21.已知椭圆C：oͳ的左、右焦点分别为ͳ，，右顶点为A，上顶点为B，且满足㌳ͳ㌳䁑ͳ求椭圆C的离心率e；设P为椭圆上异于顶点的点，以线段PB为直径的圆经过点ͳ，试问是否存在过点的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，请说明理由.第4页，共16页

4ͳ22.函数䁖ln，数列满足ͳͳ，oͳ䁖䁑ͳ试求䁖的单调区间；求证：数列为递减数列，且恒成立．第5页，共16页

5答案和解析1.【答案】C【解析】解：命题为特称命题，则命题的否定为，，故选：䁩䁑根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2.【答案】C【解析】解：由cosossincosossin，得cosossincosossincosssin，复数cosossin在复平面内所对应的点的坐标为cossin，位于第三象限．故选：䁩䁑由题意可得cosossincosossincosssin，再由三角函数的符号得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数值的符号，是基础题．3.【答案】D【解析】解：因为函数䁖为R上的增函数，则䁖在䁨间上是增函数且最大值为䁖䁨，最小值为䁖，又䁖是奇函数，䁖䁨䁖䁨，䁖䁖，䁖䁨o䁖o䁨䁑故选：䁑根据函数的奇偶性与单调性求解即可．本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查转化思想与运算求解能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：依题意，得，解得，经过验证满足题意，第6页，共16页

6䁑故选：㌳䁑依题意，得，x，即可得出．本题考查了极限的思想、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：考试的成绩服从正态分布ͳ䁑考试的成绩关于ͳ对称，䁑ͳ䁑ͳ䁑，ͳ䁑䁑䁑，公司有2000名职工，则分发到的大米质量在䁑‴以下的职工数大约为䁑ͳ䁑故选：㌳䁑根据考试的成绩服从正态分布ͳ䁑得到考试的成绩关于ͳ对称，根据䁑ͳ䁑ͳ䁑，得到䁑䁑，根据频率乘以样本容量得到分发到的大米质量在䁑‴以下的职工数．本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，解题的关键是考试的成绩关于ͳ对称．属于基础题．6.【答案】C【解析】解：三棱锥㌳䁩的底面是边长为3的正三角形，䁨㌳ͷ，䁩，㌳o㌳䁩䁩，㌳㌳䁩，㌳䁩是直角三角形，如图，由斜线长相等，则射影长相等，可得A在平面PBC内的射影H为直角三角形PBC的外心，故H为㌳䁩斜边PC的中点，ͳͳ䁩䁨，H为PC中点，且䁩，则ᦙ䁨，ͷͳͳͳͳ该三棱锥㌳䁩的体积为：㌳䁩㌳䁩䁨ͷͳͳ䁑䁨故选：䁩䁑由题意画出图形，由已知可得㌳䁩为直角三角形，再由射影长相等可得A在平面PBC内的射影H为直角三角形PBC的外心，故H为㌳䁩斜边PC的中点，求出A到底面的距离，再由棱锥体积公式求解．本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．第7页，共16页

77.【答案】D【解析】解：，，，oͳͳ，logͳoͳlogͳͳ，䁑故选：䁑根据指数函数的单调性及值域即可得出，而根据对数函数的单调性即可得出logͳoͳ，这样即可得出x，y，z的大小关系．本题考查了指数函数和对数函数的单调性，指数函数的值域，考查了计算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的奇偶性以及不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由䁖䁖，可得䁖在R上是偶函数，函数䁖oocos，利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：䁖䁖，䁖在R上是偶函数．函数䁖oocos，䁖쳌sin，令‴sin，则‴쳌ocoscos，函数‴在R上单调递增，䁖쳌，当时，䁖쳌，函数䁖在o上单调递增．oͳ，䁖oͳ䁖䁖，䁖oͳ䁖，第8页，共16页

