重庆市第八中学2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题（解析Word版）

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重庆八中高2024级高一（下）第一次月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在中，，，，则的面积为（）A.B.C.D.1【答案】C【解析】【分析】利用三角形的面积公式求解.【详解】在中，因为，所以，所以，故选：C2.已知是所在平面内一点，为边中点﹐且，那么（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据平面向量运算，结合点是的中点，化简运算.【详解】为边中点，∴，∵，∴，即.故选：B3.如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则（）第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司

1A.0B.1C.D.【答案】D【解析】【分析】由题可得，即求.【详解】由题把图形看作平面直角坐标系的一部分则，∴.故选：D.4.设，都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分不必要条件是（）A.B.C.D.且【答案】A【解析】【分析】正确的选项能推出，而推不出正确的选项；【详解】根据题意，正确选项能推出，而推不出正确的选项；所以正确选项满足“向量同向，且模不相等”即可，排除B，D，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司

2C选项中，是充要条件，故选：A5.若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式可得，结合计算即可.【详解】，等式两边同时平方，得，即，所以，所以.故选：C6.平面上有，，三点，点C在直线上，且，连接并延长至E，使，则点E的坐标为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据向量平行和模的坐标运算，求出点的坐标，再求点E的坐标，即可得到答案；【详解】设，，，，设，，，，，①，，，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司

3②，由①②可得：，点E的坐标为，故选：A.7.的角A，B，C所对的边为a，b，c，设，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理计算可得；【详解】解：因为，由正弦定理可得，即，所以，又，所以，因为，所以；故选：C8.已知向量，，满足，，，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】依题意根据平面向量数量积的运算律可得且，再根据数量积的运算律得到，再根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：因为，所以，即，即，所以，所以，又，所以，因为，所以第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司

4，即，所以当时，所以.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列关于向量，，的说法错误的是（）A.若且，则B.的充要条件是存在不全为零的实数，使得C.若，则D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】根据零向量与任何向量共线，可判断出A错误；根据向量共线定理可知B正确；根据向量数量积的运算律可知C错误；根据向量模的计算公式以及数量积的运算律可知D错误．详解】对A，若，则不一定成立，A错误；对B，根据向量共线定理可知，B正确；对C，若，则，不一定成立，C错误；对D，若，则，即，结果不一定等于零，所以不一定成立，D错误．故选：ACD．10.设函数，则下列选项正确的有（）A.的最小正周期是B.为一个对称轴第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司

5C.的最小值是−2D.在上单调递减，那么的最大值是【答案】AD【解析】【分析】将化为只含有一个三角函数的形式，可求出其最小正周期，判断A;将代入中，根据其值判断B;根据函数解析式求得最小值，判断C;求出函数的单调减区间，可判断D.【详解】,故函数的最小正周期为，故A正确；将代入中，，不是的一个对称轴，故B错误；的最小值为，故C错误；令,解得，的单调递减区间，故在上单调递减，那么的最大值为，D正确，故选：AD11.在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列说法正确的有（）A.若，则B.若，则C.D.若，则是等腰三角形【答案】AC【解析】【分析】利用正弦定理、余弦定理、三角恒等变换对选项进行一一判断，即可得到答案；【详解】对于A：对于，所以，利用正弦定理：，整理得，故A正确；第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司

6对于B：由于，则，即A为锐角，故B错误；对于C：由于，利用等比性质，故C正确；对于D：由于，利用正弦定理得，整理得，所以，故或，所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故D错误；故选：AC12.已知平面向量，，.若，，，，则下列结论正确的有（）A.若起点为原点，其终点构成的轨迹为一条直线B.满足条件的的模的最大值为C.最大值为D.最小值为【答案】BD【解析】【分析】对选项A，的终点P在以为直径的圆上，故A错；对选项B，根据题意得到的模的最大值为，故B正确；对选项C，设中点为D，当A，D，P三点共线时，最大，即可判断C错误，对选项D，当与圆相切时取到最小值，即可判断D正确.【详解】如图：对选项A：设，，，，，由，可得，∴的终点P在以为直径的圆上，故A错；第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司

7对选项B，，所以，知为等边三角形，此时圆的半径为，圆心坐标，则的最大值为：，故B正确；对选项C，设中点为D，，当A，D，P三点共线时，，故C错；对选项D，当与圆相切时取到最小值，如图所示：，，.此时.故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，不共线，若与共线，则实数________.【答案】【解析】【分析】根据向量共线定理以及平面向量基本定理的推论即可求出．【详解】因为与共线，所以可得，因为向量，不共线，即有，解得．第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司

