河南省新乡市2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试文科数学（解析Word版）

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新乡市高三第一次模拟考试数学（文）试卷考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由余弦函数的值域化简集合，再利用补集的定义求解即可.【详解】由题意，所以．故选：C2.若，则的虚部为（）A.B.1C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数除法的运算法则，结合共轭复数的定义、复数虚部的定义进行求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以，所以的虚部为1．故选：B3.设满足约束条件，则的最小值为（）A.6B.C.D.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

1【答案】C【解析】【分析】根据题意，作出可行域，由目标函数的几何意义可得其最小值.详解】根据约束条件作出可行域如图所示：联立得，由得，由图可知当直线过点时，直线在轴上的截距最小，最小值为，故选：C4.如图，程序框图的输出值，则输人值x的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据程序框图，分和两种情况解不等式可求得答案.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

2详解】由，得；由，得．所以输人值x的取值范围是．故选：D.5.对2021年某地某款汽车的销售价格（单价：万元）与销售数量进行统计，随机选取1000台汽车的信息，这1000台汽车的销售价格都不低于5万元，低于30万元，将销售价格分为，，，，这五组，统计后制成如图所示的频率分布直方图，则在选取的1000台汽车中，销售价格在内的车辆台数为（）A175B.375C.75D.550【答案】B【解析】【分析】根据频率分布直方图中各组频率和为1可求出，从而可求出销售价格在内的频率，进而可求出销售价格在内的车辆台数.【详解】由频率分布直方图知，，所以，所以销售价格在内的频率为，故销售价格在内的车辆台数为．故选：B6.设等差数列，的前项和分别为，，若，则（）A.B.C.D.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

3【答案】D【解析】【分析】利用等差中项求解即可.【详解】因为，为等差数列，所以，，所以，故选：D7.在△中，，分别为边，的中点，且与交于点，记，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据重心的几何特点，结合平面向量的线性运算，即可求得结果.【详解】根据题意可得点G为△的重心，所以．故选：A.8.年詹希元创制了“五轮沙漏”，流沙从漏斗形的沙池流到初轮边上的沙斗里，驱动初轮，从而带动各级机械齿轮旋转．最后一级齿轮带动在水平面上旋转的中轮，中轮的轴心上有一根指针，指针则在一个有刻线的仪器圆盘上转动，以此显示时刻，这种显示方法几乎与现代时钟的表面结构完全相同．已知一个沙漏的沙池形状为圆雉形，满沙池的沙漏完正好一小时（假设沙匀速漏下），当沙池中沙的高度漏至一半时，记时时间为（）A.小时B.小时C.小时D.小时【答案】D【解析】【分析】设沙漏的底面半径为，高为，然后根据题求出当沙池中沙的高度漏至一半时，所剩余的沙的体积，从而可求出漏下的沙子体积与总体积的关系，进而求得结果.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

4【详解】设沙漏的底面半径为，高为，则沙的体积为，当沙池中沙的高度漏至一半时，所剩余的沙形成的圆锥的高为，底面半径为，所以所剩余的沙的体积为所以漏下的沙子体积为总体积的，故记时时间为小时．故选：D9.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据对数与指数式的互化公式，结合对数的运算公式、指数与对数恒等式进行求解即可.【详解】因为，所以．因为，所以，故．故选：C10.函数（，，）的部分图像如图所示，则（）A.0B.2C.D.【答案】C【解析】第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

5【分析】根据图像最高点和最低点得到,由周期得到，再将点代入函数解析式得到，将代入即可求解.【详解】由图可知，，所以，因为，解得，将代入得，结合已知范围，解得，所以，故，故选：C11.已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则下列选项不正确的是（）A.B.若，则M到x轴的距离为3C.若，则D.的最小值为4【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的定义，结合平面向量共线性质、两点间线段最短逐一判断即可.【详解】设点，．该抛物线的准线为，因为，所以的最小值为，所以，故A正确．若，则，所以M到x轴的距离为，故B正确．由向量共线可得AB过F点，设AB的方程为，与联立可得，则．由，，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

