河南省信阳市普通高中2022-2023学年高三第一次教学质量检测数学（文）（解析Word版）

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2022-2023学年普通高中高三第一次教学质量检测数学（文科）试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必将本人的姓名､准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.第I卷一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则集合等于（）A.1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合A与集合B，再求交集即可。【详解】由题得，，.故选：C.【点睛】本题考查了集合的基本运算，函数的定义域、解不等式问题，属于基础题.2.已知向量，若∥，则等于（）A.3B.C.D.【答案】C【解析】第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

1【分析】由∥，可求出的值，即可求出的坐标，进而可得的值.【详解】解：因为，若∥，所以，所以，所以.故选：C.3.“”是“在上恒成立”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出在上恒成立时的取值范围，结合充分条件和必要条件即可得出答案.【详解】在上恒成立，即在上恒成立，令，则上恒成立，故在上单调递增，，所以.因为，而推不出，所以“”是“在上恒成立”的充分而不必要条件.故选：A.4.已知命题“存在，使等式成立”是假命题，则实数的取值范围（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题可求存在，使等式成立的实数第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

2的取值集合，求其补集即可.【详解】由得，函数在上为增函数，∴，故当命题“存在，使等式成立”是假命题时，实数的取值范围为.故选：D.5.函数在区间的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令，则，所以为奇函数，排除BD；又当时，，所以，排除C.故选：A.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

36.已知角终边所在直线的斜率为，则（）A.B.5C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出，再根据二次齐次式化简代入即可求解.【详解】由三角函数定义得，所以．故选：D7.为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间的关系为.如果在前5个小时消除了的污染物，那么污染物减少需要花的时间为（）A.7小时B.10小时C.15小时D.18小时【答案】B【解析】【分析】根据前5个小时消除了的污染物，由，求得k，再设污染物减少所用的时间为t，由求解.【详解】因为前5个小时消除了的污染物，所以，解得，所以，设污染物减少所用的时间为t，则，所以，解得，故选：B8.已知定义在上的偶函数满足，若，则（）第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

4AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意,分析可得函数是周期为4的周期函数,由此可得，，用赋值法求出的值,由此计算即可得答案.【详解】根据题意,函数满足,则,又由为偶函数，则有,则有,即函数是周期为4的周期函数,，令可得.，，所以故选：B9.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是①函数的图象关于点对称②函数的图象关于直线对称③函数在单调递减④该图象向右平移个单位可得的图象A.①②B.①③C.①②③D.①②④【答案】A第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

5【解析】【分析】根据的图象及三角函数图像和性质，解得函数的解析式，得到，再结合三角函数的图像和性质逐一判定即可.【详解】由函数的图象可得，周期所以，当时函数取得最大值，即，所以，则，又，得，故函数，对于①，当时，，正确；对于②，当时，，正确；对于③，令得，所以函数的单调递减区间为，，所以不正确；对于④，向右平移个单位，，所以不正确；故选：A.【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角(或)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.10.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围（）第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

6A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】令，则函数在内递增，且恒大于0，可得不等式，从而可求得a的取值范围【详解】解：令，∵在上单调递减，∴在内递增，且恒大于0，且，．故选：C．11.已知实数，且，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，判断函数单调性，比大小.【详解】由，，，得，，，又，即，同理，即，所以，即，设函数，在上恒成立，故函数在上单调递增，所以，故选：A.12.已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（）第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

7A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据条件判断函数关于对称，求导，可得函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式进行转化求解即可.【详解】解：∵，∴，∴函数关于对称，又，∵，∴，∴恒成立，则是增函数，∵，∴，∴，得，故选：A.【点睛】根据条件判断函数的对称性和单调性是解决本题的关键，需灵活应用基本不等式求最值，综合性强，属中档题.第II卷二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.13.已知函数的图象在点处的切线方程是，则______.【答案】【解析】【分析】由导数的几何意义可求得的值，由切点在切线上可得的值，即可求解.【详解】因为函数的图象在点处的切线方程是，所以，，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

8所以，故答案为：.14.已知直线分别与函数和的图象交于点，，则_________．【答案】3【解析】【分析】根据函数和互为反函数，关于对称，求出AB的中点坐标，即可得到结果.【详解】函数和互为反函数，则函数和关于对称，将与联立求得交点为，由直线分别与函数和的图象交于点为，，，，则点，和，的中点坐标为，则，即，故答案为：315.如图是某商业小区的平面设计图，初步设计该小区为半径是200米，圆心角是120°的扇形.为南门位置，为东门位置，小区里有一条平行于的小路，若米，则圆弧的长为___________米【答案】【解析】【分析】连结，由，可得，，在△中，由正弦定理可得，，可求出，进而可求出，进而根据圆弧所对应的圆心角及半径，可求出圆弧的长度.【详解】连结，因为，所以，.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

9在△中，由正弦定理可得，，即，解得，因为，且，所以，所以.故答案为：.16.定义在R上的函数，恒有，当时，，若，恒有，则的取值集合为________.【答案】【解析】【分析】由可得，分析出函数的部分解析式，作出函数图象，先由，求出对应的值，根据图象可得答案.【详解】由，可得又当时，，所以根据，当时，，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