8故选：䁑9.【答案】CD【解析】解：假设赵说了假话，则钱、孙、李说的是真话，钱、孙、李分别选了B，C，D，因为选的恰不相同，故赵选A，即赵没有说假话，矛盾；假设钱说了假话，则钱选的是A，而赵选A说的是假话，矛盾；假设孙说了假话，则赵、钱、李说的是真话，一种可能是孙选的是B，钱选的是C，没有矛盾；假设李说了假话，则赵、钱、孙说了真话，一种可能性是李选了B，钱选了D，也没有矛盾．故说假话的可能是孙、李．故选：䁩䁑分别假设赵、钱、孙、李说了假话，由此进行推理，即可得到答案．本题考查了简单的合情推理的实际应用，考查了学生分析问题的能力与逻辑推理能力，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：对于A：由于ͳ，ͳͳ当ͳ时，oͳo，当且仅当时，等号成立，所以对一切o都有，故A错误；ͳ由于oͳ，所以数列不为单调递增数列，故BC错误；对于D；存在，对ͳ时，oͳ，故D正确；故选：㌳䁩䁑直接利用数列的递推关系式，数列的单调性，基本不等式的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的单调性，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.【答案】ACD【解析】解：焦点在x轴上的椭圆过点䁨且离心率为，可得䁨，，所以䁨，䁨所以椭圆方程为：oͳ䁑所以A正确；䁨因为䁨，所以B不正确；椭圆的焦点坐标，双曲线䁨的焦点坐标为，所以C正确；直线ͳͳ恒过ͳͳ，ͳͳ在椭圆内部，所以D正确；第9页，共16页

9故选：䁩䁑利用已知条件求解椭圆方程，判断A；求出b判断B；求解焦点坐标判断C；判断直线系经过的定点说法在椭圆内，判断䁑本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，双曲线的简单性质以及椭圆的简单性质的应用，是中档题．12.【答案】ABD【解析】解：设“好”“中”“差”三辆车的序号分别为1，2，3，三辆车出车的顺序可能为：123，132，213，231，312，321，䁨ͳ方案一坐车可能为：213，231，312，ͳ，ͳ方案二坐车可能为：123，132，䁑䁨故选：㌳䁑先列举出三辆车出车的顺序可能为6种，方案一坐车可能为3种，求出ͳ，方案二坐车可能为2种，求出，由此能求出结果．本题考查概率的求法，涉及到古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．13.【答案】0ͳocossin䁨【解析】解：函数䁖䁨cososincos䁨䁨o䁨sino，䁨䁨把函数䁖的图象向右平移个单位，得到‴sin，䁨所以‴sin，䁨䁨故答案为：䁑直接利用三角函数图象的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：设a，b是正数，若两直线ͳ：ͳo䁨oͳ和：oo恒过同一定点，而ͳo䁨oͳ，即o䁨oͳ，经过定点ͳ，故oo也经过定ͳ，故o，即o，第10页，共16页

10ͳͳͳ，，当且仅当ͳ时，即，ͳ时，等号成立．ͳoͳͳ则oͳ，即o的最小值为1，ͳ当且仅当，ͳ时，等号成立．故答案为：ͳ䁑ͳ先求出定点坐标，可得o，再利用基本不等式求得o的最小值．本题主要考查直线经过定点问题，基本不等式的应用，属于中档题．15.【答案】ͷ【解析】解：由正弦定理知，，sinsin㌳sin䁩sinosin㌳sin䁩sinsin㌳，cos㌳ocoso，sin䁩sincos㌳osin㌳cossino㌳sin䁩即o，oͳoo䁨o䁨ͷͷ，当且仅当时，等号成ͷͷ立，，又oͷ，ͷ，的取值范围是ͷ䁑故答案为：ͷ䁑先利用正弦定理对已知等式进行边角互化的变形，并结合三角形内角和定理与两角和的正弦公式，推出o，再结合基本不等式，即可得解．本题主要考查解三角形中正弦定理的应用，还运用了基本不等式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】ͳ【解析】解：令ͳ，则原方程可化为cos，又，cos均为偶函数，其图象关于y轴对称，而方程只有一个解，故ͳ，解得ͳ䁑第11页，共16页

