江苏省南通市海安市2021-2022学年高三上学期期末数学试题（解析版）

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2021~2022学年度高三第一学期学业质量监测数学试卷注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共6页，满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卷交回.2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号、座位号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写在答题卷上.3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符.4．作答选择题必须用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔写在答题卷上的指定位置，在其它位置作答一律无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足(1－i)z＝2＋3i（i为虚数单位），则z＝（）A.－＋iB.＋iC.－iD.－－i【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则求解.【详解】∵(1－i)z＝2＋3i,∴.故选：A.2.设集合、均为的子集，如图，表示区域（）A.ⅠB.IIC.IIID.IV【答案】B第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

1【解析】【分析】根据交集与补集的定义可得结果.【详解】由题意可知，表示区域II.故选：B.3.某校高三年级的名学生中，男生有名，女生有名．从中抽取一个容量为的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（）A.、B.、C.、D.、【答案】C【解析】【分析】利用分层抽样可计算得出样本中男生和女生的人数.【详解】设样本中的男生和女生的人数分别为、，由分层抽样可得，解得.故选：C.4.通信卫星与经济发展、军事国防等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球（球心为，半径为），地球上一点的纬度是指与赤道平面所成角的度数，点处的水平面是指过点且与垂直的平面，在点处放置一个仰角为的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点的纬度为北纬，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意作出图形，由三角形的边角关系以及正弦定理结合同角三角函数基本关系、两角差的正弦公式即可求解.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

2【详解】如图：，，，在中，，所以，，因为，所以，，在中，由正弦定理可得：即，所以,整理可得：，所以，故选：A.5.展开式中的系数为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出的展开式的通项，可得的项相应的的值，即可求解.【详解】的展开式的通项为，所以展开式中含的项为，所以展开式中的系数为，故选：B.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

36.设数列为等比数列，若，，则数列的前项和为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件求出等比数列的首项和公比，再利用等比数列的求和公式可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，则，解得，因此，数列的前项和为.故选：C7.函数的部分图象如图，则下列选项中是其一条对称轴的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由给定解析式及图象确定值的表达式，再逐项分析判断作答.【详解】依题意，点是函数的图象对称中心，且在函数的一个单调增区间内，则，即，，令函数周期为，由图象知，即有，而，则有，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

4因此，，解得，而，则，，，由得函数图象的对称轴：，当时，，当时，，当时，，即选项A，B，D不满足，选项C满足.故选：C8.已知，，，且则（）A.c＜a＜bB.a＜c＜bC.b＜a＜cD.b＜c＜a【答案】A【解析】【分析】构造函数，利用导数判断单调性，然后，作差比较可得答案.【详解】由已知得，，，令，，可得在上单调递增，在上单调递减，，且，所以，，且，所以，所以.故选：A.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数在区间上单调递增的是（）第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

5A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】由二次函数的性质可判断A；由反比例函数单调性以及函数图象的平移可判断B；去绝对值由一次函数的性质可判断C；由指数函数以及复合函数的单调性可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：为开口向上的抛物线，对称轴为，所以在区间上单调递减，故选项A不正确；对于B：的定义域为，将的图象向右平移一个单位可得，因为在上单调递增，向右平移一个单位可得在上单调递增，所以在区间上单调递增，故选项B正确；对于C：，所以在区间上单调递增，故选项C正确；对于D：是由和复合而成，因为单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上单调递减，故选项D不正确；故选：BC.10.设，为两个平面，下列是“”的充分条件是（）A.，与平面都垂直B.内有两条相交直线与平面均无交点C.异面直线，满足，D.内有个点（任意三点不共线）到的距离相等【答案】BD【解析】【分析】举反例可判断A，C；由平面的性质，面面平行的判定定理结合充分条件的定义可判断B，D；进而可得正确选项.【详解】对于A：如图正方体中：平面为平面，平面为平面，平面为平面，此时满足，与平面都垂直，但平面与平面相交，所以，与平面第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

6都垂直得不出，所以，与平面都垂直不是的充分条件，故选项A不正确；对于B：内有两条相交直线与平面均无交点即内有两条相交直线与平面平行，由面面平行的判定定理可得，所以由内有两条相交直线与平面均无交点可得出，故内有两条相交直线与平面均无交点是“”的充分条件，故选项B正确；对于C：如图正方体中：直线为，直线为，平面为平面，平面为平面，此时符合异面直线，满足，，但平面与平面相交，所以异面直线，满足，得不出，异面直线，满足，不是的充分条件，故选项C不正确；对于D：若内有个点（任意三点不共线）到的距离相等，则，所以内有个点（任意三点不共线）到的距离相等是“”的充分条件，故选项D正确，故选：BD.11.关于直线与圆，下列说法正确的是（）A.若与圆相切，则为定值B.若，则被圆截得弦长为定值C.若与圆有公共点，则D.若，则与圆相交【答案】BCD【解析】【分析】计算圆心到直线的距离，利用几何法可判断ACD选项的正误，求出弦长可判断B选项的正误.【详解】圆的圆心为，半径为.对于A选项，若与圆相切，则，可得，A错；对于B选项，若，圆心到直线的距离为，此时被圆截得弦长为，B对；第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