8故答案为：．14.若，则________.【答案】##【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算即可；【详解】解：因为，所以；故答案为：15.已知中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足，，，则________.【答案】##【解析】【分析】根据题意和余弦定理化简整理可得，进而可得，求出A，结合正弦定理求出，即可得出结果.【详解】由余弦定理，得，整理，得，又，所以，由，得，由正弦定理，得，所以，又，得，，所以.故答案为：.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司

916.已知，若对任意实数，点P都满足，则的最小值为________.【答案】−16【解析】【分析】以A，B的中点为原点，所在直线为x轴，过O且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，设，可转化为，从而可知P点在直线上，设出，再根据数量积的坐标运算以及二次函数的值域即可求出．【详解】以A，B的中点为原点，所在直线为x轴，过O且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，设，H为上一点，，故，所以，P到直线的距离为3，则P点在直线上，由，，设，则，当且仅当时，取最小值−16.故答案为：−16．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，在长方形中，E为边的中点，F为边上一点，且.设，.（1）试用基底表示，；（2）若，求证：E，G，F三点共线.【答案】（1），；第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司

10（2）详见解析.【解析】【分析】（1）利用平面向量的基本定理求解；（2）利用平面向量共线向量定理求解.【小问1详解】解：；，；【小问2详解】若E，G，F三点共线，则，即，因为，，所以，解得，所以：E，G，F三点共线.18.O是平面直角坐标系的原点，，，记，.（1）求在上的投影向量坐标；（2）若四边形为平行四边形，求点C的坐标；（3）若向量，满足条件：与互补，求.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）首先求出，，即可求出，再根据求出在上投影向量；（2）设点，依题意可得，根据向量相等的充要条件得到方程组，解得即可；第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司

11（3）首先求出，依题意可得，即可得到方程，从而求出；【小问1详解】解：因为，，所以，，所以，，，所以在上的投影向量为；【小问2详解】解：设点，为平行四边形，则有，，，所以，解得，故.【小问3详解】解：因为，又与互补，所以，即，推得，解得或，显然时，不符合题意，故.19.已知的角A，B，C对边分别为a，b，c，A为锐角，.（1）求；（2）若，求的最大值.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解；（2）利用余弦定理得到，再利用基本不等式求出的最值，最后根据计算可得；【小问1详解】解：因为，由正弦定理可得，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司

12，所以，所以，因为，所以，所以.【小问2详解】解：由余弦定理，，即，又，当且仅当时取等号，即，解得当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等，故得最大值为4.20.在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若，.（1）求；（2）若，D为上靠近A的一个三等分点，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知条件结合余弦定理可得，再由求出，再利用正弦定理可求得结果，（2）由正弦定理结合已知条件可得，从而可得，，再由D为上靠近A的一个三等分点，，从而可求出【小问1详解】因为，，所以由余弦定理，得，故，因为，所以，所以第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司

13由正弦定理，得【小问2详解】因为，，所以由正弦定理得，因为，所以，所以，所以，因为D为上靠近A的三等分点，所以故21.已知中，过重心G的直线交线段于P，交线段于Q，连结并延长交于点D，设，，的面积为，的面积为，，.（1）用，表示，并求证：；（2）求取值范围.【答案】（1），证明见解析（2）【解析】第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司

14【分析】（1）根据向量的线性运算法则得到，由、、三点共线，得到，即可得到方程组，从而得解；（2）利用三角形面积公式得到，再由（1），即可得到，再根据二次函数的性质计算可得；【小问1详解】证明：；∵，，∵P，G，Q三点共线，则存在，使得，即，即，∴，整理得，所以，证毕.【小问2详解】解：由（1），，∴，∵，，∴∴，则当时，取得最小值，当时，取得最大值，∵，则的取值范围为.22.已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称.（1）求函数的解析式；（2）若存在，使等式成立，求实数m的最大值和最小值；第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司

15（3）若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）最大值为3，最小值为（3）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简得，再根据对称得到，即可得到答案；（2）利用换元法令，将问题转化为方程在有解；（3）对进行分类讨论，即a=0,和两种情况，得到关于的不等式，即可得到答案；【小问1详解】函数，化简可得.函数的图象与函数的图象关于直线对称.即∴.【小问2详解】，∴∴.令，则.那么：，可得：成立.即，当时取等号，∴m的最小值为.当或2时，可得，即m的最大值为3.故得实数m的最大值为3，最小值为.【小问3详解】第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司

16不等式恒成立，即恒成立当时，∴，.若时，显然恒成立.若时，当时，取得最小值.即成立.可得：，解得：.若时，当时，取得最小值.即成立.得：，∴.综上可得：a的范围是.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司