北京市丰台区2022届高三上学期期末考试数学Word版含答案

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丰台区2021—2022学年度高三第一学期期末练习数学试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合，或，则（A）（B）（C）（D）2．在复平面内，复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3．已知等差数列的前项和为．若，则（A）（B）（C）（D）4．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（A）（B）（C）（D）5．已知是两个不同的平面，直线，那么“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件6．已知抛物线的焦点为，点在上.若是坐标原点，，则（A）（B）（C）（D）7．为普及冬奥知识，某校在各班选拔部分学生进行冬奥知识竞赛.根据参赛学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图.若要对40%成绩较高的学生进行奖励，则获奖学生的最低成绩可能为（A）（B）（C）（D）958.已知函数若函数有两个不同的零点，则实数13

1的取值范围是（A）（B）（C）（D）9.声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）.人在正常说话时，声强级大约在40~60dB之间，声强级超过60dB的声音会对人的神经系统造成不同程度的伤害．给出下列四个声强，其声强级在40~60dB之间的是（A）（B）（C）（D）10.已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①在区间上有且仅有3个不同的零点；②的最小正周期可能是；③的取值范围是；④在区间上单调递增.其中所有正确结论的序号是（A）①④（B）②③（C）②④（D）②③④第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.在的展开式中，的系数为．（用数字作答）12.在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，则．13.已知双曲线的离心率为，的焦点到其渐近线的距离为5，则．14.设是等比数列，能够说明“若，则”是假命题的一组和公比的值依次为．15．已知点和圆上两个不同的点，，满足，是弦的中点，给出下列四个结论：①的最小值是4；②点的轨迹是一个圆；③若点，点，则存在点，使得；④△面积的最大值是13

2.其中所有正确结论的序号是.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题共13分）在△中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求△的面积.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.17.（本小题共15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，为棱的中点，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值；（Ⅲ）求直线到平面的距离.13

318.（本小题共14分）为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了为期5天的传统艺术活动，从第1天至第5天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑”共5项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验.为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表：传统艺术活动第1天第2天第3天第4天第5天书画古琴汉服戏曲面塑高一体验人数8045552045高二体验人数4060608040高三体验人数1550407530（Ⅰ）从样本中随机选取1名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率；（Ⅱ）通过样本估计该校全体学生选择传统艺术活动的情况,现随机选择3项传统艺术13

4活动，设选择的3项活动中体验人数超过该校学生人数50%的有项，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行访谈.设这3名学生均选择了第天传统艺术活动的概率为，写出的大小关系.19.（本小题共14分）已知函数且.(Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若恒成立，求的取值范围.13

520.（本小题共15分）已知椭圆过点，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），直线，分别与直线交于点，.求证：为定值.21.（本小题共14分）若有穷数列且满足，则称为M数列.（Ⅰ）判断下列数列是否为M数列，并说明理由；①1，2，4，3.②4，2，8，1.（Ⅱ）已知M数列中各项互不相同.令，求证：数列13

6是等差数列的充分必要条件是数列是常数列;（Ⅲ）已知M数列是且个连续正整数的一个排列.若，求的所有取值.丰台区2021～2022学年度第一学期期末练习高三数学参考答案2022．01一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．题号12345678910答案BDABAACDCB二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．8012．13．14．，(答案不唯一)15．①②④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题共13分）解：选条件①：.（Ⅰ）在△中，因为，，，由余弦定理，得.因为,所以.……………….7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得.所以△的面积.……………….13分选条件②：.（Ⅰ）在△中，因为,所以.由正弦定理，得.由题可知,所以.所以.……………….7分13

7（Ⅱ）由（Ⅰ）可得.因为，所以△的面积.……………….13分17.（本小题共15分）证明：（Ⅰ）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面.……………….4分（Ⅱ）因为底面为正方形，平面，所以，，两两互相垂直．如图，建立空间直角坐标系．因为，所以，，，，，.因为平面，所以为平面的一个法向量.设平面的一个法向量为，则即令，则.于是.设平面与平面的夹角为，所以．即平面与平面夹角的余弦值为．……………….11分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面的法向量为，.13

8因为，且平面，所以平面.所以点到平面的距离即为直线到平面的距离.因为，所以点到平面的距离为，即直线到平面的距离为.……………….15分18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意知，样本中学生共有100+100+100=300人，其中体验戏曲活动的学生共20+80+75=175人，设事件A为“从样本学生中随机选取1名学生，这名学生体验戏曲活动”，故所求概率为.………………4分（Ⅱ）由题意知，体验人数超过该校学生人数50%的传统艺术活动有3项，的所有可能值为1，2，3.，，.所以的分布列为123故的数学期望.……………….11分（Ⅲ）.……………….14分19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）当时，因为，所以，.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.即.……………….4分13

9（Ⅱ）因为且，所以当时，，所以在上单调递增.取，则，不符合题意.当时，令，解得或（舍）.当时，，所以在区间上单调递减.当时，，所以在区间上单调递增.所以在上的最小值为.若恒成立，只需，解得.综上可知，的取值范围是.……………….14分20．（本小题共15分）解：（Ⅰ）由题意得解得，.所以椭圆的方程是.……………….5分（Ⅱ）由题意知，直线的斜率存在.设直线的方程为（），，，由得.则，.依题意，解得.13

10因为点的坐标为，所以直线的方程为.令，得点的纵坐标为，所以.同理，可得.于是.所以为定值6.……………….15分21．（本小题共14分）解：（Ⅰ）①因为，所以该数列不是M数列；②因为，所以该数列是M数列.……………….4分（Ⅱ）必要性：若数列是等差数列，设公差为，则.所以数列是常数列.充分性：若数列是常数列，则，即.所以或.因为数列的各项互不相同，所以.13

11所以数列是等差数列.……………….8分（Ⅲ）当时，因为，所以，不符合题意；当时，数列为.此时，符合题意；当时，数列为.此时，符合题意；下证当时，不存在满足题意.令，则，且，所以有以下三种可能：①；②；③.当时，因为，由（Ⅱ）知：是公差为1（或−1）的等差数列.当公差为1时，由得或，所以或，与已知矛盾.当公差为−1时，同理得出与已知矛盾.所以当时，不存在满足题意.其它情况同理.综上可知，的所有取值为4或5.……………….14分（若用其他方法解题，请酌情给分）13

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