7对于C选项，若与圆有公共点，则，可得，可得，C对；对于D选项，当时，直线的方程为，即，由，可得，即直线过定点，，即点在圆内，故直线与圆相交，D对.故选：BCD.12.一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，若出现的点数是2倍关系，则称这次抛掷“漂亮”．规定一次抛掷“漂亮”得分为3，否则得分为－1．若抛掷30次，记累计得分为，则（）A.抛掷一次，“漂亮”的概率为B.＝2时，“漂亮”的次数必为8C.E()＝－10D.【答案】BCD【解析】【分析】利用古典概型概率公式可得抛掷一次，“漂亮”的概率，记抛掷30次抛掷“漂亮”的次数为，则，，即可判断.【详解】由题可知一次抛掷两颗质地均匀的正方体骰子有36种等可能的结果，其中出现的点数是2倍关系的有6种等可能的结果，所以抛掷一次，“漂亮”的概率为，故A错误；记抛掷30次抛掷“漂亮”的次数为，则，，当时，，即，故B正确；∴，∴，故CD正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.13.在平面直角坐标系xOy中，已知向量，试写一个非零向量_________第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

8，使得．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据得到向量满足的条件即可写出.【详解】设，则，，所以有，即.不妨取（答案不唯一）故答案为：（答案不唯一）14.若椭圆的焦距为，则该椭圆的离心率为_________．【答案】【解析】【分析】将已知椭圆方程化为标准形式为，由题意可得，，结合以及、即可求解.【详解】由可得，因为，所以，所以，可得，，，由题意可得，所以，，可得，离心率，故答案为：.15.已知函数若，则的最大值为_________．【答案】第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

9【解析】【分析】令，作出函数以及的图象，不妨设，则，，由表示，再利用二次函数的性质计算的最大值即可求解.【详解】令，作出的图象和的图象如图所示：由图知：，不妨设，若求最大值，则，，所以，，所以，当即时，取得最大值为，即的最大值为，故答案为：.16.如图，ABCD是一块直角梯形加热片，AB∥CD，∠DAB＝60°，AB＝AD＝4dm．现将△BCD沿BD折起，成为二面角A－BD－C是90°的加热零件，则AC间的距离是________dm；为了安全，把该零件放进一个球形防护罩，则球形防护罩的表面积的最小值是________dm2．（所有器件厚度忽略不计）【答案】①.4②.##【解析】第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

10【分析】设E为BD的中点，由题可得AE⊥平面BCD，进而可求，再结合条件可得△DAB的中心为棱锥的外接球的球心，即求.【详解】∵ABCD一块直角梯形加热片，AB∥CD，∠DAB＝60°，AB＝AD＝4dm．∴△DAB为等边三角形，，设E为BD的中点，连接AE，CE，则AE⊥BD，又二面角A－BD－C是90°，∴AE⊥平面BCD，CE平面BCD，∴AE⊥CE，又CE=2dm，，∴，设△DAB的中心为O，则OE⊥平面BCD，又E为BD的中点，△BCD为直角三角形，∴OB=OC=OD=OA，即O为三棱锥的外接球的球心，又，故球形防护罩的表面积的最小值为.故答案为：4，.【点睛】关键点点睛：本题的关键是把问题转化为求三棱锥的外接球的表面积，结合条件即得.四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{an}满足，且．（1）请你在①，②中选择一个证明：①若，则{bn}是等比数列；②若，则{bn}是等差数列．注：如果选择多个分别解答，按第一个解答计分．第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

11（2）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn．【答案】（1）详见解析；（2），.【解析】【分析】（1）选择①，利用条件可得，即证；选择②，利用条件可得，即证；（2）由题可得，利用累加法可求，再利用由分组求和法即求.【小问1详解】选择①，由，可得，∴，又，∴数列{bn}是以2为首项，以为公比的等比数列；选择②，∵，，∴，又∴数列{bn}是等差数列.【小问2详解】由上可知，即，∴，∴.18.在平面四边形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝－，CD＝．第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

12（1）求∠ACB的大小；（2）求四边形ABCD的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理及二倍角公式即可求解；（2）由（1），分别运用正弦定理和余弦定理求出相关边长，再由面积公式计算即可.【小问1详解】由题意，设，则，，在中，由正弦定理有，即，解得.所以，因为，所以.【小问2详解】由（1），可知，由正弦定理有，即，解得，在中，由余弦定理有，即，解得，四边形ABCD的面积第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