6得，所以或（舍去），所以，故C错误．过点A作抛物线的准线l：的垂线，垂足为点E，由抛物线的定义可得，所以，当且仅当P，A，E三点共线，即当时，取得最小值，故D正确．故选：C【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义是解题的关键.12.已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，若该正三棱柱的外接球体积为，当最大时，该正三棱柱的体积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由外接球半径体积可得外接球半径，根据勾股定理，设，根据可行域可得当直线与曲线相切时最大，联立令解出的值即可.【详解】因为正三棱柱外接球的体积为，所以，设球心为，底面外接圆圆心为，由正三棱锥可得，底面外接圆半径，所以由勾股定理得，设，当直线与曲线相切时，最大，联立方程组得，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

7由，得或（舍去），此时，，所以正三棱柱的体积，故选：B第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.若等比数列的前项和，则______.【答案】【解析】【分析】直接利用等比数列的项和，即可得到答案.【详解】依题意，该等比数列的公比不为，所以，所以，，即.故答案为：.【点睛】本题考查了等比数列的前项和，主要考查公式的运用和处理能力，属于基础题．14.若直线是曲线在处的切线，则实数______．【答案】##【解析】【分析】根据导数的几何意义，结合代入法进行求解即可.【详解】因为，所以，把代入中，得，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

8于是有，由可知，切线的斜率为，所以有，因此有，故答案为：15.已知函数对任意的，都有，若的图像关于直线对称，且，则______．【答案】3【解析】【分析】利用函数的对称性和周期性求解即可.【详解】因为的图像关于直线对称，所以的图像关于y轴对称，即为偶函数，令，则，所以，因为，所以，所以，即的周期为8，因为，所以，故答案为：316.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，，的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为4b，则椭圆C的离心率为______；若椭圆C过点，过点作直线l与椭圆C交于A，B两点，则的最大值与最小值的和为______．【答案】①.##；②.##.【解析】【分析】根据已知条件结合三角形的中位线定理可得四边形OMPN是平行四边形，再由四边形OMPN的周长为4b，结合椭圆的定义可得，则，从而可求出椭圆的离心率；设直线l的方程为第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

9，代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，然后计算化简，令，则，再由可求出的范围，进而可求得结果.【详解】因为M，O分别为，的中点，所以，，则四边形OMPN是平行四边形，所以，所以，所以．因为椭圆C过点，所以．因，所以，，，所以椭圆C的方程为．设直线l的方程为，联立方程组，得．设，，则，．因为，所以．令，则．因为，所以．设的最大值与最小值分别为，，则，是方程的两根，所以．第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

10故答案为：；.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第题为必考题，每个试题考生都必须作答．第题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.如图，在四棱雉中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是CD，PB的中点．（1）证明：平面PAD．（2）若四棱雉的体积为32，的面积为4，求B到平面DEF的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）取AB的中点G，连接EG，FG，可得线线平行，根据面面平行的判定定理及性质定理可得证；（2）由等体积法可求出B到平面DEF的距离.【小问1详解】证明：取AB的中点G，连接EG，FG．因为G，F分别是AB，PB的中点，所以．又平面，平面，所以平面.因为E是CD的中点，ABCD是平行四边形，所以．同理可得，平面.因为，平面，所以平面平面PAD．因为平面EFG，所以平面PAD．第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

11【小问2详解】因为E是CD的中点，所以的面积是平行四边形ABCD面积的．因为F是PB的中点，所以三棱锥的高是四棱雉的高的．因为四棱锥的体积为32，所以三棱锥的体积为．设B到平面DEF的距离为d，因为的面积为4，所以，得，即B到平面DEF的距离为3．18.某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，随机选了100位市民调查，结果统计如下．支持不支持合计年龄不大于50岁30年龄大于50岁1025合计100（1）根据已有数据，把表格填写完整．（2）能否有的把握认为年龄不同与是否支持申办奥运会有关？（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有6名男性，其中3名是医生，现从这6名男性中随机抽取3人，求至少有2名医生的概率．附：，．0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635【答案】（1）列联表见解析；（2）没有把握；（3）.【解析】【分析】（1）根据表中已有数据完成列联表即可；（2）根据表中数据求得的值，再与临界值表对照即可；（3）利用古典概型概率计算公式求解即可.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