11故答案为：ͳ䁑令ͳ，则原方程可化为cos，而，cos均为偶函数，由题意可知，方程的解只能为，由此求得a的值．本题考查函数零点与方程根的关系，考查对称性，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．17.【答案】解：ͳ证明：设䁩ͳ的延长线交CB的延长线于点E，连接AE，设四棱柱㌳䁩ͳ㌳ͳ䁩ͳͳ的棱长为a，㌳ͳ㌳，㌳ͳ䁩ͳ∽㌳䳌，㌳䳌，由㌳㌳䳌，㌳䁩ͳ，䁨得䳌，䁩䁨，䁨䁩䳌，䳌o䁩䳌䁩，䳌䁩䳌，㌳䁩ͳ㌳ͳ䁩ͳͳ是直四棱柱，䁩ͳ䁩平面ABCD，又䳌㌳䁩，䁩ͳ䁩䳌，䁩䳌䁩䁩ͳ䁩，䳌平面㌳䁩䁩ͳ㌳ͳ，䳌平面䁩ͳ䳌，平面䁩ͳ䳌平面㌳䁩䁩ͳ㌳ͳ䁑过C作䁩䁩ͳ于G，䁩ᦙ䁩ͳ于H，连接GH，由平面䁩ͳ䳌平面㌳䁩䁩ͳ㌳ͳ，平面䁩ͳ䳌平面㌳䁩䁩ͳ㌳ͳ䁩ͳ䳌，䁩ᦙ平面䁩ͳ䳌，䁩ᦙ䁩ͳ，又䁩䁩ͳ，䁩䁩ᦙ䁩，䁩ͳ平面CGH，䁩ͳᦙ，䁩ᦙ是二面角䁩ͳ䁩的平面角，䁨在䁩䁩ͳ中，䁩䁨，䁩䁩ͳ，䁩ͳ，䁩，䁨ͳ䁨䁨ͳ䁨䁨䁨ͳ䁨在䳌䁩䁩ͳ中，䁩䳌，䁩䁩ͳ，䳌䁩ͳ，䁩ᦙ，䁩，䁩ᦙ，ͳ䁨ͳ䁨ᦙ䁩䁩ᦙ䁨，cos䁩ᦙᦙͳ䁨䁑䁩ͳ䁨ͳ䁨二面角䁩ͳ䁩的余弦值是䁑ͳ䁨【解析】ͳ设四棱柱㌳䁩ͳ㌳ͳ䁩ͳͳ的棱长为a，由已知推导出䳌䁩䳌，由直四棱柱性质得䁩ͳ䁩㌳䁩，从而䳌平面㌳䁩䁩ͳ㌳ͳ，由此能证明平面䁩ͳ䳌平面㌳䁩䁩ͳ㌳ͳ䁑过C作䁩䁩ͳ于G，䁩ᦙ䁩ͳ于H，连接GH，由已知得䁩ᦙ是二面角䳌䁩ͳ䁩的平面角，第12页，共16页

12由此能求出二面角䳌䁩ͳ䁩的平面角的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力等数学核心思想，是中档题．18.㌳o䁩㌳o䁩㌳o䁩【答案】解：ͳsinosinsinsin，可得sinsin䁑ͳcosͳcos㌳o䁩，即coscos㌳o䁩cos，即cosocosͳ，ͳ得cos，或cosͳ，，䁑䁨由余弦定理得ocosͳoͳͳ䁨䁑设点P到AB边的距离为z，ͳ则㌳䁩㌳䁩o䁩o㌳䁨oo，注意到㌳䁩o㌳䁩，则㌳䁩是直角三角形，ͳ䁨ͳ䁨ͳ从而㌳䁩㌳䁩䁩，则䁨oo，即䁨䁨，ͳoo䁨oo䁨间，由于x，y满足条件，ͳ䁨䁨䁨故d在P与C点重合时最小，最小值为，d在P与B点重合时最大，最大值为䁨䁑【解析】ͳ利用三角函数的倍角公式，结合余弦定理进行求解即可．点P到AB边的距离为z，根据㌳䁩㌳䁩o䁩o㌳，建立方程关系，结合距离公式建立不等式组关系进行求解即可．本题主要考查解三角形的应用，结合余弦定理，三角函数的倍角公式以及三角形的面积公式是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题．19.【答案】解：ͳ由频率分布直方图和分层抽样的方法，可知抽取的10人中合格的人数为䁑ͳo䁑ͳ，不合格的人数为ͳͷ，因此的可能取值为0，1，2，3，4，䁩ͷͳ䁩ͳ䁩䁨䁩䁩䁨䁩䁨䁩ͳͷ䁩ͷͳͷͷͷͷ则ͳ，䁨ͷ，䁩ͷͳͷ䁩ͷͳ䁩ͷ䁩ͷ䁨䁩ͷͳͳͳͳͳͳ故的分布列为第13页，共16页