13.19.如图，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的一点，DC垂直于圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝2EB＝2，AB＝4．（1）求证：平面ACD⊥平面EBCD；（2）若∠ABC＝30°，求平面ADE与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即证；（2）利用坐标法即求.【小问1详解】∵AB是圆O的直径，∴，又DC垂直于圆O所在的平面，∴，又，，∴平面EBCD，又平面ACD，∴平面ACD⊥平面EBCD；【小问2详解】如图建立空间直角坐标系，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

14则，∴，设平面ADE的法向量为，则，令，则，设平面ABE的法向量为，则，令，则，∴，∴平面ADE与平面ABE所成的锐二面角的余弦值为.20.为保护生态环境，减少污染物排放，某厂用“循环吸附降污法”减少污水中有害物，每次吸附后污水中有害物含量y（单位：mg/L）与吸附前的含量x（单位：mg/L）有关，该有害物的排放标准是不超过4mg/L．现有一批污水，其中该有害物含量为2710mg/L，5次循环吸附降污过程中的监测数据如下表：第1次第2次第3次第4次第5次吸附前的含量xmg/L27108802909030吸附后的含量ymg/L880290903010（1）已知y关于x的经验回归方程为．请你预测首次达到排放标准时有害物的含量；（2）视（1）中所求的预测含量为实际排放含量，排放前，取n第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

15份处理后的污水样品检测该有害物的含量．已知检测结果的误差zn~N（0，）（zn单位：mg），至少要取多少份样品检测，才能确保检测结果符合排放标准的概率不小于0.9987．附：若X~N（μ，σ2），则P（|X－μ|≤3σ）≈0.9974）．【答案】（1），当时，，达到排放标准，此时，排放有害物的含量为3.25mg/L.（2）至少要取37份样品检测，才能确保检测结果符合排放标准的概率不低于0.9987.【解析】【分析】(1)计算和，代入经验回归方程求；(2)通过二项分布计算，再计算.【小问1详解】由题意可得，，，所以，所以.当时，，达到排放标准，此时，排放有害物的含量为3.25mg/L.【小问2详解】记检测结果为mg/L，由(1)知，.要使检测结果符合排放标准的概率不小于0.9987，需.又因为，即的期望，，所以.所以，所以，至少要取37份样品检测，才能确保检测结果符合排放标准的概率不低于0.9987.21.已知双曲线：的两条渐近线互相垂直，且过点．（1）求双曲线的方程；（2）设为双曲线的左顶点，直线过坐标原点且斜率不为，与双曲线交于，两点，直线过轴上一点（异于点），且与直线的倾斜角互补，与直线，分别交于（第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

16不在坐标轴上）两点，若直线，的斜率之积为定值，求点的坐标．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得，，解方程求出的值即可求解；（2），设，，，，直线，的斜率分别为，根据，，可得利用和所表示的点的坐标，同理可得利用和所表示的点的坐标，将整理为关于的方程，由对于任意的恒成立列出等价条件即可求解.【小问1详解】由可得渐近线方程为：，因为两条渐近线互相垂直，所以，可得，又因为，解得：，所以双曲线的方程为.小问2详解】设，，，，由（1）知：，设直线，的斜率分别为，因为三点共线，所以，即，因为直线过轴上一点（异于点），且与直线的倾斜角互补，所以，即，所以，由可得，所以，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

17同理可得，因为直线，的斜率之积为定值，设定值为，则，整理可得：，其中，因为上式对任意的都成立，所以，可得，，所以点的坐标为.【点睛】思路点睛：破解此类解析几何题的关键：一是“图形”引路，一般需画出草图，把已知条件翻译到图形中；二是“转化”搭桥，即利用斜率，联立方程等，将问题代数化，一般运算量较大.22.已知函数(a∈R)．（1）若是单调增函数，求a的取值范围；（2）若，是函数的两个不同的零点，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)对函数求导，利用导数值恒大于等于0，再分离参数，构造函数并求最值即可作答.(2)根据给定条件可得，，再分别作差、求和分析推理构造函数，利用导数探讨最值作答.【小问1详解】函数定义域为，当时，，因是单调增函数，则时，，令，，即有在上单调递增，，，则，所以a的取值范围是.【小问2详解】因，是函数的两个不同的零点，则，显然，有，，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

18，不妨令，设，于是得，要证，只需证，令，，则在上单调递增，则有，于是得，又，要证，只需证，而，即证，令，，，从而得在在上单调递减，，即有，综上得：.【点睛】思路点睛：证明不等式成立问题，将所证不等式等价转化，构造函数，借助导数探讨函数单调性、最值作答.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司