10可知当时，由上的图象，可作出的图象，如图.当时，当时，，又由，可得，恒有，如图可得的范围是故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查函数的基本性质周期性的应用，解答本题的关键是由性质可得，得出函数的解析式，作出函数的图象，根据图象分析得出当，可得，属于中档题.三､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在平面直角坐标系中，已知向量，，.（1）若，求的值；（2）若与的夹角为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意可得第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

11，根据数量积的坐标运算得到方程，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；（2）首先求出，，依题意可得，再利用两角差的正弦公式计算可得；【小问1详解】解：因为，且，所以，即，所以；【小问2详解】解：因为，，所以，，因为与的夹角为，所以，即，所以，因为，所以，所以，所以；18.已知，设：，成立；：，成立，如果“”为真，“”为假，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】由不等式恒成立问题，构造函数，，用配方法求函数最小值，由存在性问题，求，，利用单调性求最大值，再由“真假”或“假真”，列不等式组求解．【详解】若为真，则对，恒成立，设，配方得，∴在上的最小值为-3，∴，解得，∴为真时，.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

12若为真，则，成立，即成立.设，则在上是增函数，∴的最大值为，∴，∴为真时，.∵“”为真，“”为假，∴与一真一假.当真假时，，∴.当假真时，∴，∴.综上所述，.【点睛】本题考查了恒成立问题及存在性问题及复合命题及其真假，属于中档题．19.已知函数是偶函数.（1）求k的值；（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据偶函数得到，化简得到，解得答案.（2）化简得方程，设得到有且仅有一个正根，考虑和两种情况，计算得到答案.【详解】（1）由函数是偶函数可知：，∴，，即对一切恒成立，∴.（2）函数与的图象有且只有一个公共点，即方程有且只有一个实根.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

13化简得：方程有且只有一个实根.令，则方程有且只有一个正根，当时，，不合题意；当且，解得或.若，，不合题意；若，满足；当，则，则，即，解得；综上，实数a的取值范围是.【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求参数，函数公共交点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，换元是解题关键.20.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．【答案】（I）；（II）【解析】【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小；（II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围.【详解】（I）[方法一]：余弦定理由，得，即.结合余弦定，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

14∴，即，即，即，即，∵为锐角三角形，∴，∴，所以，又B为的一个内角，故.[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由，结合正弦定理可得：为锐角三角形，故.（II）[方法一]：余弦定理基本不等式因为，并利用余弦定理整理得，即.结合，得.由临界状态（不妨取）可知.而为锐角三角形，所以.由余弦定理得，，代入化简得故的取值范围是.[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

15结合(1)的结论有：.由可得：，，则，.即的取值范围是.【整体点评】（I）方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.21.如图，扇形区域（含边界）是一风景旅游区，其中P，Q分别在公路OA和OB上．经测得，扇形区域的圆心角，半径为5千米．为了方便旅游参观，打算在扇形区域外修建一条公路，分别与OA和OB交于M，N两点，并且MN与相切于点S（异于点P，Q），设（弧度），将公路的长度记为（单位：千米），假设所有公路的宽度均忽略不计．（1）将y表示为的函数，并写出的取值范围；（2）求y的最小值，并求此时的值．第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

16【答案】（1），（2）的最小值为，此时的值为【解析】【分析】（1）由图知，在两个直角三角形中求得相加即可得，的范围易得；（2）令，换元后应用基本不等式求得最小值．小问1详解】因为MN与相切于点S，所以，在中，因为，，所以，在中，因为，，所以，所以，（）【小问2详解】因为，所以，令（），则，所以，当且仅当，即时取等号，此，又，所以．所以公路MN长度的最小值为，此时的值为．22.已知函数，其中.（Ⅰ）当a=1时，求函数单调区间：（Ⅱ）求函数的极值；第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

17（Ⅲ）若函数有两个不同的零点，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）单调减区间为（1，+），增区间为（0,1）;（Ⅱ）见解析（Ⅲ）a>1【解析】【分析】（Ⅰ）当a=1,f′（x）=,解f′（x）<0和f′（x）>0确定单调区间；（Ⅱ）f′（x），讨论a≤0和a＞0时f′（x）的符号，确定单调性和极值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a≤0时，f(x)至多有一个零点，舍去；当a＞0时，函数的极小值为f(a)=设函数g(x)=lnx+x-1，求导确定g（x）：当01时，g(x)>0，分情况讨论：当01时，由零点存在定理确定（）和（a,3a-1）各有一个零点，则a可求【详解】（Ⅰ）当a=1时,,f′（x）=当f′（x）<0时，x>1;f′（x）>0时，00，当x＞a时，f′（x）<0，此时f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减；∴当x=a时，函数的极大值为f(a)=，无极小值（Ⅲ）由（Ⅱ）可知当a≤0时，f（x）在（0，+∞）递减，则f(x)至多有一个零点，不符合题意，舍去；当a＞0时，函数的极小值为f(a)=，令g(x)=lnx+x-1(x>0)∵∴g(x)在（0，+∞）单调递增，又g(1)=0,∴01时，g(x)>0(i)当01时，f(a)=ag(a)>0∵∴函数f(x)在（）内有一个零点，∵f(3a-1)=aln(3a-1)-设h(x)=lnx-x(x>2)第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

18∵∴h(x)在（2，+∞）内单调递减，则h(3a-1)1时，函数f(x)恰有两个零点综上，函数有两个不同的零点时，a>1【点睛】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的零点个数的判断，函数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力．第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司