《直线的方向向量与平面的法向量(1)》示范公开课教学课件【高中数学北师大】

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第三章空间向量与立体几何直线的方向向量与平面的法向量(1)

11.能用向量语言描述直线，理解直线的方向向量的概念；2.在学习实践中认识向量方法是解决立体几何问题的基本方法，形成看待立体几何问题的多元、多维观点．理解直线的方向向量的概念．能用向量语言描述直线．

2在前面的学习中，我们认识到用空间向量解决立体几何问题的基本步骤是：首先将立体几何问题转化为向量问题，然后运用向量方法求解，最后再回到立体几何问题．几何特征的代数表述起着重要的作用．我们知道，立体几何研究的基本对象是点、直线、平面，以及由它们组成的空间图形，因此用空间向量解决立体几何问题时，首先需要把点、直线、平面用向量分别表示出来．那么如何用向量方法描述空间中的一个点、一条直线呢？

3如何用向量表示空间中的一个点?空间当中点的位置一定是相对于某一固定参照物来说的．如图，在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点就可以用向量来表示，我们把向量称为点的位置向量．

4如何用向量表示空间中的一条直线?由两点确定一条直线可知，若给定直线上的两点，则这条直线的位置也就唯一确定了．如图，设点，是直线上不重合的任意两点，称为直线的方向向量．一条直线有多少个方向向量呢？与平行的任意非零向量也是直线的方向向量，故一条直线有无数个方向向量，且这些方向向量都平行．

5如何用向量表示空间中的一条直线?若给定直线上的一点及这条直线的方向，能否确定这条直线的位置？如图，已知点是直线上的一点，非零向量是直线的一个方向向量，显然直线的位置被唯一确定，即，空间中任意一条直线的位置可以由直线上的一个定点和该直线的方向向量唯一确定．对于直线上的任意一点，一定存在实数，使得．反之，由几何知识不难确定，满足上式的点一定在直线上．直线的向量表示

6取定空间中的任意一点，可以得到点在直线上的充要条件是什么？如图，根据直线的向量表示可知：点在直线上等价于存在实数，使得．又因为，，所以，整理，得．即，点在直线上的充要条件是．此结论可以证明空间三点共线．

7在空间直角坐标系中，已知点，，点是线段上的一点，且，求点的坐标．解：设点的坐标为，由题意可知：，且，∴．即，，解得．∴点的坐标为．此类问题常转化为向量的共线、向量相等解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得关于要求点坐标的方程或方程组求解即可．根据列方程组求解设出点的坐标

8在空间直角坐标系中，已知点，，，点为直线上的一点，且，求．解：依题意知，，．因为点为直线上的一点，所以存在实数，使得，则．由，得，即，解得．∴．求，，三点共线

9(多选)若点，在直线上，则直线的一个方向向量是()A.B.C.D.解：因为点，在直线上，，所以向量，都是直线的方向向量．故选AB．

10已知直线经过点，直线的一个方向向量为．若是直线上任意一点，求满足的关系式．解：由题意知．因为是的方向向量，所以∥，所以．所以满足关系式为．

11如图，在三棱台中，，，，设，，，以为空间的一组基，求直线，的一个方向向量．解：．所以直线的一个方向向量是．．∴直线的一个方向向量为．

12结构框图点在直线上等价于对空间任意一个确定实数，存在实数，使得．设点，是直线上不重合的任意两点，称为直线的方向向量．

13教材第119页练习第2，3，4题．

14谢谢大家！敬请各位老师提出宝贵意见！

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