12【小问1详解】支持不支持合计年龄不大于50岁453075年龄大于50岁101525合计5545100【小问2详解】因为，所以没有的把握认为年龄不同与是否支持申办奥运会有关．【小问3详解】记6人分别为a，b，c，d，e，f．其中a，b，c表示医生，从6人中任意抽3人的所有基本事件有共20个，其中至少有2名医生的基本事件有，共10个，所以所求概率是．19.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若，点D是BC的中点，求AD的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知等式结合正弦定理统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求出角A的大小；（2）由点D是BC的中点，可得，两边平方化简可求得，再结合可求出其范围.【小问1详解】因为，所以．因为，，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

13所以．因，所以．因为，所以，所以．【小问2详解】因为点D是BC的中点，所以，所以，所以．因为，所以．因为，所以，所以．20.在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点C满足直线AC与直线BC的斜率乘积为3．（1）求动点C的轨迹方程E．（2）过点作直线l交曲线E于P，Q两点（P，Q在y轴两侧），过原点O作直线的平行线交曲线E于M，N两点（M，N在y轴两侧），试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）为定值2【解析】【分析】（1）设，则由题意可得，化简后可得动点C的轨迹方程；（2）由题意设直线：，，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

14，将直线方程代入双曲线方程中化简，利用根与系数的关系结合弦长公式表示出，设的方程为，代入双曲线方程化简后可表示出，从而可求出的值.【小问1详解】设，因为直线AC与直线BC的斜率乘积为3，所以，所以，故动点C的轨迹方程为．【小问2详解】易知直线的斜率存在且不为0．设直线：，，，联立方程组得，则，因为P，Q在y轴两侧，所以，所以，所以．因为，所以的方程为．设，则，联立方程组，得．所以，，所以，所以，即为定值2．21.已知函数．第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

15（1）求的最值；（2）若函数存在两个极小值点，求实数a的取值范围．【答案】（1），无最小值（2）【解析】【分析】（1）求出函数定义域和，得到函数的单调区间和极值，从而得到函数的最值；（2）求出，根据的取值研究解的情况，需要先研究函数，要使函数存在两个极小值点，则至少有3个解，则至少应该有2个零点，结合函数图象即可求得实数a的取值范围．【小问1详解】由题知，的定义域为，因为，解得，；解得，.所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处有唯一极大值，也是最大值，无最小值．【小问2详解】，，则，．令，则，当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处有最大值.所以．函数图象如图所示.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

16因为，所以．①当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，所以只有一个极小值点；②当时，方程有两个根，，且，．解，得或或，且，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以有两个极小值点，．故实数a的取值范围为．【点睛】已知函数极值点的个数，求参数的取值范围.先研究导函数，对参数范围讨论，根据导函数得到函数的单调性，最终求解.（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．（1）写出曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若，且直线l与曲线C没有公共点，求m的取值范围．【答案】（1）曲线C的直角坐标方程为；直线l的直角坐标方程为；第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

17（2）.【解析】【分析】（1）结合余弦的二倍角公式消去参数，可得曲线C的直角坐标方程，将直线l的极坐标方程化简后利用极坐标与直角坐标的互化公式可求得直线l的直角坐标方程；（2）将曲线C的参数方程代入到直线l的直角坐标方程化简得，则由题意得无解，令，，利用二次函数的性质求出的最值，再结合可求得结果.【小问1详解】由题知，，又，所以，即曲线C的直角坐标方程为．因为直线l的极坐标方程为，所以，又因为，所以直线l的直角坐标方程为，即．【小问2详解】联立l与C的方程，将代人中，可得，要使l与C没有公共点，则无解．令，，其对称轴为，开口向下，所以，．第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

18因为，所以，即，所以m的取值范围为．[选修4-5：不等式选讲]23.已知关于的不等式有解．（1）求实数的最大值；（2）在（1）的条件下，已知为正数，且，求的最小值．【答案】（1）（2）36【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式得，所以有解只需即可；（2）利用均值不等式求解即可.【小问1详解】因为，当且仅当等号成立所以的最大值为3．因为不等式有解，所以，解得，所以实数的最大值．【小问2详解】由（1）知，，因为（当且仅当时，等号成立），，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为36．第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司