1301234ͳ䁨ͷͳPͳͷͳ䁨ͳͳ䁨ͷͳ的数学期望为䳌oͳoo䁨oͷ；ͳͷͳ䁨ͳ由题意可知，䁨䁑o䁑ͳo䁑o䁑ͳͷ，䁨ͷ䁑ͳoͷ䁑䁨oͷ䁑ͷoͷ䁑䁨ͷ，ͳ，由X服从正态分布，得ͷͳͷoͳͷ䁑，ͳ则ͳ䁑䁑ͳ，ͷ䁑o䁑ͳ䁑ͷͳ䁨，䁑ͷͳ䁨，此次竞赛受到奖励的人数为䁑【解析】ͳ分析可知的可能取值为0，1，2，3，4，求出对应的概率，进而得到分布列，由此求出期望；求出及的值，由X服从正态分布，可计算ͷ，，ͷ，由此得解．本题考查分层抽样，频率分布直方图，离散型随机变量的分布列及数学期望，正态分布等知识点，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：ͳ证明：记m个互异的正偶数为ͳ，，䁑䁑䁑，，n个互异的正奇数为ͳ，，䁑䁑䁑，，则ͳoo䁑䁑䁑ooͳoo䁑䁑䁑o，ͳ由ͳoo䁑䁑䁑ooͷoo䁑䁑䁑ooo，①ͳͳoo䁑䁑䁑oͳo䁨oo䁑䁑䁑oͳͳoͳ，②可得ooͳoo䁑䁑䁑ooͳoo䁑䁑䁑o；ͳͳ由ͳ可得，oo，即ooo，ͷͳͳͳoooooͷ由均值不等式可得间，ͳͳoͷͳͳ化简可得oo，即oͳo，ͳͳ由于o为正整数，且ͳ䁨ͳoͳͷ，可得oͳ䁨，且oͳ䁨成立，所以o的最大值为ͳ䁨䁑第14页，共16页

14【解析】ͳ记m个互异的正偶数为ͳ，，䁑䁑䁑，，n个互异的正奇数为ͳ，，䁑䁑䁑，，运用等差数列的求和公式和不等式的性质，即可得证；ͳͳͳoooooͷ由均值不等式可得间，化简整理，结合m，n为正整数，可得所求最大值．本题考查等差数列的求和，以及均值不等式的运用：求最值，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．21.【答案】解：ͳ因为㌳ͳ㌳，所以㌳ͳ为等腰直角三角形，则，又o，可得；由ͳ可得，，则椭圆的方程为oͳ，设，因为ͳ，㌳，所以ͳo，ͳ㌳，线段PB为直径的圆经过点ͳ，可得ͳͳ㌳，即为oo，又因为P在椭圆上，可得oͳ，以上两式联立，可得䁨oͷ，ͷͳͷͳ因为P不是椭圆的顶点，可得，，即，䁨䁨䁨䁨设圆心为ͳͳ，则ͳ，ͳ，䁨䁨圆的半径ͳo，䁨假设存在过点的直线与该圆相切，ͳͳ可得圆心到该直线的距离为，ͳo䁨䁨ͳ䁨即，即oͳ，解得䁑ͳo䁨ͳͳ䁨所以存在满足条件的直线，且斜率䁑ͳ【解析】ͳ由向量的数量积的性质，可得，结合a，b，c的关系和离心率公式，可得所求值；由直径所对的圆周角为直角，结合向量数量积的坐标表示，以及点满足椭圆方程，求得P的坐标，以及圆的半径，假设存在过点的直线与该圆相切，由点到直线的距离公式，解方程可得所求斜率．本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆、圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．22.【答案】ͳ解：易知䁖的定义域为，oͳ对函数䁖求导得：䁖쳌，ͳ第15页，共16页

15令‴oͳ，‴쳌，令‴쳌，解得：，令‴쳌，解得：，故‴在递减，在o递增，故‴‴，故oͳ恒成立，，ͳ又，䁖쳌，所以䁖的增区间为，o，ͳ证明：易知当时，ͳ，所以时ͳ，用数学归纳法证明：对任意，都有，oͳ①ͳ时，ͳͳ，䁖ͳ䁖ͳlnͳ，由于ͳͳ，故lnͳͳ，即ͳ，②假设时结论成立，即oͳ，䁖在o递增，䁖oͳ䁖，即ooͳ，因此oͳ时结论成立，由①②可知，对任意都成立，oͳ故数列为递减数列，且恒成立．【解析】ͳ求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；ͳ时，ͳ，得到时ͳ，根据数学归纳法证明即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．第16页，共16页